2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第05讲 数列不等式（原卷版）

第05讲数列不等式目录TOC\o"1-2"\h\u题型一：数列不等式中恒成立问题 1角度1：判断（证明）数列中的恒成立问题 1角度2：根据数列中的恒成立求参数 2角度3：数列中的恒成立的探索性问题 4题型二：数列不等式中能成立（有解）问题 7题型一：数列不等式中恒成立问题角度1：判断（证明）数列中的恒成立问题典型例题例题1．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）数列满足，数列的前项和为，数列满足，数列的前项和为.(1)求数列的前项和；(2)求证：例题2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)证明：．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，.(1)判定数列单调性；(2)判断，是否恒成立.角度2：根据数列中的恒成立求参数典型例题例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）数列是首项和公比均为2的等比数列，为数列的前项和，则使不等式成立的最小正整数的值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11例题2．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知正项数列，其前项和为，且满足，数列满足，其前项和，设，若对任意恒成立，则的最小值是___________.例题3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知数列与的前项和分别为，则______；若对于任意恒成立，则实数的取值范围是______.例题4．（2023·云南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.例题5．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)若对一切正整数.不等式恒成立.求的最小值.角度3：数列中的恒成立的探索性问题典型例题例题1．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）已知各项为正数的数列的前项和为，且.(1)设，求数列的前项和为；(2)设为非零整数，，是否存在确定的值，使得对任意，有恒成立若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.例题2．（2023·全国·高三专题练习）设，.(1)若，求，及数列的通项公式；(2)若，问：是否存在实数，使得对所有成立？证明你的结论.精练核心考点1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，，，若对恒成立，则实数的最大值为（

）A． B．16 C． D．322．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且，若恒成立，则实数的最大值为______．3．（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列的各项均为正数，为其前项和，且成等差数列.则的通项公式为__________；若为数列的前项积，不等式对恒成立，则实数的最小值为__________.4．（2023·广东广州·统考模拟预测）设为数列的前项和，已知．(1)求；(2)求证：．5．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，．(1)证明：是等比数列；(2)证明：；(3)设数列满足：．证明：．6．（2023春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）设数列{}的前项和为，且满足.(1)求证数列{}是等比数列；(2)数列满足，且.（i）求数列的通项公式；（ii）若不等式对恒成立，求实数λ的取值范围.7．（2023·湖北·模拟预测）设对任意，数列满足，，数列满足．(1)证明：单调递增，且；(2)记，证明：存在常数，使得．8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，且满足(1)设，证明：是等比数列(2)设，数列的前项和为，证明：9．（2023春·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期中）已知等差数列的前n项和公式为，，．(1)求的通项公式；(2)若对，恒成立，求的取值范围．10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，设，数列的前项和为，是否存在最小的正整数？使得对一切成立，说明你的理由．题型二：数列不等式中能成立（有解）问题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）数列的通项公式，若，是否存在正整数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间（）上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是______．例题4．（2023·北京通州·统考三模）已知：正整数列各项均不相同，，数列的通项公式(1)若，写出一个满足题意的正整数列的前5项：(2)若，求数列的通项公式；(3)证明若，都有，是否存在不同的正整数，，使得，为大于1的整数，其中.例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，，.(1)求数列的通项公式；(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：已知，___________，是否存在正整数，使得数列的前项和？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）精练核心考点1．（2023·上海·高三专题练习）已知数列满足，，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前项和.若存在，使不等式成立，求实数的最大值.3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前n项和满足．(1)求的通项公式；(2)设数列满足，记的前n项和为，若存在使得成立，求的取值范围．4