2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第05讲 利用导数研究函数的零点问题（原卷版）

第05讲利用导数研究函数的零点问题目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：题型篇 1题型一：确定函数零点（方程根）的个数问题 1题型二：函数的最值（极值）与函数零点问题 11题型三：函数的图象与函数零点问题 19第二部分：易错篇 26易错一：借助图象时注意结合极限，画更精确的图象 26第一部分：题型篇 题型一：确定函数零点（方程根）的个数问题典型例题例题1．（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知函数，其中表示不大于的最大整数（如，），则函数的零点个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数与，则它们的图象交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．不确定例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)设，求在区间上的最值；(2)讨论的零点个数.例题4．（2023·上海静安·统考二模）已知函数.（其中为常数）(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的最小值；(3)当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.例题5．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数，其中为常数，．(1)求单调区间；(2)若且对任意，都有，证明：方程有且只有两个实根．例题6．（2023·四川绵阳·统考三模）已知函数.(1)当时，求曲线在处切线的方程；(2)讨论函数在区间上的零点个数.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，，，则函数的零点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，则的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)证明：函数在上有且仅有一个零点．4．（2023春·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中）已知函数．(1)求函数的单调区间和极值：(2)若，讨论函数的零点个数．5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)讨论的单调区间；(2)当时，试判断函数的零点个数解：6．（2023春·天津河北·高二统考期中）已知函数.(1)判断函数的单调性，并求出函数的极值；(2)画出函数的大致图象；(3)讨论方程的解的个数.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．已知曲线在点处的切线与直线平行．（1）求的值；（2）证明：方程在内有且只有一个实根．题型二：函数的最值（极值）与函数零点问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·浙江·高二期中）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)方程恰有两个不同的实根，求的取值范围.例题3．（2023春·天津静海·高二校联考阶段练习）已知函数，.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，（ⅰ）求函数的单调区间；（ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围.例题4．（2023·全国·高三专题练习）设函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在处有极值且，当函数恰有三个零点时，求实数的取值范围.例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象在处的切线与直线平行.（1）求的值；（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求的取值范围.精练核心考点1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若过点（其中是整数）可作曲线的三条切线，则的所有可能取值为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023春·陕西咸阳·高二校考期中）设函数.(1)对于任意实数x，恒成立，求m的最大值；(2)若方程有且仅有一个实根，求a的取值范围.3．（2023·高二课时练习）已知函数在x=1处取得极值3.(1)求a，b的值；(2)若方程有三个相异实根，求实数k的取值范围.4．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二校考开学考试）若函数，当时，函数取得极值.(1)求函数的解析式；(2)若方程有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.（2023春·天津红桥·高二天津市瑞景中学校考期中）关于的方程只有一个实数解，则实数的取值范围是________．题型三：函数的图象与函数零点问题典型例题例题1．（2023·高二课时练习）已知函数若方程有三个不同的解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若关于的方程有三个实数解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足：，若方程在（0，2]上恰有三个根，则实数的取值范围是___________.例题4．（2023春·湖北襄阳·高二宜城市第一中学校联考期中）已知函数．(1)若，求函数在点处的切线方程；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）设有三个不同的零点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023春·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考阶段练习）已知函数.(1)求的单调区间和极值.(2)若关于的方程有唯一的实数根，求实数的取值范围.4．（2023春·高二课时练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有个不等实根，求证：.5．（2023·高二校考课时练习）已知函数．(1)求的极值；(2)若函数在上有两个不同的零点，求实数m的取值范围．第二部分：易错篇易错一：借助图象时注意结合极限，画更精确的图象典型例题例题1．（2023