2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第06讲 函数与方程（解析版）

第06讲函数与方程目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：题型篇 1题型一：重点考查根判断函数零点区间 1题型二：重点考查零点个数 3题型三：重点考查零点中的参数问题 7题型四：重点考查借助图象比较零点大小 15题型五：重点考查借助图象求零点代数和 19题型六：重点考查二分法 27第二部分：方法篇 30方法一：数形结合 30第一部分：题型篇题型一：重点考查根判断函数零点区间典型例题例题1．（2023秋·吉林长春·高一汽车区第三中学校考期末）函数的零点所在的大致区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】的定义域为，又与在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为，故选：C.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的解在内，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】构建，则在定义域内单调递增，故在定义域内至多有一个零点，∵，∴仅在内存在零点，即方程的解仅在内，故.故选：B.例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在区间（取整数）是_________．【答案】【详解】由题意，得的定义域为，易知函数和在均为增函数，所以在单调递增，因为，，所以由零点存在定理可知，函数零点所在区间为.故答案为：.精练核心考点1．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数，则的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由已知得，，，，，所以，由零点的存在定理得，的零点所在的区间为，故选：D．2．（2023秋·辽宁鞍山·高一统考期末）已知函数在区间上有唯一零点，则正整数（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【详解】函数的定义域为，且在上是减函数；易得，，∴，根据零点存在性定理及其单调性，可得函数的唯一零点所在区间为，∴．故选：C．3．（2023秋·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）已知函数的零点在区间内，，则______．【答案】【详解】明显函数在上单调递增，且为连续函数，又，，由零点存在定理得函数的零点在区间内，故.故答案为：.题型二：重点考查零点个数典型例题例题1．（2023春·江西赣州·高一校考期中）函数零点的个数（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】画出函数和的图象，其中，如图,由图可知，当时，，两函数图象没有交点；当时，两函数图象有3个交点；当时，，两函数图象没有交点，综上，函数和的图象有3个交点，所以，函数零点的个数为3．故选：C.例题2．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】由，得，又，所以，所以或解得或.所以函数在的零点个数是2.故选：A.例题3．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）已知函数，若实数，则函数的零点个数为（

）A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3【答案】D【详解】函数的零点个数即函数与的函数图象交点个数问题，画出的图象与，的图象，如下：故函数的零点个数为2或3.故选：D例题4．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）已知，函数在零点的个数最大值为______．【答案】14【详解】令可得，则有，设是相邻的两个零点，则有或函数在上有且仅有两个零点，在上有且仅有两个零点，在上有且仅有两个零点，在上有且仅有两个零点，在上有且仅有两个零点，在上有且仅有两个零点，因为，所以在可能没有零点，可能有1个零点，可能有2个零点，不可能有3个零点，所以零点的个数最大值为个，故答案为:14.精练核心考点1．（2023春·山东淄博·高一校考阶段练习）函数的零点个数有（

）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【详解】函数的零点，即方程的解，令，，也就是函数与的交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示，由图可知与有6个交点，即有6个零点.故选：C2．（2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）方程的实数解个数为（

）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】B【详解】方程的实数解个数，即函数交点的个数，如图，作出函数的图象，由图可知，函数的图象有个交点，所以方程的实数解个数为个.故选：B.3．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数，则方程的实根个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】，解得或，当时，，解得，，解得（舍）；当时，，解得或（舍），，解得或（舍）；综上，方程的实根为或或，即方程的实根个数为3个，故选：A.4．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数的零点个数为__________.【答案】1【详解】解：注意到，在同一坐标系中作出与的图象，易知零点个数为1.故答案为：1.题型三：重点考查零点中的参数问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，由可知，当时，函数是周期为1的函数，如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象，数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点，故函数有两个不同的零点.故选：A.例题2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，，且当时，，若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于直线对称 B．当时，C．当时，单调递减 D．a的取值范围是【答案】AB【详解】解：根据题意得：知是偶函数，由知是周期为2的周期函数，因为当时，，所以有如图的函数图象，故对于A选项，由图可知图象关于对称，所以A正确；对于B选项，当时，，所以B正确；对于C选项，当时，由周期为2可知单调性与时的单调性相同，易知当时，单调递增，所以C错误；对于D选项，设，则函数在上至少有三个不同的零点，等价于函数与图象在上至少有三个不同的交点，结合图象可知，则有，即，解得，所以D错误.故选：AB.例题3．（2023·北京·高三专题练习）设函数①当时，_________；②若恰有2个零点，则的取值范围是_________．【答案】【详解】当时，，所以，所以，令，可得当时，，所以或，当或时，方程在上有唯一解，当或时，方程在上的解为或，当时，，所以当时，，当时，方程在上无解，综上，当时，函数有两个零点，当时，函数有两个零点，当时，函数有三个零点，当时，函数有两个零点，因为恰有2个零点，所以或，所以a的取值范围是.故答案为：；.例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有一个零点，则实数的取值范围为______．【答案】．【详解】由，x=0不是方程的解，∴，将原方程唯一零点转变为直线与曲线有唯一交点，下面讨论曲线的图像：的定义域为，，当时，，当时，，当时，

，因此y在处，取得极小值，其极小值为，当时，，即y是单调递减的，当x从小于0的方向趋向0的时候，y趋向于，故图像如下图：；故答案为：.精练核心考点1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知，，若方程有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为（

）A． B． C． D．1【答案】BC【详解】当时，即，解得，当时，即，解得，则当时，，此时方程，即，即，此时若则，此时若则，当时，，此时方程，即，即，其中方程①与②最多各有一个实数根，方程③最多有两个不同的实数根，原方程有四个不同的实数根，方程①与②各有一个实数根，方程③有两个不同的实数根，对于方程有两个不同的实数根，可以等价为：解得，对于选项A：取不到，故选项A错误；对于选项B：当时，方程①的根为，方程②的根为，符合题意，故选项B正确；对于选项C：当时，方程①的根为，方程②的根为，符合题意，故选项C正确；对于选项D：取不到1，故选项D错误；综上所述，选项BC正确，故选：BC.2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恰有两个零点，则的可能取值为（

）．A． B． C．4 D．6【答案】BD【详解】因为函数与函数交于点,由函数图象的性质得函数与在上至多一个交点，由题意，函数，函数有两个交点，若时，恰有两个零点时，如图（1）所示，则满足，解得；若时，恰有一个零点，在时，恰有一个零点，则或解得，结合选项，可得的可能取值为和.故选：BD.3．（2023·天津·校考模拟预测）记，若有三个不等实根，若，则实数________.【答案】【详解】令，两边平方后得，令，定义域为，恒过点，联立，解得：，，所以,画出函数的图象，在上，在上，，，联立，解得：，联立，得，解得：，，，，，解得：，因为，所以.故答案为：4．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是_______．【答案】【详解】，，画出的图像，化简，，故的必过点，恰有三个不同的零点，即为有三个不同的实根，作出和的图像，直线与曲线相切时，有，由，可得，解得或，又由，得，故（舍去），当与曲线相切时，两图像恰有三个交点，令，此时，解得，结合图像可得，或故答案为：题型四：重点考查借助图象比较零点大小典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：在同一坐标系中作出的图象，由图象知：，故选：B例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（

）．A． B．C． D．【答案】C【详解】函数，，的零点，即为与，，的交点，作出与，，的图象，如图所示，可知故选：C例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，它们的零点的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，，，，，作出函数，，的图象及直线，由图象可得，，，所以．故选：B．例题4．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）已知函数的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由得，，由得，由得.在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，由图象知，，.故选：B精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图：∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b，由图象知a＜1＜b，故选A．2．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则、、的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】构造函数，因为函数、在上均为增函数，所以，函数为上的增函数，且，，因为，由零点存在定理可知；构造函数，因为函数、在上均为增函数，所以，函数为上的增函数，且，，因为，由零点存在定理可知.因为，则，因此，.故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由得，，由得，由得.在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，由图象知，，.故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】画出与三个函数的图象，如图可得的与交点的横坐标依次为，故故选：B题型五：重点考查借助图象求零点代数和典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的所有零点之和为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：因为，令，即，当时显然不成立，当时，作出和的图象，如图，它们关于点对称，由图象可知它们在上有4个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以4个点的横坐标之和为．故选：C．例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的所有零点之和等于（

）A． B．0 C．3 D．2【答案】D【详解】令，则，得，因为，所以，所以所有零点之和为.故选：D例题3．（2023·河南·校联考二模）已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则关于的方程在上所有实数解之和为（

）A．9 B． C． D．7【答案】B【详解】函数是定义域为的偶函数，当时，，则当时，，又，则函数的周期是3，显然，即直线是图象的一条对称轴，因此直线是图象的对称轴，函数的最小正周期是，直线是图象的对称轴，函数与在当时取得相同最大值，在同一坐标平面内作出函数与的图象，如图，观察图象知，函数与在上有7个公共点，对应横坐标依次为，由对称性知，，于是，所以关于的方程在上所有实数解之和为.故选：B例题4．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______.【答案】18【详解】∵满足，则关于直线对称，又∵是定义在上的奇函数，则，即，则，∴是以4为周期的周期函数，对，可得，则，∴关于点对称，令，则，可知：与均关于点对称，如图所示：设与的交点横坐标依次为，则，故函数的所有零点之和为.故答案为：18.例题5．（2023·全国·高三专题练习）函数的所有零点之和为_________.【答案】【详解】由，可得，令，可得函数与的图象都关于直线的对称，在同一坐标系内作出函数与的图象，如图所示，由图象可得，函数与的图象有6个公共点，其横坐标依次为，这6个点两两关于直线的对称，所以，所以，即函数的所有零点之和为.故答案为：.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）函数的所有零点之和为（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【详解】令，得，图象关于对称，在上递减.，令，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，，在上递增，所以与有两个交点，两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为.故选：B2．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（

）A． B． C．D．【答案】A【详解】，所以如下图示，要使恰有四个不同的实数解，则，不妨设，由图知：，且，即，令，可得或，令，可得或，所以，而在上递减，故，综上，.故选：A3．（2023·江西宜春·统考一模）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点之和为__________.【答案】4044【详解】由是定义在R上的奇函数，所以，又，所以，则的周期是2，且得是其中一条对称轴，又时，于是图象如图所示，又函数零点，即为与的交点的横坐标，由图知：交点关于对称，每个周期都有2个交点，所以、各有个周期，故各有个交点，它们两两关于对称，所以零点之和为.故答案为：4．（2023·全国·高三专题练习）函数上所有零点之和为_____.【答案】4【详解】函数，即，函数和都关于对称，所以函数和的交点也关于对称，如图画出两个函数在区间的函数图象，两个函数图象有4个交点，利用对称性可知，交点横坐标的和.故答案为：45．（2023·全国·高三专题练习）函数在上所有零点之和为__________________.【答案】4【详解】函数，即，函数和关于点对称，如图画出两个函数在区间的函数图象，两个函数图象有4个交点，利用对称性可知，交点横坐标的和.故答案为：4题型六：重点考查二分法典型例题例题1．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，，所以函数在区间上有唯一零点，所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.故选：B.例题2．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】不是单调函数，，不能用二分法求零点；是单调函数，，能用二分法求零点；不是单调函数，，不能用二分法求零点；不是单调函数，，不能用二分法求零点.故选：B例题3．（2023·高一课时练习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，第一次取区间的中点为，那么第三次取区间的中点为________.【答案】【详解】解：由题可知，用二分法求方程在初始区间内的近似解，第一次取区间的中点为，可设，，，，，的零点所在区间为，则第二次取区间的中点为，而，，的零点所在区间为，则第三次取区间的中点为.故答案为：.精练核心考点1．（2023秋·山东菏泽·高一统考期末）在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（

）次区间中点的函数值．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，经过次二分法计算后，区间长度变为，又使用二分法计算函数的在区间上零点的近似解时，要求近似解的精确度为0.1，所以，则，又，所以，又，故，所以接下来至少需要计算你次区间中点的函数值．故选：C.2．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为___________.【答案】【详解】设，则，，，；，，故近似解所在的区间为.故答案为：3．（2023·高一课时练习）已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行______次函数值的计算.【答案】3【详解】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：取区间的中点，且，所以.取区间的中点，且，所以.取区间的中点，且，所以.因为，所以区间的中点即为零点的近似值，即，所以至少需进行3次函数值的计算.故答案为：3第二部分：方法篇方法一：数形结合典型例题例题1．（2023·安徽·校联考三模）已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】方程的根转化为和的图象的公共点的横坐标，因为两个图象均关于点对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．因为时，，所以，所以图象为圆的一部分，作出和的图象如图所示．当时，只需直线与圆相切，所以，可得；当时，只需直线与圆相离，所以，解得得或（舍）．故k的取值范围是．故选：A．例题2．（多选）（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数存在两个不同的零点B．函数既存在极大值又存在极小值C．当时，方程有且只有两个实根D．当时，【答案】ABC【详解】对于A，令，则，解得，所以A正确；对于B，由，则，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确；对于C，当时，；当时，，结合B选项可知，函数的最小值是，如图，当时，方程有且只有两个实根，