2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第03讲 正弦定理与余弦定理及其应用（解析版）

第03讲正弦定理与余弦定理及其应用目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查利用正、余弦定理解三角形 1题型二：重点考查利用正、余弦定理判断三角形形状 5题型三：重点考查利用正、余弦定理确定三角形个数 10题型四：重点考查利用正、余弦定理求三角形周长（边的代数和） 13题型五：重点考查利用正、余弦定理求三角形面积 22题型六：重点考查利用正、余弦定理解决四边形问题 30题型七：重点考查正、余弦定理的实际应用 37题型一：重点考查利用正、余弦定理解三角形典型例题例题1．（2023春·河北承德·高一校联考期中）已知的三边长分别为，，，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设的最小内角为，由正弦定理得，整理得，又余弦定理得，所以，解得，则．故选：B．例题2．（2023春·全国·高一专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（

）A．4 B． C．8 D．【答案】B【详解】解：，的面积为，∴，又，由余弦定理，，可得：.故选：B例题3．（多选）（2023春·云南曲靖·高一曲靖市民族中学校考期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】AB【详解】由正弦定理可得，.因为，，所以或.当时，，此时有，所以；当时，，所以.综上所述，或.故选：AB.例题4．（2023·北京·高三专题练习）在中，若，，，则____．【答案】/【详解】由，得，则，则，所以（负值舍去），由，在三角形中易得，因为，所以.故答案为：.例题5．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，．(1)求的大小；(2)若点满足，，，求．【答案】(1)(2)．【详解】（1）由正弦定理得，所以，展开得，即．因为，所以，即．又因为，所以．（2）因为，所以A为CD的中点，又，所以．由题可知，，所以，则，解得，，所以，即．精练核心考点1．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，角所对的边分别为，，且的面积为，若，则（

）A． B．5 C． D．【答案】A【详解】由于,，故有，解得，又，则,故选：A．2．（2023春·北京·高一汇文中学校考期中）在中，角A，，的对边分别为，，，且，则角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，∵，∴.故选：C3．（2023春·四川达州·高一达州中学校考阶段练习）已知在中，内角、、所对的边分别为、、，且满足，且，则________，________．【答案】//【详解】因为，由正弦定理可得，所以，，又因为，所以，所以，由，，解得，即，所以，，所以根据余弦定理可得，故答案为：；.4．（2023春·上海·高一上海市七宝中学校考期中）在中，内角所对的边分别为，若，则的值为____________.【答案】/【详解】在中，∴，由正弦定理可得，即，因为，，可得.故答案为：5．（2023春·云南曲靖·高一曲靖市民族中学校考期中）在中，若，则__________．【答案】/【详解】由已知结合正弦定理边化角可得，，即，所以有，所以.故答案为：.题型二：重点考查利用正、余弦定理判断三角形形状典型例题例题1．（2023春·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期中）在中，分别是内角所对的边，且满足，则的形状是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰钝角三角形C．等边三角形 D．以上结论均不正确【答案】C【详解】由于，所以为锐角，由余弦定理得，则为锐角.由以及余弦定理得，，由于，所以，即，所以，所以三角形是等边三角形.故选：C例题2．（2023·甘肃酒泉·统考三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【详解】由正弦定理，余弦定理及得，，即，则，即或为等腰三角形或直角三角形．故选：D.例题3．（多选）（2023春·江苏常州·高一统考期中）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（

）A．若，则为等腰三角形B．若，则为等腰三角形C．若，则为等腰直角三角形D．若，则为直角三角形【答案】ACD【详解】对于A，，由正弦定理可得，则，即，所以，则为等腰三角形，A选项正确；对于B，，由正弦定理可得，即，所以，则或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B选项错误；对于C，，由正弦定理可得，则，所以，所以为等腰直角三角形，C选项正确；对于D，，由射影定理，则，则为直角三角形，D选项正确；故选：ACD.例题4．（多选）（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）在中，内角、、的对边分别是、、，下列结论正确的是（）A．若，则为等腰三角形B．若，则为等腰三角形C．若，，则为等边三角形D．若，，，则有两解【答案】AC【详解】对于A选项，若，由正弦定理可得，则，所以，为等腰三角形，A对；对于B选项，因为，由正弦定理可得，因为、中至少有一个是锐角，则，从而可知、均为锐角，由可得，因为、，则、，所以，或，所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，B错；对于C选项，因为，，由余弦定理可得，即，所以，，因此，为等边三角形，C对；对于D选项，因为，，，由正弦定理得，所以，不存在，D错.故选：AC.精练核心考点1．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【详解】因为，所以，又，所以，因为，由正弦定理得，则，则，所以为有一个角为的直角三角形.故选：B.2．（2023春·全国·高一专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（

）A．等腰或直角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【详解】由得,由正弦定理得,由于,所以，所以,由于为三角形的内角，所以,又得,进而可得,而为三角形内角，故，进而，故三角形为等边三角形，故选：B3．（多选）（2023春·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校联考期中）已知的内角、、所对的边分别为、、，则下列四个命题中正确的命题是（

）A．若，则一定是等边三角形B．若，则一定是等腰三角形C．若，则一定是锐角三角形D．若，则一定是锐角三角形【答案】AD【详解】对于A选项，因为，由正弦定理可得，则，因为至少有两个锐角，从而可得，故为锐角三角形，因为正切函数在上为增函数，故，所以，为等边三角形，A对；对于B选项，因为，由正弦定理可得，即，因为、，所以，，,又因为、中至少有一个为锐角，则，则、均为锐角，所以，、，所以，或，即或，为等腰三角形或直角三角形，B错；对于C选项，时，由余弦定理可得，即为锐角，但、是否都是锐角，不能保证，因此不一定是锐角三角形，C错；对于D选项，因为，所以，由、、，所以、、均为锐角，所以为锐角三角形，所以D正确．故选：AD．4．（多选）（2023·全国·高一专题练习）（多选）的内角的对边分别为，下列四个命题中正确的是（

）A．若，则一定是锐角三角形B．若，则一定是等边三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则一定是等腰三角形【答案】BD【详解】对于A，若，则，则为锐角，但是两角无法判断其是否为锐角，如当时，，，为钝角三角形，故A错误；对于B，因为，所以，所以，且，所以，所以为等边三角形，故B正确；对于C，因为，所以，所以，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，因为，所以，即，则，又因为，所以或（舍去），所以为等腰三角形，故D正确.故选：BD.题型三：重点考查利用正、余弦定理确定三角形个数典型例题例题1．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第四中学校考期中）在中，，，．若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，B=45°，CD⊥AB，则，以C为圆心，CA=b=2为半径画圆弧，要使△ABC有两个解，则圆弧和BA边应该有两个交点，故CA>CD且CA<CB，即，解得．故选：B．例题2．（2023春·全国·高一专题练习）在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【详解】，，，由正弦定理得：，又为三角形的内角，，故只有一解，故A错误；，，，由正弦定理得：，所以无解，故B错误；，，，，又为钝角，为锐角，故只有一解，故C错误；，，，由正弦定理得：，，，即，则满足题意的有两解，故D正确.故选：D例题3．（2023春·陕西西安·高一西安市第八十三中学校考期中）在中，，，分别是角，，所对的边，，，若有两解，请写出一个满足题意的的值：_____.【答案】（答案不唯一）【详解】取，则，即，，，或，验证满足，故有两个解，满足.故答案为：（答案不唯一）例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知中，，，的对边分别为，，，若，，给出下列条件中：①，②，③，能使有两解的为_________.（请写出所有正确答案的序号）【答案】②③【详解】选择①，由余弦定理，得，解得，所以只有一解.故①错误；选择②，因为，所以,由正弦定理，得，解得，所以,所以有两解，故②正确；选择③，由，得,解得，因为，所以或，所以有两解，故③正确；故答案为：②③.精练核心考点1．（2023春·广东深圳·高一校考期中）在△中，，若三角形有两解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题设，过作于，如下图示，则，可得时，三角形有两解.当，即时，三角形不存在；当或2时，△分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；当时，在射线方向上有一个△，而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形；故选：C2．（多选）（2023春·陕西咸阳·高一统考期中）在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（

）A．，有唯一解B．，无解C．，有两解D．，有唯一解【答案】AD【详解】解：选项A，，已知三边三角形确定，有唯一解，A正确；选项B，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误；选项C，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；选项D，由正弦定理得：，，由于，则是锐角，有唯一解，D正确.故选：AD.3．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的恰有一个，则实数b的取值范围为______．【答案】【详解】由正弦定理可得,,又，，所以在有唯一解，故或故答案为：.4．（2023春·江苏南通·高一江苏省通州高级中学校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，，若三角形有且只有一解，则b的取值范围为___________.【答案】【详解】因为，，由正弦定理得，要使三角形有唯一解，则或，所以或，即或，解得或，则b的取值范围为.故答案为：.题型四：重点考查利用正、余弦定理求三角形周长（边的代数和）典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）在平面四边形中，．(1)若在锐角中，，求周长的取值范围；(2)若，求的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）设，则在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以周长的取值范围为；（2）在中，，在中，，所以，整理得，所以，又，所以，所以,所以.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．(1)求角的值；(2)若，求周长的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1），（法一），，，∴，则，又为锐角三角形，故.（法二）则，，∴，且为锐角三角形，故.（2），，由于为锐角三角形，则，且，解得，（法一）周长，而，即，∴，故的周长l的取值范围为．（法二）由上，由余弦定理得，周长，记，则在单调递增，∴的周长l的取值范围为．例题3．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期中）在中，，从条件①；条件②，两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.(1)若，求的面积；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)面积为(2)【详解】（1）选①：，又，则，由，故，根据，而，故，，所以或（舍），综上，，则的面积为；选②：，所以，则，由，则，，可得，根据，而，故，，所以或（舍），综上，，则的面积为；（2）由（1），，则，且，所以，又为锐角三角形，，则，故，所以，则.例题4．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并给予解答：问题：锐角的内角，，的对边分别为，，，且，___________，求周长的取值范围．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【详解】解：因为，由正弦定理得，又因为，所以，所以，所以，所以，即，因为，所以，若选①：若，由正弦定理，可得，所以，因为为锐角三角形，则满足，可得，则，所以，可得，则周长的取值范围为．若选②：若，由正弦定理，可得，因为为锐角三角形，则满足，可得，则，所以，所以，则周长的取值范围为．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，C=.(1)当时，求的面积;(2)求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由，得，即，即，当时，，得;当时，，由正弦定理得，由余弦定理及已知条件可得，联立.解得，故三角形的面积为.（2）法一：由余弦定理可得:，由得，当且仅当a=b取等号.又，即.即周长的取值范围是.法二:，中，由正弦定理有，.即周长的取值范围是.2．（2023·河北·统考模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.(1)证明：；(2)若为的中点，且，，求的周长.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由题意知，故由正弦定理可得，即，又，所以,即，即，而在中，，所以，即；（2）若为的中点，且，，即,则,故，由得，由可得，则，故的周长为.3．（2023春·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）在锐角中，角的对边分别为，S为的面积，且．(1)求的值；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，∴，∴，∴，又∵，∴∴，∴（舍），.（2）∵，∴，∴∵为锐角三角形，∴，，∴，，∴，，∴．令，单调递减，单调递增，当，当，4．（2023·全国·高三专题练习）在锐角△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，则的取值范围是_____.【答案】【详解】法一：由正弦定理得，即，，因为，所以，故，因为，所以，利用极限思想，当A为直角时，，，此时；当C为直角时，，，此时；所以；法二：由正弦定理得，即，，因为，所以，故，因为，所以，由正弦定理得，所以，其中，所以，因为为锐角三角形，，所以，，解得，故，因为在上单调递增，所以当时，取得最大值，其中，此时，当时，取得最小值，∴，故.故答案为：题型五：重点考查利用正、余弦定理求三角形面积典型例题例题1．（2023春·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）直线过的重心（三条中线的交点），与边、交于点，且，，直线将分成两部分，分别为和四边形，其对应的面积依次记为和，则的最大值为__________．【答案】/【详解】由，可知，，连接并延长交于，过作//，过作//，分别交的延长线于如图所示.根据重心的性质可知，，不妨设.由//，容易得到和三角形相似，于是；由//，容易得到和三角形相似，于是.由是梯形的中位线可得.根据三角形的面积公式：.根据基本不等式，即，当时取得等号.故，即，最大值为.故答案为：例题2．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，且的周长为12．(1)求证：为直角三角形；(2)求面积的最大值．【答案】(1)证明见详解(2)【详解】（1）在中有，，又，则，可得，可得①，又，，是三角形内角，若，则，此时①式不成立；若，则，此时①式不成立；所以，则，则，所以是直角三角形．（2）设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，则直角三角形的面积，又，则，所以，即，即，所以，当且仅当时，取最大值，且最大值为．例题3．（2023春·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）从①；②这两个条件中选择一个，补充在下面问题中，并解答．已知的内角，，的对边分别为，，，若．(1)求角；(2)若的平分线交于点，且，，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）若选①：，由正弦定理得，即：，∵，∴，∵在△ABC中，，∴，化简得：，∵，∴，∴．若选②：，由正弦定理得，，∵在△ABC中，，∴，即，∵，∴，故．（2）由角平分线定理：，设，，由（1）知，则，∵，即，化简得，故（舍去），或，故．例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若.(1)求；(2)若，，求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，在中，，∵，∴,即，∴，∵，∴，可得，解得：.（2）由题意及（1）得在中，，，，∴为边的中点，∴,∴，即，设，，则，所以，当且仅当时，等号成立.∴，当且仅当时，等号成立，∴的面积的最大值为.精练核心考点1．（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）在中，角的对边分别是，点是边上的一点，且.(1)求证：；(2)若求面积.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在中，，则，整理得，则，又，则，则，，则.（2）由，可得，又，则，易知，可得，解之得，又，则，由，可得，则.2．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中，，，点B，D在直线AC的两侧，，．(1)求∠BAC；(2)求与的面积之和的最大值．【答案】(1)(2)1【详解】（1）在中，由余弦定理，即，因为，所以.（2）设，则，在中，由正弦定理，可得，因为的面积，的面积，可得与的面积之和，因为，则，可知当，即时，取到最大值1，即与的面积之和的最大值为1.3．（2023·全国·高三专题练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，．(1)求A；(2)若M是直线BC外一点，，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由得，由正弦定理得，因为，所以．又因为，所以，所以.因为，所以．（2）由得，故．因为，所以，所以，可得.根据正弦定理可得，.设，，在中，，由余弦定理可得.所以，当且仅当时取等号，所以.所以．故面积的最大值为．4．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为(1)求角；(2)已知边的中点为，且，求面积的最大值.【答案】(1)(2).【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，因为，所以，，即，所以，又，所以，所以，即.（2）因为，所以，由余弦定理，解得，又，所以，所以当且仅当时取等号，所以，因为，所以面积的最大值为.题型六：重点考查利用正、余弦定理解决四边形问题典型例题例题1．（2023春·吉林·高一长春吉大附中实验学校校考期中）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，D是外一点，，，则下列说法错误的是（

）A．是等边三角形 B．若，则、，，四点共圆C．四边形面积最大值为 D．四边形面积最小值为【答案】D【详解】对于A，因为，所以，即，由，可得，所以或，又因为，可得．所以，故A正确；对于B，在中，因为，，，所以，所以，此时四边形对角互补，四点，，，共圆，故B正确；对于CD，等边中，设，，在中，由余弦定理得，由于，，可得，所以，因为，，所以，所以四边形面积的最大值为，无最小值，故C正确，D错误.故选：D．例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，四边形中，．(1)求线段的长；(2)求四边形面积的最大值．【答案】(1)；(2).【详解】（1）在中，由余弦定理得，即，由解得，所以；（2）设，在中，由余弦定理，得，当且仅当时等号成立，此时，所以.又，，所以，所以，故四边形ABCD的面积的最大值为.例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，是边长为2的正三角形，在平面上且满足，记．(1)若，求PB的长；(2)用表示，并求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，且是边长为2的正三角形，则，且，所以在中，由余弦定理得，所以．（2）由，则，则，在中，由正弦定理有，得，所以，又，且，则，则，所以，则，故的取值范围为．精练核心考点1．（2023春·北京·高一101中学校考期中）在中，角的对边分别为，.(1)求角的大小；(2)若，为外一点，如图，，求四边形面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为由正弦定理得，，即，因为，所以，即，因为，所以.（2）在中，，，所以，又，则为等边三角形，，又，所以，所以当时，四边形的面积取最大值，最大值为.2．（2023春·安徽·高一安徽省宿松中学校联考期中）如图，某学校有一块平面四边形空地，已知，，且.(1)求，两点间的距离；(2)设的角的对边分别是，且满足，现要在内做一个最大的圆形花圃，求这个最大圆形花圃的面积.【答案】(1)7(2)【详解】（1）在中，因为，所以.由余弦定理可得，所以，.故，两点间的距离是7.（2）由正弦定理得，，整理可得，由余弦定理得，.又，所以.因为在内部的圆中，内切圆的面积最大，设内切圆的半径是，由（1）可知，则.又，因此.在中，，，由正弦定理得，所以，，于是.又，所以.当时，取得最大值14，从而内切圆的半径取得最大值.故最大圆形花圃的面积是.3．（2023·江西九江·统考三模）如图，圆内接四边形ABCD中，已知，．(1)求；(2)求四边形面积的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）设四边形ABCD外接圆的半径为R，，则，且，∴如图，在△ABD和△BCD中，由正弦定理得．即∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴（2）连接AC，由（1）知，∴又，∴△ABC为等腰直角三角形，∴解法一：取BC的中点O，AC的中点E，连接OE，则，∴当点D在OE的延长线上时，，此时△ADC面积最大，最大值为∴四边形ABCD面积的最大值为．解法二：在△ADC中，由余弦定理得即即，∴，即，当且仅当时取等号．∴∴四边形ABCD面积的最大值为．题型七：重点考查正、余弦定理的实际应用典型例题例题1．（2023春·北京·高一北京市第二十二中学校考期中）小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，在Rt△ABM中，AM＝＝，在△ACM中，由正弦定理得＝，所以CM＝＝，在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝＝30.故选：D.例题2．（2023·山东济南·统考三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点和点的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点，此时测得点和点的俯角分别为45°和60°（，，，在同一铅垂面内），则，两点之间的距离为______米.【答案】【详解】由题意，，所以，所以在中，，，又，所以，在中，由正弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，，所以.故答案为：例题3．（2023春·浙江·高一校联考期中）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得的俯角分别为，在B点测得的俯角分别为，同时测得．(1)求和的长度；(2)求之间的距离．【答案】(1)，(2)【详解】（1）在中，由题知,，所以，由正弦定理得，所以，在中，又因为，得到，所以.（2）在，由（1），，，所以，在中，，，，由余弦定理得，所以.例题4．（2023春·吉林·高一东北师大附中校考期中）三角学起源于土地和天文学中的测量.1752年，法国天文学家拉卡伊（1713-1762）和他的学生拉朗德（1732-1807）利用三角测量法首次精确地计算出地月距离.他们的测量方案是：拉卡伊和拉朗德分别来到观测地德国柏林（A点）和非洲南端的好望角（点），这两个地方经度相近，可看做在同一经度线上，纬度分别是北纬度和南纬度，他们同一时间分别在这两个地方进行观测.如图所示，当夜幕降临时，月亮从地平线上越升越高，当它到达最高点，即是平面四边形时，在A点（柏林）测出月亮的天顶距（即离开头顶方向的角度），在点（好望角）测出月亮的天顶距.在中求出，和，在此基础上，解，求出地月距离的近似值或.设地球的半径为，利用测量方案中提供的数据（，，，，），求：(1)和；(2).【答案】(1)，；(2)【详解】（1）由题意可得：，则为等腰三角形，顶角，所以，由余弦定理得：即；（2）由上可得：，，由正弦定理解可得：精练核心考点1．（2023·浙江·高三专题练习）喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得酒店顶端的仰角，则酒店的高度约是（