2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第03讲 指数与指数函数（解析版）

第03讲指数与指数函数目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：题型篇 2题型一：重点考查指数和指数幂的运算 2题型二：重点考查指数函数的定义 4题型三：重点考查指数函数的图象过定点 5题型四：重点考查指数函数的定义域 7题型五：重点考查指数函数的值域（含指数型函数） 8题型六：重点考查指数函数的单调性及其应用 11题型七：重点考查指数函数的综合性问题 14题型八：重点考查指数函数模型的应用 20第二部分：方法篇 23方法一：可化为一元二次函数型 23方法二：分类讨论 25第一部分：题型篇题型一：重点考查指数和指数幂的运算典型例题例题1．（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）若，则____________．【答案】【详解】由可得：，，.故答案为：.例题2．（2023春·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）__________．【答案】/【详解】,故答案为:.例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，则=__________【答案】【详解】，.故答案为：精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最大值为__________【答案】【详解】,，即，，当且仅当时等号成立.则的最大值为.故答案为：.2．（2023·全国·高三专题练习）若，则______【答案】【详解】在等式两边平方可得，因此，.故答案为：.3．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）（1）已知正数a满足，求的值．【答案】【详解】令，则，∴，同理得，∴（舍去）∴题型二：重点考查指数函数的定义典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数是指数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A,是幂函数，对于B，系数不为1，不是指数函数，对于C,是底数为的指数函数，对于D,底数不满足大于0且不为1，故不是指数函数，故选：C例题2．（2023·全国·高一专题练习）若函数为指数函数，则的取值范围是________【答案】或，【详解】为指数函数，则或，解得：或，故答案为：或，例题3．（2023·高一课时练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】③【详解】①的系数不是，不是指数函数；②的指数不是自变量，不是指数函数；③是指数函数；④的底数是不是常数，不是指数函数；⑤的指数不是自变量，不是指数函数；⑥是幂函数．故答案为：③精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）函数是指数函数，则（

）A．或 B． C． D．且【答案】C【详解】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.故选：C2．（2023春·河北·高三统考学业考试）若函数是指数函数，则等于（

）A．或 B．C． D．【答案】C【详解】由题意可得，解得.故选：C.3．（2023·全国·高一专题练习）若函数（，且）是指数函数，则________．【答案】8【详解】解：因为函数是指数函数，所以，所以．故答案为：8.题型三：重点考查指数函数的图象过定点典型例题例题1．（2023秋·福建宁德·高一统考期末）函数（且）过定点______.【答案】【详解】因为（且）过定点，令得：，故，故过定点坐标.故答案为：例题2．（2023秋·吉林松原·高一松原市实验高级中学校考期末）函数且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为______.【答案】【详解】由可得，，所以.设，由可得，，所以，即有，所以.故答案为：.例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数所过的定点在一次函数的图像上，则的最小值为__________.【答案】【详解】令得，由题意得过的定点为，则，，当且仅当即时等号成立，故的最小值为，故答案为：精练核心考点1．（2023·高一单元测试）函数且的图象恒过定点______．【答案】【详解】当时，，的图象恒过定点.故答案为：.2．（2023秋·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）记函数所过定点为P，若P位于幂函数的图象上，则_________．【答案】【详解】在函数中令得，故所过定点为，设，将代入得，所以，故，所以.故答案为：3．（2023·全国·高三专题练习）函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.【答案】/4.5【详解】当时，，过定点，又点在直线上，，即，，，，（当且仅当，即，时取等号），的最小值为.故答案为：.题型四：重点考查指数函数的定义域典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意得：，故，故，解得：，故函数的定义域是，故选：B．例题2．（2023·高一课时练习）函数的定义域为______．【答案】【详解】因为，所以，则，即，解得，故函数的定义域为．故答案为：.精练核心考点1．（2023·云南大理·高一校考期中）函数的定义域是______．【答案】【详解】由题意可知，故函数的定义域是，故答案为：.2．（2023·上海·高一专题练习）函数的定义域为_____________．【答案】【详解】令.故答案为：.题型五：重点考查指数函数的值域（含指数型函数）典型例题例题1．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令，则，∵，∴，∴函数的值域为，故选：D例题2．（2023·上海静安·统考二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________.【答案】【详解】函数（）是偶函数，，，易得，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以，所以函数的值域为．故答案为：．例题3．（2023秋·广西北海·高一统考期末）已知函数是指数函数.(1)求实数的值；(2)已知，，求的值域.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由题意可得，解得.（2）解：由（1）可得，因为，令，，令，则，，因此，函数的值域为.精练核心考点1．（2023·高一课时练习）函数的值域为____.【答案】【详解】解：令，函数化为，即函数的值域为．故答案为：2．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）已知函数（且）满足.求函数的值域.【答案】【详解】由题意可得，故，∵，且在上单调递减，∴，当且仅当，即时，等号成立，故函数的值域为.3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知.(1)求证：为奇函数；(2)求函数的值域.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数为奇函数.（2），因为，所以，所以，所以，所以，即函数的值域为.题型六：重点考查指数函数的单调性及其应用典型例题例题1．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）若且，函数，满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，对任意的实数都有成立，可知函数在上单调递增，，解得，故选：D.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数）．若在区间上是增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数为增函数，若在区间上是增函数，由复合函数的单调性知，必有在区间上是增函数，又在区间上是增函数，所以，故有.故选：B．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数则关于t的不等式的解集为________.【答案】.【详解】函数的定义域为R.因为，所以，所以，即是奇函数.因为为增函数，所以为减函数，所以在R上为减函数.所以可化为.所以，解得：或.故答案为：.例题4．（2023·全国·高三专题练习）求函数的单调区间___________.【答案】增区间为，减区间为【详解】设t＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函数t＝在R上单调递减，所以函数的增区间为，减区间为.故答案为：增区间为，减区间为精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知（为常数）为奇函数，则满足的实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数为奇函数，所以，，得所以，任取，则，则，所以，，则函数为上的增函数，由，解得.故选：A.2．（2023秋·山东济宁·高一统考期末）已知且，若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】由题意可知，当时，函数单调递增，所以函数是上的单调递增函数，可得，解得，故答案为：.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则使得成立的的取值范围是__________.【答案】【详解】由且，所以为偶函数，若时，，而，所以，故在上递增，则上递减，要使成立，即，可得.故答案为：4．（2023·上海·高一专题练习）函数的单调减区间是_________.【答案】/【详解】令，根据复合函数单调性可知，内层函数在上单调递减，在上单调递增，外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在上单调递减，在上单调递增.故答案为：.题型七：重点考查指数函数的综合性问题典型例题例题1．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设函数在定义域上满足，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵，即，故函数在定义域上奇函数，若在上是减函数，则在上是减函数，∵，且，若，则，解得，故不等式的解集为.故选：A.例题2．（2023·江苏南通·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数为偶函数，则，即，①又因为函数为奇函数，则，即，②联立①②可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为.故选：B.例题3．（多选）（2023·安徽合肥·统考一模）已知，函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，因此函数在上单调递增，而，函数图象为曲线，A可能；当时，函数在上的图象是不含端点的射线，B可能；当时，取，有，即函数图象与x轴有两个公共点，又，随着的无限增大，函数呈爆炸式增长，其增长速度比的大，因此存在正数，当时，恒成立，即，C可能，D不可能.故选：ABC例题4．（2023春·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中）设函数（且）.(1)讨论函数的单调性；(2)若，函数，，求的最小值.【答案】(1)单调性见解析；(2).【详解】（1）函数的定义域为R，当时，函数在R上单调递增，则函数在R上单调递减，而函数在R上单调递减，因此函数在R上单调递减；当时，函数在R上单调递减，则函数在R上单调递增，而函数在R上单调递增，因此函数在R上单调递增，所以，当时，函数在R上单调递减；当时，函数在R上单调递增.（2）由得：，又且，解得，令，，由（1）知在上单调递增，有，，因此，当，即时，，所以当时，函数取得最小值.例题5．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）已知函数（且）．(1)若为偶函数，求的值；(2)当时，，且函数在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为（且）为偶函数，所以，而（且），即（且），解得．（2）当时，，由，得，解得（舍）或，在上恒成立，可转化为：，在上恒成立．，令，则在上为增函数，所以，，所以当时，取得最小值，所以的取值范围为．精练核心考点1．（2023·广西南宁·统考二模）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．.【答案】C【详解】，函数定义域为，，函数为奇函数，排除BD；，，故，排除A.故选：C2．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）若，，且满足，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，可得.因为函数在上单调递减，所以.因为函数在上单调递减，所以.因为函数在上单调递减，所以.综上，.故选：C3．（2023春·河北石家庄·高一石家庄一中校考期中）已知定义在上的奇函数，（其中为常数）.(1)求实数的值；(2)求不等式的解集.【答案】(1)，(2)【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，所以，经检验符合题意，故，由，得，解得，经检验，符合题意，所以，；（2）由（1）得，令，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上为减函数，由函数为奇函数，得不等式，即为，所以，即，整理得，所以，所以不等式的解集为.4．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时，．(1)求函数的解析式；(2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵是定义在上的奇函数，且时，，∴，解得，∴时，，当时，，则，即在上的解析式为．∴函数的解析式为（2）∵时，，∴在有解，整理得，令，显然与在上单调递减，∴在上单调递减，则，∴∴实数的取值范围是．5．（2023·全国·高三专题练习）已知在区间上的值域为.(1)求实数的值；(2)若不等式

当上恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）函数是开口向上，对称轴为的二次函数，根据的图像有：当时，在上的最小值，不符合，舍；当时，在上的最小值或（舍），，，满足题意；当时，在上的最小值（舍），；（2）由(1)，，不等式为，即，令，则，

在时恒成立，令，是对称轴为开口向上的抛物线，在时单调递减，，，即k的取值范围是；综上，.题型八：重点考查指数函数模型的应用典型例题例题1．（2023春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试）如图，假定、两点以相同的初速度（单位：单位/秒），分别同时从、出发，点沿射线做匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离，那么定义为的纳皮尔对数，函数表达式为（其中为自然对数的底数，），则从靠近的第一个五等分点移动到靠近的四等分点经过的时间约为（

）（参考数据：，，）A．秒 B．秒C．秒 D．秒【答案】C【详解】由题意可知，、两点的初速度为单位/秒，设点运动到靠近点的第一个五等分点时，，则，可得，设点运动到靠近点的四等分点时，，则，可得，故所求时间为（秒），故选：C.例题2．（2023·全国·高三专题练习）渔民出海打鱼，为了保证运回鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺的多少来确定鱼的新鲜度，三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的，三甲胺积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），负被打上船后，要在最短的时间内将其分拣，冷藏，已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间(分）满足的函数关系式为，若出海后20分这种鱼失去的新鲜度为20%；出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（

）考数据：A．23分钟 B．33分钟 C．50分钟 D．56分钟【答案】B【详解】由题意可得，解得．故．令，即，两边同时取对数，故分钟故选：B例题3．（2023·全国·高一专题练习）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量与时间之间近似满足如图所示的图象，则关于的函数解析式为______；据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______h．【答案】【详解】解：由题意知，当时，函数图象是一条线段，易得解析式为；当时，函数的解析式为，将(1,4)代入函数解析式，得，解得a＝3，故解析式为．所以．令，则当时，，解得；当时，，解得，所以．故服药一次治疗疾病有效的时间为．故答案为:;.精练核心考点1．（2023秋·云南玉溪·高一统考期末）某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（为常数，为原污染物总量）.若前个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为（

）（参考数据：取）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，前个小时消除了的污染物，因为，所以，所以，即，所以，则由，得，所以，故正整数的最小值为.故选：C.2．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数.若将62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，可测得1min以后物体的温度是52℃，由此可求出的值约为0.24.现将55℃的物体，放在15°C的空气中冷却，则开始冷却___________分钟（精确0.01）后物体的温度是35℃.（参考数据：）【答案】2.89【详解】由题意可知，，，代入方程得即，两边取对数得，由参考数据可知，所以，故答案为：2.893．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数单调递增，且对，有，则___________.【答案】【详解】根据题意，对，有又是定义在R上的单调增函数R上存在常数a使得，，解得故答案为：.第二部分：方法篇方法一：可化为一元二次函数型典型例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______．【答案】【详解】，令，由于，根据指数函数性质，，于是问题转化为：时，恒成立，下只需求时的最大值.根据二次函数性质可知，当时递减，上递增，而端点和相比距离对称轴更远，故，于是.故答案为：2．（2023秋·河北石家庄·高一石家庄一中校考阶段练习）若对任意的，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．【答案】【详解】由，得，令，因为，所以，所以对任意恒成立，因为在上单调递增，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以，所以.故答案为：3．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考开学考试）函数的定义域为.（1）设，求t的取值范围；（2）求函数的值域.【答案】（1）（2）.【详解】（1）在上单调递增.（2）函数可化为：，在上单调递减，在上单调递增比较得