高中数学概率与统计训练

高中数学概率和统计学小练习

【题1】微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音、

短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在

微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信用户

使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访140位市民

进行调查，其中每天玩微信超过6小时的用户称为“微信控”，否则

称其为“非微信控”，调查结果统计如下：

微信控非微信控合计

女性60

男性30

合计70140

(1)根据以上数据，把表格中的数据填写完整；

(2)利用(1)完成的表格数据回答下列问题：

①是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“微信控”与“性

别”有关；

②已知在被调查的女性“微信控”市民中有5位退休老人，其中2位

是教师，现从这5位退休老人中随机抽取2人，求至少有1位老师的

概率.

附表：g+')a+HX"cXB+㈤'其中”=a+"c+d.

P(K22

0.0500.0250.0100.0050.001

k)

k3.8415.0246.6357.87910.828

［题2］我国正逐渐进入老龄化社会，老有所依也是政府的民生工程.

某市共有户籍人口400万,其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66

万，为了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托

医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健

康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个

群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：

部分老人每月发放生活补贴，标准如下：

①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴300元；

②80岁以下老人每人每月发放生活补贴200元；

③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.

则政府执行此计划的年度预算为万元.

【题3】为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山，

坚持人与自然和谐共生”的理念，我市在经济速发展同时一，更注重

城市环境卫生的治理，经过几年的治理，市容市貌焕然一新，为了

调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名

市民进行调查，并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图，

其中《知

（1）求的值；

（2）若按照分层抽样的方式从［270）中随机抽取5人，再从

这5人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在15°,8）的概率.

［题4］2019年篮球世界杯在中国举行，中国男篮由于主场作战而备

受观众瞩目.为了调查国人对中国男篮能否进入十六强持有的态度，

调查人员随机抽取了男性观众与女性观众各100名进行调查，所得情

况如下表所示：

男性观众女性观众

认为中国男篮能够进入十

60

六强

认为中国男篮不能进入十

六强

若在被抽查的200名观众中随机抽取1人，抽到认为中国男篮不能进

入十六强的女性观众的概率为*.

（1）完善上述表格；

（2）是否有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有

的态度有关？

附：g+'Xc+dXa+c）S+d）,其中尸a+b+c+d.

［题5］《中央广播电视总台2019主持人大赛》是中央人民广播电

视总台成立后推出的第一个电视大赛，由撒贝宁担任主持人，康辉、

董卿担任点评嘉宾，敬一丹、鲁健、朱迅、俞虹、李洪岩等17位担

任专业评审.从2019年10月26日起，每周六20:00在中央电视台综

合频道播出.某传媒大学为了解大学生对主持人大赛的关注情况，分

别在大一和大二两个年级各随机抽取了100名大学生进行调查.下图

是根据调查结果绘制的学生场均关注比赛的时间频率分布直方图和

频数分布表，并将场均关注比赛的时间不低于80分钟的学生称为“赛

迷”.

大-学生场均关泮比赛时间的菽串分布直方图

大二学生场均关注比赛时间的频数分布表

时间分组频数

[0加12

[20,40)20

[40,60)24

[60,80)22

[80,100)16

[100,120]6

(1)将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“赛迷”的概率大,

请说明理由；

(2)已知抽到的100名大一学生中有男生50名，其中10名为“赛

迷”试完成下面的2x2列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“赛

迷”与性别有关.

非“赛迷”“赛迷”合计

男

女

合计

.2=.4/一反?

附：(a+B)(c+dXa+c)(3+d),其中”=a+5+c+d.

尸d)0.150.100.050.025

2.0722.7063.8415.024

参考答案

7

【题1——答案］（1）表格见解析；（2）①能；@10

【解析】

（1）完善列联表即可；

（2）①计算欠的值，并与临界值比较，可得结论；

②利用列举法计算基本事件个数，以及"至少有1位老师"这一事件

所含基本事件个数，即可求出相应的概率.

解：⑴

微信控非微信控合计

女性402060

男性305080

合计7070140

(2)①

J

.n[ad-bc^140(40x50-30x20)1AO7,O

K.=：-----\-z----r-j---rz---r~-----------------"11.667>10.828

S+b)(c+H)g+c)(b+”)60x80*70x70

二能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为"微信控〃与"性别”有

美.

②记2位老师为44,另3位老人为马遇，玛，

从5位退休老人中随机抽取2人的情况有：

（4,4）,（4再），（4遇），（4当），（4当），（4遇），（小写,（4遇）,

（44）,（均居）,共io种，

其中至少有1位老师的情况有：

（4⑷，（4中），（4遇），（4闻，（4闻，（4遇），（4当），共7

种，

P=—

故至少有1位老师的概率为10.

【题2——答案】35376

【解析】

用样本估计总体，分别求出80岁及以上长者、80岁以下老人以及不

能自理的老人在老人中占比，即可求出政府执行此计划的年度预算.

用样本估计总体，

15+20+45+20=1

80岁及以上长者在老人中占比为：6006,

25+50+225+200_5

80岁以下老人在老人中占比为：丽6,

15+25=1

不能自理的老人在老人中占比为：~600~=15,

,政府执行此计划的年度预算为

—x|-x300+-x200+—X100|x12=35376

5（6615）（万元）.

故答案为：35376.

7

【题3——答案］（1）0=0.030,产0.015.（2）10

【解析】

（1）由频率分布直方图列出方程组，由此能求出

（2）BO,«>）」《）,7。）两段频率比为0.1：0.15=2:3,按照分层抽样的方式

从［50,60）,［60,7。）中随机抽取5人,分数在［5。a）中抽取2人，记为％%,

分数在心0〃。）中抽取3人，记为4,鸟，鸟，从这5人中随机抽取2

人，利用列举法能求出至少有1人的分数在BO,60）的概率.

解：（1）由频率分布直方图得：

（0.01+<2+^+0.035+0.01）x10-1,

/.a+6-0.045,

又。=»,

解得媒=0.030,-0.015.

（2）QA0,8）,殴，70）两段频率比为O.l：0.15=2:3,

二按照分层抽样的方式从【5°,8）,g，7。）中随机抽取5人，

分数在口0,8）中抽取2人，记为巧，%,

分数在殴，7。）中抽取3人，记为自，2,2,

.­•从这5人中随机抽取2人的所有情况为：

（色，的）,a,4）,幻，@,与，（的，幻，@,“），

a,0,与）,（忙⑷，色，与，共io个，

其中，至少有1人的分数在DO,④）包含的基本事件有7个，

P=L

二至少有1人的分数在即，劭的概率一10.

【题4——答案］（1）表格见解析；（2）没有

【解析】

(1)由概率可求出认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的人数,

结合男女各100人，即可求出表中所有数据.

(2)代入求出配的观测值，进而可判断.

(1)依题意，得认为中国男篮不能进入十六强的女性观众人数为

200x-=50

4

完善表格如下表所示:

男性观众女性观众

认为中国男篮能够进入十

6050

六强

认为中国男篮不能进入十

4050

六强

k_(融50-40x50)，X200”20?<§635

(2)本次试验中，K3的观测值8100x100x110x90',.

所以没有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的

态度有关.

【题5——答案］(1)大一学生是"赛迷"的概率大，理由见解析(2)

列联表见解析，没有的把握认为“赛迷”与性别有关.

【解析】

(1)由频率分布直方图，求出大一学生是"赛迷〃的概率，再由频率

分布表，求出大二学生是"赛迷〃的概率，对比即可得出结论;

(2)由频率直方图求出"赛迷"、非"赛迷"人数，得出列联表，求出胆

的观测值，结合提供的数据，即可求出结论.

(1)由频率分布直方图可知，大一学生是“赛迷〃的概率

月=(0.0025+0.010)x20=0.25,

由频数分布表可知，大二学生是"赛迷〃的概率

攵鬻=。方

因为片>4,所以大一学生是"赛迷"的概率大.

(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中,

“赛迷"有(0.0025+0.010)x20x100=25(人)，

非"赛迷”有18-25=75(人)，

2x2列联表如下:

非"赛迷"“赛迷〃合计

男401050

女351550

合计7525100

k=100x(40x15-35x10)2=01333

则75x25x50x503,

因为1.333<2.706,所以没有的把握认为“赛迷”与性别有关.

附概率和统计知识归纳

简单随机抽样的定义：

一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个

体作为样本（nWN）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会

都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。

⑴用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样

本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为一;在整个抽样

过程中各个个体被抽到的概率为—O

（2）简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等;

⑶简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂

抽样方法的基础.

⑷简单随机抽样是不放回抽样;它是逐个地进行抽取;它是一种等概率

抽样

简单抽样常用方法：

⑴抽签法:先将总体中的所有个体（共有N个）编号（号码可从1到N）,

并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条

等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签

时每次从中抽一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本

适用范围：总体的个体数不多时优点：抽签法简便易行，当总体的个

体数不太多时适宜采用抽签法.

⑵随机数表法：随机数表抽样"三步曲"：第一步，将总体中的个体编

号;第二步，选定开始的数字;第三步，获取样本号码概率.

一.算法，概率和统计

1.算法初步

（1）算法的含义、程序框图

①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组

求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。

②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题

的过程。在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题）,

理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

（2）基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序

语句的过程，理解几种基本算法语句一输入语句、输出语句、赋值语

句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

（3）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学

对世界数学发展的贡献。

3.概率（约8课时）

（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳

定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。

（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法

计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随

机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）o

（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

2.统计

(1)随机抽样

①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。

②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。

③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总

体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。

④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。

①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，

学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图(参见

例1),体会他们各自的特点。

②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标

准差。

③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基

本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释。

④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想,

会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总

体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。

⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简

单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认

识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。

⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

(3)变量的相关性

①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利

用散点图直观认识变量间的相关关系。

②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小

二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方

程。

二.常用逻辑用语

1o命题及其关系

①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。

②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题

的相互关系。

(2)简单的逻辑联结词

通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"的含义。

(3)全称量词与存在量词

①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意

义。

②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

3.导数及其应用

(1)导数概念及其几何意义

①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率

的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会

导数的思想及其内涵(参见例2、例3)。

②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。

(2)导数的运算

①能根据导数定义，求函数y=c,y=x,y=x2,y=l/x的导数。

②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法

则求简单函数的导数。

③会使用导数公式表。

(3)导数在研究函数中的应用

①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关

系(参见例4)；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的

多项式函数的单调区间。

②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分

条件