指数函数与对数函数（习题课 指数函数及其性质的应用）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

习题课指数函数及其性质的应用第四章指数函数与对数函数人教A版

数学

必修第一册重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标重难探究·能力素养速提升探究点一指数不等式的解法问题1你能根据指数函数的单调性解不等式吗?解要使函数

有意义,则ax-2-1≥0,即ax-2≥1.当a>1时,由ax-2≥a0知x-2≥0,此时x≥2;当0<a<1时,由ax-2≥a0知x-2≤0,此时x≤2.综上可知,当a>1时,函数的定义域为[2,+∞);当0<a<1时,函数的定义域为(-∞,2].规律方法

指数不等式的求解方法(1)形如ax>ab的不等式,借助于函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.(2)形如ax>b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调性求解.(3)形如ax>bx的不等式,利用函数图象求解.(4)形如a2x+b·ax+c>0(或<0)的不等式,可利用换元法转化为一元二次不等式求解.探究点二与指数函数有关的定义域、值域问题问题2如何利用指数的定义域、值域求指数函数的定义域、值域?【例2】

求下列函数的定义域和值域.规律方法

求与指数函数有关的函数的定义域和值域的一般方法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察函数是y=ax型还是y=af(x)(a>0,且a≠1)型,前者的定义域是R,后者的定义域与y=f(x)的定义域一致.y=f(ax)的定义域由t=ax(t>0)的值域在y=f(t)的定义域内决定,因此求y=型函数的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).(2)求与指数函数有关的函数的值域时,一方面要考虑函数的定义域和单调性,另一方面要注意指数函数的值域是(0,+∞).一般地,对于y=af(x)(a>0,且a≠1)型函数,要先换元,令t=f(x),求出t=f(x)的定义域D,再求出t=f(x)的值域A,然后画出y=at(t∈A)的草图或利用函数的单调性,求出原函数的值域.探究点三指数型复合函数的单调性问题3如何利用指数函数的单调性求复合函数的单调性?解设g(x)=x2+2(a-1)x+2,指数函数h(x)=()x在R上单调递减,根据复合函数单调性同增异减的原则可知函数g(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减.由于函数g(x)=x2+2(a-1)x+2的图象开口向上,且对称轴为直线x=1-a,要使函数f(x)在区间(-∞,4]上单调递增,则4≤1-a,即a≤-3.故a的取值范围为(-∞,-3].延伸探究若本例(1)中函数改为“”呢?解

类似于例(1)的解法,得u(x)在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.又y=3u在R上是增函数,∴函数

的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为(-∞,1].规律方法

指数型复合函数单调性的判断方法(1)定义域、值域的求解思路:形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的定义域就是函数f(x)的定义域.求形如y=af(x)的函数的值域,应先求出u=f(x)(u>0)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.形如y=f(ax)的函数的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定出y=f(ax)的值域.(2)令u=f(x),x∈[m,n],如果复合的两个函数y=au(a>0,且a≠1)与u=f(x)的单调性相同,那么复合后的函数y=af(x)在[m,n]上是增函数;如果两者的单调性不同(即一增一减),那么复合后的函数y=af(x)在[m,n]上是减函数.学以致用·随堂检测促达标12345678910A级必备知识基础练1.当x∈[-2,2)时,y=3-x-1的值域是(

)A12345678910B123456789103.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(

)A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]B令g(x)=|2x-4|,因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).故选B.123456789104.已知指数函数f(x)=(2a-1)x,且f(-3)>f(-2),则实数a的取值范围是

.

解析

指数函数f(x)=(2a-1)x,且f(-3)>f(-2),∴函数f(x)为减函数,∴0<2a-1<1,解得

<a<1.12345678910B级关键能力提升练5.已知函数

若f(a)<1,则实数a的取值范围是(

)A.(-3,1) B.(-∞,-3)∪(1,+∞)C.(-∞,-3) D.(1,+∞)A123456789106.(多选题)对于函数f(x)=2-x-2x有下述四个结论,其中正确的结论是(

)A.f(0)=0B.f(x)是奇函数C.f(x)在(-∞,+∞)上单调递增D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解ABD解析

f(x)=2-x-2x,f(0)=20-20=0,A正确;x∈R,f(-x)=2x-2-x=-f(x),f(x)是奇函数,B正确;f(x)=在R上是减函数,C错误;由于x趋向于-∞时,f(x)趋向于+∞,x趋向于+∞时,f(x)趋向于-∞,即f(x)的值域是(-∞,+∞),又f(x)在R上是减函数,因此对任意实数a,f(x)=a有唯一解,D正确.123456789107.若函数f(x)=3ax-2+5(a>0,a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为(

)A.(2,5) B.(3,5)C.(2,8) D.(3,8)C解析

令x-2=0,即x=2,f(2)=3a2-2+5=3a0+5=8,则P(2,8).故选C.123456789108.若指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,3]上恒有f(x)≤11-x,则a的最大值为

.

2解析

设g(x)=ax+x,当a>1时,g(x)=ax+x在[-1,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3)=a3+3.要使指数函数f(x)=ax在[-1,3]上恒有f(x)≤11-x,即g(x)≤11,只需g(x)max≤11,即a3+3≤11,所以a≤2,所以1<a≤2.所以a的最大值为2.123456789109.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,求f(x);当x∈R时,求不等式f(x-2)>0的解集.解

设x<0,则-x>0,∴f(-x)=2-x-4.又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.∴不等式的解集为(-∞,0)∪(4,+∞).1234567891010.设函数f(x)=4x-2a+x-a,a∈R.(1)当a=2时,解不等式f(x)>30;(2)当x∈(-1,1)时,f(x)存在最小值-2,求a的值.12345678910解

设2x=t(t>0),则y=t2-2a·t-