高中数学选修第一册：本章复习提升

本章复习提升

易混易错练

易错点1混淆向量的共线'共面与线段的共线、共面

1.（2020海南海口海南中学高二上期中,*?）若南=屈+卜赤（入出eR）,则直线AB与

平面CDE的位置关系为.

2.（2020浙江诸暨中学高二上期中,停?）若直线a的方向向量为a,平面a,p的法向量

分别为n,m,则下列命题为真命题的序号是.

⑴若aJ_n,则直线a〃平面a;

（2）若2〃4则直线2，平面a;

⑶若cos<a,n>=；,则直线a与平面a所成角的大小为

（4）若cos<m,n>=g,则平面a,0的夹角为全

3.（2020四川自贡高二上期末,#?）如图,正方体ABCD-AiBiCQi中,M,N分别是

AB,AIDI的中点，判断直线MN与平面BBiDiD的位置关系,并说明理由.

易错点2忽略定义、定理中的特殊条件

4.(2020湖南长郡中学高二上检测,#?)下列命题正确的是()

A.若a与b共线,b与c共线，则a与c共线

B.向量a、b、c共面，即它们所在的直线共面

C.若a〃b,则存在唯一的实数儿使a=Xb

D.零向量是模为(),方向任意的向量

易错点3忽略平行向量

5.(*)已知a=(3,-2,-3),b=(-l,x-l,l),Za与b的夹角为钝角，则x的取值范围

是.

易错点4混淆向量夹角范围与空间角范围

6.(#?)在正方体ABCD-AIBICIDI中,向量方与向量乙瓦的夹角是()

A.15O0B.1350C.450D.300

7.(2020天津武清高三上期中,*?)在四棱锥P-ABCD中,PA_L底面

ABCD,AD，AB,AB〃DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.

(1)求直线EB与平面PBD所成角的正弦值；

(2)若F为棱PC上一点，满足BF_LAC,求平面FAB与平面PAB夹角的余弦值.

8.(2020山东莱州第一中学高二上期末,")如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体

中，面ABEF为正方形,AF=2FD,NAFD=90。,且面DAF与面ABEF所成的角和面

CBE与面ABEF所成的角都是60°.

(1)证明:平面ABEF平面EFDC;

(2)求面BCE与面ABCD所成角的余弦值.

思想方法练

一、利用方程思想求值

1.(2020天津六校高三联考,*)如图，在三棱锥S-ABC中，平面SBC,平面

ABC,SB=SC=AB=AC=VXBC=2,O为BC的中点.

(1)证明:SO_L平面ABC;

(2)求异面直线AB和SC所成角；

(3)设线段SO上有一点M,当AM与平面SAB所成角的正弦值为察时，求0M的长.

n

二、利用函数思想求最值

2.(2020山东济宁高三上期中,")如图,三棱柱ABC-ABCi中，侧棱AA」平面

人8(2,4人8(2为等腰直角三角形,/8人©=90。,且人8=人人|=2,£、F分别为CG、BC

的中点.

(1)若D是AAi的中点，求证:BD〃平面AEF;

(2)若M是线段AE上的任意一点，求直线BiM与平面AEF所成角的正弦的最大值.

三、利用转化思想求距离和空间角、判定平行和垂直

3.(*?)在长方体AIBICIDI-ABCD中,AAI=1,AD=DC=8,Q是线段A|C1上一点，且

CIQWGAI,则点Q到平面AiDC的距离为.

4.(*)如图，在直三棱柱ABC-AiBiC中，点D、E、F分别为线段AC、AB、AiA

的中点,AiA=AC=BC,NACB=90。.求证：

(1)DE〃平面BCCiBi；

(2)EF_L平面BiCE.

5.(*)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PA_L平面

ABCD,AD=1,PA=AB=&,E是棱PB的中点.

(1)求异面直线EC与PD所成角的余弦值；

(2)求平面BEC与平面ECD夹角的余弦值.

H

答案全解全析

易混易错练

1.答案ABu平面CDE或AB〃平面CDE

解析由荏=标+筛(入口£用及共面向量定理可知向量荏与向量而、忆共面，

则直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行.

易错警示本题容易因混淆了向量共面和直线共面而错答为ABc平面CDE,向量

南与向量而、方共面，直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行.

2.答案(2)(3)(4)

解析若a_Ln,则直线a与平面a平行或在平面a内，所以(1)是假命题；

若a〃n,则a也是平面a的法向量，所以直线a,平面a,所以⑵是真命题；

直线与平面的夹角的正弦值等于直线与平面法向量所成的锐角的余弦值，所以(3)是

真命题；

两个平面的夹角与它们的法向量所成的不大于9()。的角相等，所以(4)是真命题.

3.解析MN〃平面BBDD.理由如下:设正方体的棱长为1,如图，建立空间直角坐

标系，

贝(IB(1,1,0),D1(0,0,1),D(0,0,0),M(1,^0),NQ,0,1),

丽=(-；；,1),砺=(1,1,0),西=(0,0,1),

设平面BBlDiD的法向量为n=(x,y,z),

则2,■=°,

(n•DDi=0,

即俨+A一。'令x=l则y=-l,z=0,

kz=0,J

，n=(1,-1,())是平面BBiDiD的一个法向量.

VM/V•n=0,MNC平面BB|D,D,

，MN〃平面BBiDiD.

易错警示本题容易因忽视MNQ平面BBiDQ,而直接由丽•n=(),得MN〃平面

BBIDID,造成步骤不完整,实际上，当丽•n=0时,MN〃平面BB,D,D或MNc平面

BBiDiD.

4.D由于零向量与任意向量共线，所以若b为零向量，则a与c关系不确定,A错;向

量共面时，它们所在的直线不一定共面,B错;共线向量定理中，当b不是零向量时，才

存在唯一的实数儿使a=M?，否则九可能不存在,C错;D显然正确.

易错警示本题容易忽略零向量的特殊性和共线向量定理中的限制条件而误认为

A、C正确.

5.答案

解析:a与b的夹角为钝角，

.•.a•b=-3-2(x-l)-3<0,解得x>-2.由题意得a与b不共线，则二二匚解得xd,；.x的取

3-23

值范围是(-2,U0,+8).

易错警示本题容易忽略了a与b共线时的特殊情况.

6.B如图，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1,

则A(O,O,O),B(l,O,O),Ci(l,l,l),Ai(O,O,D,

.•.送(1,0,0)石否=(-1,-1,0),

・K_k痛・C"；-1y/2

・・cos<4B,Ci?li>=_.__=7=一—,

11I制。肉|V22

...向量荏与向量不7的夹角是135°.

7.解析⑴如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(l,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(l,l,l),

所以配二(0,1,1),而=(1,(),-2),而=((),2,-2),设平面PBD的法向量为m=(x,y,z),则由

m.LPB,mlPD,

fm,PB=x-2z=0,

(m•PD=2y-2z=0,

令z=l,得x=2,y=l,即m=(2,l,l),

2

所以cos<BE,m>=r=r-^-=rr=—,

|BE||m|V2XV63

设直线BE与平面PBD所成角为%则sina=|cos<丽,m>|二?，即直线BE与平面

PBD所成角的正弦值为逅.

3

(2)由(1)得定=(2,2,-2),而=(1,0,-2),前=(2,2,0).

设方=亦？(0<入Wl)Jl]BF^PF-PB=kPC-PB=(2X,2X,-2X)-(l,0,-2)=(2k-l,2入,2-2入),

BF•前=4入-2+4入=0,解得入=：,

所以点FO

显然，标=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量，设n=(xi,yi,zi)是平面FAB的法向量，因

为福=6衿刖=(-；，；，)

九•通=洛+汕+/=0,

所以

九•丽=—；Xi+；yi+；Zi=0,

令Z1=1,则yi=-3,xi=o,所以n=(0,-3,l),

所以cos<AD,n>=—

2XV1010

设平面FAB与平面PAB的夹角为p,

贝!jcosP=|cos<4O,n>|二^；

即平面FAB与平面PAB的夹角的余弦值为场.

10

8.解析(1)证明:•••四边形ABEF为正方形,，AF，EF.

VZAFD=90o,.*.AFlDF,

VDFnEF=F,DFc平面EFDC,EFc平面EFDC,

；.AF_L平面EFDC,

VAFc平面ABEF,

二平面ABEF,平面EFDC.

(2)由AF，DF,AF，EF,可得NDFE为面DAF和面ABEF所成角的平面角.

•.•四边形ABEF为正方形，

，BE〃AF,BE，EF,

又AFJ_平面EFDC,

.•.BE,平面EFDC.

VCEc平面EFDC,

ACEIBE,

可得NCEF为面CBE和面ABEF所成角的平面角，

二ZDFE=ZCEF=60°.

,.,AB〃EF,ABQ平面EFDC,EFc平面EFDC,；.AB〃平面EFDC,

•.•平面EFDCA平面ABCD=CD,ABc平面ABCD,

，AB〃CD,，CD〃EF,

四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

c

口,

设FD=a，则E(0,0,0),B(0,2a,0),cQ,0，Ya),A(2a,2a,0),

FB=(0,2a,0),BC=Q,-2a,4a),荏=(-2a,0,0),

设平面BCE的法向量为m=(xi,yi,zi),

贝御•EB=O,

(m,BC=0,

(2ayr=0,

即｛ac，遮八令zi=-l,则XI=A后,yi=0,则m=(遮,0,-1).

\^x1-2ay1+-az1=0,

同理可得平面ABCD的一个法向量为n=(0,V3,4),

设面BCE与面ABCD所成角的大小为9,

则COSe=Im.n|=Il-4|^——

|m|•|n|V3+1XV3+1619

...面BCE与面ABCD所成角的余弦值为也.

19

思想方法练

1.解析(1)证明:,••SB=SC,O为BC的中点,...BOOCSCaBC,

•.,平面SBCJ_平面ABC,平面SBCA平面ABC=BC,SOu平面SBC,

.•.SO,平面ABC.

⑵；SB=SC=AB=ACS,BC=2,

.,.BS±CS,BA±CA,

如图,分别以OB,OA,OS所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.

则A(0,1,0),B(1,0,0),S(0,0,1),C(-1,0,0),

.*.4B=(l,-l,0),SC=(-l,0,-l).

・tT7?1\AB-SCI11

..\cos<AB,SC>\=~~==厂=

\AB\•|5C|y/rZxy/22

.,.异面直线AB和SC所成角的大小为二

3

(3)设m=(a,b,c)为平面SAB的法向量.

由⑵可得品=(1,0,-1),

则IS；二例及=触2则b=g，，m=(l/D

设M(0,0,t)(te[0,l])j!]AM=(0,-l,t),

设AM与平面SAB所成角为6.

贝!jsine=|cos<m,4/v/>|="L吧

1|m|•|AM|

_|t-l|_V30

V5xV1+t215'

化简得3t2-10t+3=0(0WtWl),

解得t=3(舍)或t=；,

，OM的长为士

3

2.解析(1)证明:连接DJ,BCi.

因为D、E分别是AAi、CG的中点，

所以AD=JE,又AD〃GE,

所以四边形ADC正是平行四边形，

所以AE〃DCi,

因为E,F分别是CCi,BC的中点，

所以EF〃BCi,

所以平面AEF〃平面BDG.

又BDc平面BDCi,所以BD〃平面AEF.

(2)以A为坐标原点,AB,AC,AAi所在直线分别为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标

系，如图，则A(O,O,O),Bi(2,0,2),E(0,2,l),F(l,l,0),荏=(0,2,1)励=(1,1,0).

设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),

由jn•AE=0,zf2y+z=0,

(n.AF=0HU+y=0，

令z=2,得x=l,y=-l,

所以平面AEF的一个法向量为n=(l,-1,2).

设M(a,b,c),XM=k^4F(0^X^1),则祠=(0,2入入)，

所以乂(0,2入入),所以瓦前=(-2,2入,九-2),

设直线BiM与平面AEF所成角为0,

则sin0=|cos<n,B]M‘>|='要

|n|•|B1M|

_|lX(.2)+(-l)X2/l+2x(A-2)|

Vl2+(-l)2+22•7(-2)2+(2A)2+(A-2)2

_6_&

V6X\/5A2-4X+8“5/2-4V+8

(oawi),

易知当入三时,(Sine)max=W.

故直线B,M与平面AEF所成角的正弦的最大值为粤.

3.答案今

解析如图，以DiAi,DC,DQ所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

则D(0,0,1),C(0,V3,1),AI(V3,0,0),CI(0,V3,0),.-.DC=(0,V3,0)M=(V3,0,-

1),CX=(V3,-V3,O),

由杀三不;，得Q惇，等,0),

••弗件存)，

设平面AQC的法向量为n=(x,y,z),

由卜・匹70，得巧y=0,

[n•DA]=0,[V3x-z=0,

取x=l,则z=V3,y=0,/.n=(1,0,V3),

.•.点Q到平面AQC的距离

l«l3

4.证明如图,建立空间直角坐标系，设AiA=AC=BC=2,

则A(2,0,0),C(0,0,0),Ai(2,0,2),Bi(0,2,2),D(1,0,2),E(1,l,0),F(2,0,D,

所以方=(2,0,0),反=(0,1「2),前=(11,1),西=(0,2,2),砒=(-1,1,2).

(1)显然,85是平面BCCB的一个法向量，

因为瓦•襦=0,

所以屁，刀.因为DEC平面BCCIBI,

所以DE〃平面BCCiBi.

(2)设平面BiCE的法向量为n=(x,y,z),

则卜•西=2y+2z=0,