2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第06讲 拓展三：三角形中周长、面积（定值最值取值范围）专题（解析版）

第07讲拓展四：三角形中周长、面积（定值，最值，取值范围）专题目录TOC\o"1-2"\h\u题型一：重点考查三角形周长问题 1角度1：三角形周长（边长代数和）定值问题 1角度2：三角形周长（边长代数和）最值问题 8角度3：（锐角）三角形周长（边长代数和）范围问题 16题型二：重点考查三角形面积问题 27角度1：三角形面积定值问题 27角度2：三角形面积最值问题 32角度3：三角形面积范围问题 39题型一：重点考查三角形周长问题角度1：三角形周长（边长代数和）定值问题典型例题例题1．（2023·四川·校联考模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的横线上，并给出解答．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知中，角的对边分别为，点D为边的中点，，且________．(1)求的值；(2)若的平分线交于点E，求的周长．【答案】(1)2(2)【详解】（1）若选①：由可得,又,故,而，故，又，所以；设，则，

在中，由余弦定理得,即，在中，由余弦定理得,即，和联立解得，则；若选②：，设，则，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，所以，即，解得，故.（2）由（1）可知，选①可得；选②可得，则，故由，可得，解得，故在中，，即,故的周长为.例题2．（2023春·湖北孝感·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考期中）如图，在中，，的角平分线交于点.(1)求的值；(2)若，，求的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，的角平分线交于点，所以.（2）设到的距离为，由（1）得，所以，.依题意，由余弦定理得，整理得，所以.例题3．（2023·全国·校联考模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，且的面积为，．(1)求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为的面积为，所以，即①．由余弦定理的推论，得．因为，所以②．易知，①÷②，得．因为，所以．（2）因为，所以，即，所以．又，所以．由正弦定理，得，所以，．由（1），知，所以，所以，即，所以，解得．例题4．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）的内角的对边分别为，已知．(1)求角；(2)若，的面积为，求的值．【答案】(1)；(2)5.【详解】（1）由，正弦定理得：，即，故.因为，所以，可得，所以．（2）由的面积，又，所以.由及余弦定理得，故，从而，所以．精练核心考点1．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，C为钝角，且.(1)求角B的大小；(2)若的面积为6，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，有，由正弦定理，得，则.，，C为钝角，（舍去），，即，因为C为钝角，所以B为锐角，所以（舍去），即.（2），，；，，.由正弦定理，得，，的面积，解得，，由正弦定理，得，，的周长为.2．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，(1)求；(2)若，，求的周长．【答案】(1)；(2).【详解】（1）在中，由余弦定理得，而的面积，由，得，化简得，两边平方得，即有，又是锐角三角形，则，解得，所以.（2）由（1）得，又，则，由余弦定理得：，即，亦即，解得，所以的周长为.3．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．(1)求A；(2)若的面积为，a＝3，求的周长．【答案】(1)；(2)8.【详解】（1）在中，，由正弦定理得：，而，于是，即，又C为三角形内角，有，解得，，所以.（2）依题意，，于是，由余弦定理得，，即，解得，所以的周长为.4．（2023春·陕西·高一校联考期中）在中，角所对的边分别为，且.(1)求；(2)若边上的高为，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得，即，又由，得，所以，由，得，所以，则，所以，由，得，则，即.（2）因为边上的高为，所以，则，由余弦定理得，则，又因为，所以，解得.5．（2023春·全国·高一专题练习）已知中，角的对边分别为，．(1)求；(2)若的面积为，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得：，因为，所以，，即又，所以.（2）由及余弦定理知，,①由面积公式：整理得：,②结合①②可得,即得，所以．角度2：三角形周长（边长代数和）最值问题典型例题例题1．（2023春·辽宁大连·高一校联考期中）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答.记的内角，，的对边分别为，，，且______.(1)求；(2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.）【答案】(1)(2)【详解】（1）选①，因为，由正弦定理可得，即，所以，所以，又，所以；选②，因为，由正弦定理可得，又，所以，即，又，所以，又，所以；（2）由的外接圆的半径为，得，所以，则，当且仅当，即时，取等号，此时为等边三角形，所以的最小值为.例题2．（2023春·辽宁·高一校联考期中）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.已知的三个内角的对边分别为，，，且________.(1)求角的大小；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）若选①：可得，即，由正弦定理可得：，则，因为，则，可得，所以.若选②：因为，则，整理得，由正弦定理可得：，则，又因为，所以.若选③：因为，由正弦定理可得，因为，则，则，整理得，且，则，所以.（2）由正弦定理，可得，所以其中，当，即时，取到最大值.例题3．（2023春·重庆酉阳·高一重庆市酉阳第二中学校校考阶段练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角，，的对边分别是，，，且满足_______，.(1)若，求.(2)求周长的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）选条件①，由及正弦定理，得即，化简得，因为，所以，所以，因为，所以.若选条件②，由及正弦定理，得，即，化简得，因为，所以，所以，因为，所以.若选条件③，由化简得，，由余弦定理得，即，因为，所以，所以三个条件，都能得到由余弦定理得，即，解得.（2）因为所以解得当且仅当时等号成立所以，所以周长最大值为.例题4．（2023春·湖南·高二校联考期中）已知为非钝角三角形，内角的对边分别为的外接圆半径为．(1)求角的大小；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)5【详解】（1）由及正弦定理得，又，所以，又，所以，因为，所以，所以，所以.（2）由的外接圆半径为1及正弦定理有，所以因为为非钝角三角形，则，所以，得所以，所以当或时，即或时，有最小值，最小值为，故的最小值为5.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知条件：①；②；③.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在中，角，，所对的边分别为，，，满足：___________.(1)求角的大小；(2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分【答案】(1)条件选择见解析，；(2).【详解】（1）选择条件①，，在中，由余弦定理得，整理得，则，又，所以.选择条件②，，于是，在中，由正弦定理得，，因为，则，即，因为，因此，即，又，所以.选择条件③，，在中，因为，即，则，又，即有，则，所以.（2）由（1）知，，有，而与的平分线交于点，即有，于是，设，则，且，在中，由正弦定理得，，所以，，所以的周长为，由，得，则当，即时，的周长取得最大值，所以周长的最大值为.2．（2023·广西北海·统考一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，求周长的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由及正弦定理得，因为，所以，因为，，所以，，又，解得；（2）∵，，即，所以，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立．所以周长的最大值为．3．（2023春·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考阶段练习）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下列的问题中，并解决问题．的内角A、B、C的对边分别为、、，已知____________．(1)求B；(2)若的外接圆半径为，求的最大值．【答案】(1)(2)6【详解】（1）若选①，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，因为，所以；若选②，由正弦定理可得，因为，所以，因为，所以；若选择③，因为，所以，即，因为，所以；（2）∵外接圆半径为，∴．由余弦定理，得，∴，化简得．配方可得，∵，∴，解之得，因此，当且仅当时等号成立．所以的最大值为6．4．（2023春·贵州铜仁·高一贵州省松桃民族中学校考阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【详解】（1），，且，，即，即，化简得，，，则，得.，；（2）由正弦定理得，则，，所以，，为锐角，且，，，，则，当时，取得最大值.角度3：（锐角）三角形周长（边长代数和）范围问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知圆是的外接圆，圆的直径.设，，，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，①；②；③的面积为.选择条件______.(1)求的值；(2)求的周长的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）若选①，因为，由正弦定理可得，显然，所以，即，所以，所以，又，所以，因为外接圆的半径，所以.若选②，因为，所以，即，所以，所以，所以，又，所以，因为外接圆的半径，所以.若选③，的面积为，则，由余弦定理可得，所以，所以，又，所以，因为外接圆的半径，所以.（2）由题知，设，，由正弦定理，所以，，所以，因为，所以，所以，所以.例题2．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点．(1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求的大小．①；②；③．(2)若，求的取值范围．【答案】(1)三个条件任选其一都有(2)【详解】（1）选①，因为，所以．由正弦定理得．即，故，因为，，所以，所以，所以．选②，由及正弦定理，得，即，，所以．因为，所以，所以，即．又，所以，所以．选③，由及正弦定理，得，即．因为，所以，所以．又，所以．（2）因为BD平分，所以，在中，，即，在中，，即，因为，所以，所以，所以，故．因为，，，所以，又，所以．又，所以，所以，所以，，即的取值范围为．例题3．（2023春·上海闵行·高一上海市文来中学校考期中）在中，角的对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理，，由可得，由余弦定理，则，则，因为，所以；（2）由为锐角三角形，，可得，由正弦定理，则，则，则的周长为，由，则，因为，整理得：，解得或（舍去），所以，则周长范围是.例题4．（2023春·山东青岛·高一山东省青岛第十九中学校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，若，(1)求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，得到，根据正弦定理可化简为：，又由由余弦定理可知：，所以，又因为，所以.（2）由（1）知：，所以由三角形内角和定理可知：，由正弦定理可得：所以,又因为为锐角三角形，所以，且，得到，所以，例题5．（2023春·湖北襄阳·高一宜城市第一中学校联考期中）设函数.(1)求函数的最小正周期及图象的对称轴；(2)在中，若，且的外接圆的面积为，求的最大值.【答案】(1)，(2)【详解】（1）由题意得，所以函数的最小正周期，令，解得，所以函数的周期是，对称轴方程是；（2）因为，所以，又因为，.所以，故有，已知的外接圆的面积为，设外接圆的半径为，所以，得，设的角所对的边分别为，由正弦定理，.所以，，其中，所以的最大值是.精练核心考点1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在中，分别是角的对边，且满足.(1)求角的大小；(2)若是锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由得：，，则，又，.（2）是锐角三角形，，，解得：；由正弦定理得：（其中，）；当时，；当时，；当时，；的取值范围为.2．（2023春·江苏苏州·高一统考期中）在中，角的对边分别是，满足.(1)求角的余弦值；(2)若是边的中点且，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，由正弦定理有，，，即，在中，由余弦定理，有，，则，即，，∴，则；（2）如图，设，则，，在中,根据正弦定理，有，，，设，（其中，，易得）又，所以在上单调递增，所以，又，所以的取值范围为．根据的图像与性质可知，所以.3．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求证：.(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在中，由及正弦定理得：又∵，∴即，∵，∴.∵，∴，（2）得：得，∴，∴，由题意，及正弦定理得：∵，∴，即故的取值范围为方法二：由正弦定理得：∵，∴，由（1）得：，故由（1）得：得，∴，∴，∴，即，故的取值范围为4．（2023·全国·高一专题练习）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)求角的大小；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理可得，，即.因为，所以，即.因为，所以，则.因为，所以.（2）由(1)中可知，，则，由正弦定理可知，，因为为锐角三角形，所以，则，所以，从而.故的取值范围为.5．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因，中，由正弦定理得，化简为，即.因为，有，则，又，所以；（2）由（1）知，则，令，由正弦定理：得，所以，，所以，因为，则，，所以的取值范围为.题型二：重点考查三角形面积问题角度1：三角形面积定值问题典型例题例题1．（2023春·北京丰台·高一统考期中）在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.(1)求的值；(2)求的面积.

条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【详解】（1）选条件①：在中，因为，所以.因为，所以.所以.

选条件②：在中，因为，所以（2）选条件①：因为，所以选条件②：因为，所以.例题2．（2023春·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期中）从①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在中，分别是内角所对的边且.(1)求角的大小；(2)若，且，求的值及的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为,由正弦定理得,即,得,又,所以.（2）选择①时:,故,根据正弦定理,故,故.若选②:由及正弦定理,得,解得,所以.根据正弦定理,得,故.例题3．（2023春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）在中，，，分别为内角，，所对的边，且满足.(1)求的大小；(2)现给出三个条件：（1）；（2）；（3）.试从中选出两个可以确定的条件写出你的选择，并以此为依据求的面积.（需写出所有可行的方案）【答案】(1)；(2)答案见解析【详解】（1）因为，结合正弦定理可得，，化简可得，即，又，得，，即.（2）①②③①若选择（1）（3），由余弦定理可得，，即解得，则，②若选择（1）（2）由正弦定理可得，，又，③若选择（2）（3），则,由正弦定理可得，且，，即，所以这样的三角形不存在.精练核心考点1．（2023春·广西柳州·高一柳州地区高中校考期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且，且.(1)求角；(2)若，，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，∴，由正弦定理得，是三角形内角，，∴，，是三角形内角，∴；（2）由余弦定理得：，又，，，所以，解得，则的面积.2．（2023春·河南南阳·高一河南省桐柏县第一高级中学校考期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)若角的角平分线与交于点，，，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以根据正弦定理可得，即，由余弦定理可得，因为，所以；（2）由，得，解得，所以的面积为.3．（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）已知内角的对边分别为，且.(1)求角A；(2)若的周长为，且外接圆的半径为1，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，所以，又，所以.（2）设外接圆的半径为，则，由正弦定理得，因为的周长为，所以，由余弦定理得，即，所以，所以的面积.角度2：三角形面积最值问题典型例题例题1．（2023春·广西柳州·高一柳州地区高中校考期中）设的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，由正弦定理得得，所以，又，所以，因为，所以，所以，由，得，所以，当且仅当时，取等号，则，所以的面积的最大值为.故选：B.例题2．（2023春·广西玉林·高一博白县中学校联考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且．(1)求角；(2)若是边上一点，且，，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，所以，因为，所以，所以；（2）因为，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，所以，两式相加得，又在中，由利用余弦定理得：，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，面积的最大值例题3．（2023春·广东深圳·高一翠园中学校考期中）如图所示，中，，，点、是线段（含端点）上的动点，始终保持不变，设.(1)当时，求线段和的长以及的周长；(2)问为何值时，的面积最小？最小面积是多少？(3)求线段长的最小值.【答案】(1)，，(2)，(3)【详解】（1）在中，，，,，由正弦定理，得，所以，在中，，，所以，在中，由余弦定理，得，，则的周长为.（2）在中，由正弦定理，得，所以，在中，由正弦定理，得，所以，在中，已知，∴当时，取得最小值，此时（3）在中，，，易求得边上的高，，由（2）知，，，当时取等号，所以的最小值为.例题4．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．(1)证明：；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由正弦定理及得，，即．再由正弦定理可得．由余弦定理得，,即，故；（2）由及，可得．由得，所以．在中，所以．所以．当且仅当，即时等号成立．故面积的最大值为．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）在①，，；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在中，内角的对边分别是，且满足________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求角；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：选①：因为，由，可得，由正弦定理得:，因为，可得，所以，又因为，可得，所以，因为，所以.选②：因为，由正弦定理得，又因为，可得，则，即，可得，因为，所以.选③：因为，可得，由余弦定理得，又因为，所以.（2）解：因为，且，由余弦定理知，即，可得，又由，当且仅当时，等号成立，所以，所以的面积，即的面积的最大值为.2．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋ccosA=2bcosC．(1)求的值；(2)若点M在边AB上，且，求△ABC面积的最大值．【答案】(1);(2).【详解】（1）由正弦定理及，得，∴．∵，∴，∴，即．又，∴，∴．（2）由题设可得，，所以，整理得，故，即，整理得，当且仅当，时等号成立，故，所以△ABC面积的最大值为．3．（2023春·吉林·高一东北师大附中校考期中）在中，角A，，的对边分别为，，，且有，(1)求角A；(2)若的内切圆面积为，求的面积的最小值.【答案】(1)(2).【详解】（1）即因为，所以，即；（2）如图所示，设的内切圆半径为，圆心为O，D、E、F分别为BC、AC、AB边上的切点.则由题意可得，则①，由（1）及切线长定理可知，，易解得，，故②，由①②可得：，或（舍去），所以，当且仅当时取得最小值.4．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若D是BC上一点，且，求面积的最大值．【答案】(1)；(2).【详解】（1）在中，由及正弦定理得，因为，则有，即，由，得，所以.（2）依题意，，在与中，分别由余弦定理得，，又，于是，则有，整理得，即，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为．角度3：三角形面积范围问题典型例题例题1．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求大小；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由余弦定理得，即，再由正弦定理得，∴，∵，∴，又，∴；（2）由正弦定理得即，而，由为锐角三角形，∴且，则，∴，即.例题2．（2023春·安徽六安·高一六安一中校考阶段练习）设锐角的内角所对的边分别为，已知.(1)求证：；(2)求的取值范围；(3)若，求面积的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，所以，又因为为锐角三角形，可得，所以，可得，即.（2）解：因为，且为锐角三角形，且，可得，所以又因为，即，可得，所以，则，即的取值范围是.（3）解：由正弦定理得，所以，又由，可得，设在为单调递减函数，可得，所以，故的取值范围是.例题3．（202