重难点01 空间角度和距离五种解题方法-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）（解析版）

重难点01空间角度和距离五种解题方法

❶【目录】

题型一：空间中直线与直线所成的角

题型二：空间中直线与平面所成的角

题型三：二面角

题型四：体积法求点面距离

题型五：空间向量解距离、夹角问题

匚技巧方法

异面直线及其所成的角

1、异面直线所成的角：

直线a,b是异面直线，经过空间任意一点。，作直线a',b',并使a'//a,b'//b.我们把直线a'

和6'所成的锐角（或直角）叫做异面直线。和匕所成的角.异面直线所成的角的范围：06（0,2L],当

2

0=90°时，称两条异面直线互相垂直.

2、求异面直线所成的角的方法：

求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线.

3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

1.余弓玄定理：在AAB。中，a2=b2+c2-2bccosA>b2=a2+c2-2accosB>

c2=a2+b2—labcosC.

a2+b2c2

2.余弦定理的推论：COSA」"一）,8SB/+C2〃,C0SC=~.

2hr2nr2ah

二.直线与平面所成的角

1、直线和平面所成的角，应分三种情况：

（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；

（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；

（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°.

显然，斜线和平面所成角的范围是（0,直线和平面所成的角的范围为[0,2L].

22

2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两

条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的.具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环

节：

（1）作--作出斜线与射影所成的角；

（2）证--论证所作（或找到的）角就是要求的角；

（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出

角.

（4）答--回答求解问题.

在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用.在直线与

平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想.

3、斜线和平面所成角的最小性：

斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是

斜线在平面上的射影.在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选

中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经

过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角.对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映

了斜线关于平面的“倾斜程度”.根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和

这个平面内的直线所成的一切角中最小的角.

用空间向量直线与平面所成角的求法：

（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解

直角三角形求得.

（2）向量求法：设直线/的方向向量为之，平面的法向量为；，直线与平面所成的角为。，7与；的夹角为<p,

则有sin8=|cos<p|=卜.

Ia|IuI

三.二面角的平面角及求法

1、二面角的定义：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二

面角的面.棱为AB、面分别为a、B的二面角记作二面角a-AB-0.有时为了方便，也可在a、0内（棱

以外的半平面部分）分别取点P、Q,将这个二面角记作尸-AB-Q.如果棱记作/,那么这个二面角记作二

•Q

B

面角a-/-0或P-/-Q.

2、二面角的平面角--

在二面角a-/-0的棱/上任取一点0,以点0为垂足，在半平面a和0内分别作垂直于棱/的射线0A

和。8,则射线。4和0B构成的NAOB叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二

面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面

角/AOB的大小与点。的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱/上的点0.

3、二面角的平面角求法：

（1）定义；

（2）三垂线定理及其逆定理：

①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直.

②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于

二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角.

（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的

交线所成的角，就是二面角的平面角.；

（4）平移或延长（展）线（面）法；

（5）射影公式；

（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；

（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：

设平面a和0的法向量分别为；和若两个平面的夹角为。，则

（1）当0〈＜u，——，0=＜v＞，此时cos8=cos＜u，~'=—.

2lulIvl

―♦

（2）当VVu，丫＞Wir时，0—cos（TI-VU，V＞）=-cosVu，=-=—―——・

2lulIvl

四.点、线、面间的距离计算

1、平面上两点间的距离公式

（1）设月（再,>1i）>2（a>2）>贝"4巴=—4）”+（，a—M）'°

特别地，_______________________

当耳鸟_LX轴时，々8={5-力=y/（y2+y\\-4y1y2=|刈-%I；

当耳匕_Ly轴时，.巴一再）'=+x1f-4再吃=|―一再|。

（2）设45,R,一（&心）在直线了=丘+6上时，

则IB=J（l+4'x（一再y=y/l+k2I七-&I=J（1+后）［6+再）2-4甬Xj］,

或=卜31->il=J。+套）［5+犷-4）仍］。

点评：求距离（长度）和参数的值等。’

2、线段的中点坐标公式

⑴设4（不，无，巴（出乃），线段6H的中点"（方>'），贝小2。

1，_凶+%

（2）设A18C的顶点坐标为A（再，>!）,B（如y2）,C（冯，y3）,重心G（%y）,

‘.一I+.0+X3

则，3。

）2112―1122

点评:利用线段的中点坐标公式可研究图形的轴对称和中心对称以及三角形等问题。如:

曲线f（x,y）=0关于点（a,b）中心对称的曲线方程是/（2。一乂»-），）=0；曲线

/（X,y）=0关于点（0,0）中心对称的曲线方程是/（-x-y）=0;曲线/（x,0=0关于y

轴对称的曲线方程是/（-%>）=0,曲线/（X,y）=0关于x轴对称的曲线方程是

/（x,-y）=0等。

3、点到直线的距离

⑴点尸（七，比）到直线毋+制+。=0（/+炉工0）的距离是

YA2+B。；

（2）点P（%，%）到直线V=版+b的距离是d=叱f。

一+-

点评：点尸（七，％）到直线x=a的距离是dW改）-a|；点尸（知）b）到直线的>'=b

距离是目=|北一切；特别地，点尸（飞，打）到直线工=0（9'轴）距离是d=|七点

尸（七，比）到直线>'=0（X轴）距离是4=|凡|。，

4、两条平行线之间的距离

⑴设/+炉H0,qxq,则直线,4x+bj+q=0与直线Jx+by+q=0之间的

距离是d=/一G；

（4）直线产fcr+4与直线y=fcy+b?之间的距离是d="j/J（々工与）。

S+k2

点评：利用点到直线的距离可研究二角形、直线和图等有关问颍

u能力拓展

题型一：空间中直线与直线所成的角

一.选择题（共1小题）

1.（2022秋•虹口区校级期中）如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有

时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相

互垂直的情况的次数为（）

【分析】根据正四棱柱相邻侧面的线线关系即可判断出结论.

【解答】解：当时针在3时或9时相互垂直，0时或6时时针平行，其它时间时针所在直线异面但不垂直，

所以能够垂直2次.

故选：B.

【点评】本题考查了正四棱柱相邻侧面的线线关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

二.填空题（共7小题）

2.（2022春•虹口区期末）在正四面体A8CZ）中，直线BC与所成角的大小为

~2~

【分析】取BC的中点/，由正四面体可得AB=AC,可得BCL面ADW,进而可得AO,BC互

相垂直，求出这两条直线的夹角.

【解答】解：取8C的中点何，连接AM,DM,

由正四面体可得。B=OC,AB=AC,

所以可得AM_LBC,DMLBC,而。

所以2。，面4。〃，ffijADc®ADM,

所以BC1AD.

即直线BC与A。所成角的大小为：2L,

2

故答案为：2L.

2

【点评】本题考查正四面体的性质的应用及两条直线夹角的求法，属于基础题.

3.（2022秋•奉贤区校级期中）如图所示，在正方体中，异面直线AB与CO所成的角为_?L_.

【分析】连接BE、AE,由CO〃BE,则异面直线48与CD所成的角的平面角为NA8E（或其补角），然后

求解即可.

【解答】解：连接BE、AE,

由CD"BE,

则异面直线AB与CO所成的角的平面角为NABE（或其补角），

又aABE为正三角形，

贝|」NABE4，

故答案为：2L.

3

【点评】本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题.

4.（2022春•奉贤区校级期末）已知正方体ABCO-AiBiCiCi的棱长为“，E是棱CC\的中点，则近与不

的夹角的大小为n-arcos-?^--

3—

【分析】以G为坐标原点，为x轴的正方向，G81为），轴的正方向，CiC为z轴的正方向建立直角坐

标系.求出AE=（-67,-a,--）,c,A：=（"，a,0），根据向量数量积的运算公式求出cosVAE，c,A,

2A1

>=~^苔鲁彳=萨：，=-2卓’再有向量夹角的取值范围求出标与三访的夹角的大小，

【解答】解：

以G为坐标原点，C1G为x轴的正方向，C1B1为y轴的正方向，C1C为z轴的正方向建立直角坐标系.

因此可得Ci(0,0,0),Ai(a,a,0),A(a,a,a),E(0,0,旦).

2

所以出标=(-a,-a,-]),(；茨；=(小—得标・乎；=-242,由=’(-a)2+(-a)2+(-|-)2

=>

|-aa2+a2+02=

趣.C1Ai_-2a2

所以得：cos〈AE，c]A；>一啦,

|AE|，|C[AII-1-a»V2a3

又两向量的夹角取值范围为[0,n],

所以互与不的夹角的大小为11-arccos

3

故答案为：n-arccos.

【点评】本题考查了异面直线所成角的计算问题，也考查了数形结合应用思想，是基础题.

5.（2022秋•虹口区校级月考）如图，在空间四边形A8CZ）中，E,G分别为AB,CO的中点且EG=6,AC

1

=BD=8,则异面直线AC和BO所成角是——arccos-^—

O

A

B

C

【分析】取BC的中点F,连接EF、EG,MEF//AC,FG//BD,则异面直线AC和BQ所成角为NEFG（或

其补角），然后结合余弦定理求解即可.

【解答】解：取8C的中点F,

连接EREG,

贝|JEF〃AC,FG//BD,

则异面直线AC和所成角为NEFG（或其补角），

又EG=6,EF=FG=4,

则COSE与等等1

8

即异面直线AC和8。所成角是arccos』，

故答案为：arccos'i"

o

【点评】本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题.

6.（2022春•奉贤区校级期末）已知长方体ABC。-481cl。的棱A8=8C=4,CC\=3,则异面直线ABi

与cd所成角的大小是_L.（结果用反三角函数值表示）

---caiJr.cjucuonsc....

【分析】设A山与ABi交于点H,证得异面直线AB\与CD\所成的角是/AiHA或其补角，由余弦定理解

三角形可得.

【解答】解：连接4B,由4功与8c平行且相等得4O1C8是平行四边形，CDi〃4B,

设A1B与ABi交于点H,则异面直线ABi与C£>i所成的角是N444或其补角,

在矩形ABBiAi中，AB=4,44=3,则AH=A[H="/AB2+BB；£

9992525

AiH^+AH-AA7才式唱7

cos/AHAi=­2A]HAH-2><25W，

4

7

NAHA广arcco

【点评】本题考查了异面直线所成角的计算问题，也考查了数形结合应用思想，是基础题.

7.（2022•松江区二模）如图所示，在正方体ABC。-A11GO1中，若E是功。的中点，则异面直线4G

与。E所成角的大小为arccosH.（结果用反三角函数表示）

-----«±Uore------

【分析】由异面直线所成角的求法，结合空间向量的应用求解即可.

【解答】解：设AB=2,

则A[C；•而=(衣一位)•(-DD^+1DC)=DC'DF[-^DC2-DA'DD^^-DA-DC=2"

又lAi3|=W^，IDEI=V5.

设异面直线4cl与力E所成角的大小为0,

AiC/DE2V10

则COS0n=

|A^||DE|2V2xV5-IO'

即异面直线4cl与DE所成角的大小为arccos迎i，

cix-jun]0

故答案为：arccos®1

cix—juo]0

【点评】本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了空间向量的应用，属基础题.

8.（2021秋•黄浦区校级期末）如图，正方体ABC。-AiBCiQi中，点E,F,G分别是。。i，AB,CCi的

中点，则直线4E与GF所成角的大小是arccos画（用反三角函数表示）.

10―

【分析】异面直线所成的角通过平移相交，找到平面角，转化为平面三角形的角求解，由题意：E,F,G

分别是。。1，AB,CC的中点，连接BiG,FB\,那么NFGBi就是异面直线4E与GF所成的角.

【解答】解：由题意：A8CO-AB1C1O1是正方体，E,F,G分别是Z）G，AB,C。的中点，连接B1G,

"：A\E//B\G,

•；NFGBi为异面直线AiE与G尸所成的角.

连接FB],设正方体棱长为2,

在三角形FBiG中，AA\^AB=AD=2,

BiF=q22+1

B\G=22+1

FG={/+（病）2=氓,

（通产+（述）2-（而产=每

cosZFGBi=

2XV6xV510

即异面直线4E与GF所成的角为arccos±助.

10

故答案为：arccos」亚.

10

【点评】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力

的培养.

三.解答题（共5小题）

9.（2023•宝山区二模）四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，ND4B=60°,对角线AC与8。相交

于点O,底面ABC。，PB与底面48。所成的角为60°,E是尸8的中点.

（1）求异面直线OE与孙所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）证明：OE〃平面以D,并求点E到平面玄。的距离.

【分析】（1）取A8的中点凡连接E凡DF,可得EF〃勿，所以DE与EF所成的角即为。E与孙所成的

角，由题意求出EEDE,。尸的值，由余弦定理可得两条直线所成角的余弦值，进而求出角的大小；

（2）由（1）可证得面OEF〃面以。，进而可证得OE〃面物£>,进而可知E到平面阴。的距离等于。到

平面PAD的距离，再由等体积法求出O到平面PAD的距离.

【解答】解：（1）因为PO_L底面A8CC,BO=OD,

所以PB=PD,

又因为PB与底面ABC。所成的角为60°,所以△PB。为等边三角形，

因为E为尸8的中点，所以「。=£>£=近尸。=代，

2

因为四边形ABC。边长为2的菱形，ZDAB=60°,所以△A8Z）为等边三角形，即8。=2,

所以。E=代，AO=禽，DF=a，

取AB的中点尸，连接ERDF,可得EF〃抬,

所以。E与EF所成的角即为DE与PA所成的角，

则后尸二方附，附=JP02+A02=A/3+3=&，

所以EF=®,

2

在△£>£/中，COS/£)EQDE2+EF2_DF2=-----2——尸=返_,

2口后价2X«X与4

所以NDEF=arccos

4_

即异面直线DE与PA所成角的大小为arccosYN；

4

(2)证明：连接OF,

由(1)nJ#OF//AD,EF//PA,EFQOF=F,

所以面OEF〃面PAD,

因为OEU面OEF,

所以OE〃面PAD^

所以。到面PAD的距离等于E到面PAD的距离，设h,

贝I]Vo-PAD=VP-AOD>

而VP.AOD=^SAOD'PO=X^S^ABD'PO=1'1X^1-X2X2X43,

332324

SAPAD=l^-^AD2-(^)2=1-3V2^32-(^-)2=1-3V2-M

所以2・工・3&=•近X2X2xJ^,解得/j=H,

3223245

即点E到平面PAD的距离为返

5

【点评】本题考查线面平行的证法及面面平行的性质的应用，等体积法求点到面的距离的应用，属于中档

题.

10.（2022秋•杨浦区校级期末）如图，在正三棱柱ABC-AIBICI中，底面ABC的面积为心后，侧面积为

60,。是AB的中点.

（1）求异面直线Ci。与AC所成的角的大小;

（2）求直线Ci£>与平面ACG4所成的角的大小.

【分析】（1）由题意得连接CQ,作£>£>i〃CiC,根据题意求出AB=4,£>£>i=5,则建立以。为原点，以

DB、DC、DDi所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系O-xyz，利用向量法，即可得出答案；

（2）由（1）得。（0,0,0）,Ci（0,2V3，5）,A（-2,0,0）,C（0,2禽，0）,利用向量法，即可

得出答案.

【解答】解：（1）在正三棱柱ABC-4BC1中，。是AB的中点，连接CQ,作DDi〃CiC,

贝|JC£>J_A8,则建立以。为原点，以DB、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系。

-xyz,如图所示：

:,底面A8C的面积为4«，侧面积为60,

.■•SAABC=X4B2sin60°=4«，且34B・O£）i=60,解得48=4,DDi=5,

2

则。（0,0,0）,C1（0,2«,5）,A（-2,0,0）,C（0,2代，0）,

.••5c^=（0>2代，5）,AC=⑵2A/3-0），

一DCJA匚—I2=3面.

.,.cos<，

DCi|D?[I'IACIV37X437

二异面直线C\D与AC所成的角余弦值为对五，

37_

故异面直线C\D与AC所成的角的大小为arccos司国•；

37

（2）由（1）得。（0,0,0）,Ci（0,273，5）,A（-2,0,0）,C（0,2百，0）,

则m=（2,2禽，0）,而产（0,0,5）,丽丁（0,2A/3>5）,

设平面ACC1A1的一个法向量为11=（x,y,z）,

nIfn*AC=2x+2V3y=0er-nl

则，_,，取贝！Jy=-1,z=0

n,CC[=5z=0

平面ACC1A1的一个法向量为，=（炳,-1,0）,

设直线C\D与平面ACG4所成的角为a,

=JPCrnl_

则cosa=|cos<n»

1|DC[I•|n|2XA/3737

故直线C\D与平面ACC\A\所成的角的大小为arccos^llL.

37

【点评】本题考查异面直线的夹角和直线与平面的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力,

属于中档题.

11.（2022秋•静安区校级期中）如图，在四棱锥尸-A8CZ）中，底面ABCZ）是矩形.已知A8=3,A£>=2,

B4=2,PD=2近,ZPAB=60°.

（I）证明平面PAB-,

（II）求异面直线PC与AD所成角的大小.

【分析】（I）通过证明AO_LA8,来证得4O_L平面以8；

（II）判断出异面直线PC与AD所成角，解三角形求得角的大小.

【解答】证明：（1）由于四边形ABC。是矩形，所以

由于见2+A£>2=PQ2,所以A。J_布，

由于ABCB4=A,AB,以u平面以B,所以AO_L平面以B.

解：（IJ）由于AQ〃BC,所以BC_L平面%B,

由于PBu平面附8,所以8cLp8,

所以NPCB是异面直线PC与AO所成角，

PB=^22+32-2X2X3XCOS600='

所以tan/PC8=4_,由于/PCB是锐角，所以/PCB=arctarP^.

【点评】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.

12.（2022秋•徐汇区校级期中）在棱长为4的正方体ABC。-AiBCiOi中，点P在棱CCi上且CCi=4CP.

（1）求AP与BG所成角的大小；

（2）求点4到平面APD\的距离.

AB

【分析】（1）可以取BC的中点M,连接PM,AM,则NARW即为所求，在△APM中利用余弦定理求解;

（2）利用等体积法求解.

【解答】解：（1）如图，设M为BC上的点，且BC=4CM,连接PM,AM,C\B,且Bg=4&，

又因为CCi=4CP,故P例〃BCi,且PM=LBC,=&，则NAPM即为”与8G所成角，

41

在△4PM中，=VCP2+AC2=V12+（4V2）2=V33>AM=VAB2+BM2=^16+9=5,

故COSNAPMMAP+E.武二二2=5倔,

2AP-PM66

故所求的角为arccos^逗；

66

（2）连接4P,易知v四棱锥MRJS△"严瑟X/X4X4X4=等，

在△”四中，DiP'Cip2+C]Di2=5,ADi=4后，AP=^,

ADi2+Ap2-Dip2r'国

故cosZD}AP=------------------=-^,故sinZDiAP=^L^,

2AD1・AP倔V66

SAAPD.=fADi-AF，sinZD|AP=2V4l.

再设4至同面”。的距离为“‘则电棱锥口：％建"飒7=畀汨『等，

【点评】本题考查空间角和距离的计算，侧重于考查等体积法和余弦定理的应用，属于中档题.

13.（2022•宝山区模拟）已知正方体4BC£>-48iCi£>i的棱长为1,P是CG的中点，过4P的平面与88|,

QDi分别交于Q，R,且BQ=L

4

（1）求异面直线PQ与AB所成角的大小；

（2）求Ci到平面AQPR的距离.

【分析】（1）根据直线与平面垂直的性质定理，确定PQ与AB的位置关系，进而求PQ与AB所成角的大

小；

（2）Ci到平面4QPR的距离即C到平面AQP的距离，根据等体积法求解即可.

【解答】（D解：•.•A8CO-4B1C1D1为正方体,

."B"L平面BCC1B1,

•；PQu平面BCC\B\,

C.ABVPQ,

.,.异面直线P。与A8所成角的大小为90°.

（2）。到平面AQPR的距离即C到平面AQP的距离，

5△户QC=LX—X1=—>AB为三棱锥A-PQC的高,

224

V,.pec=|xSApQCXAB-^

P是CC1的中点，过AP的平面与BB1，。。分别交于Q,R,且8。=工，

4

.•.£>R=_1,四边形4QPR为菱形，

4

22

AC=a,AP=^AC+（1）=-|,RQ=BD=近,

SAAPQ=1SAQPR=^XyX-|XV2=^-'

设C到平面AQP的距离为d,

♦."CjAQ-QC^Xs△虹QX4吉

解得：d=叵.

3_

...求Cl到平面AQPR的距离为亚.

3

【点评】本题考查异面直线的夹角和点到平面的距离，是中档题.

题型二：空间中直线与平面所成的角

一.选择题（共1小题）

1.（2022秋•黄浦区校级期中）如图，在正方体A8CD-A181clz）1中，点。为线段8。的中点.设点P在

线段C。上，直线OP与平面AiB。所成的角为a,则sina的取值范围是（）

C.安D.，1]

【分析】建立坐标系，求平面48。的法向量，再结合线面角的向量求法，结合导数即可求得sina的取值

范围.

【解答】解：如图所示：设正方体棱长为1,

以。为原点，DA,DC,DDi，为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则。(0,0,0),Al(1,0,1),B(1,1,0),O(A,工0),

22U

设点P(0,k),/G[0,1],

则而=(2，y.t)，DB=(1,1,0)，西=(1,0,1)，

设平面48。的法向量为（x,y,Z），

一DB*n=x+y=0

则有|_______,设x=1,贝！Iy=-1,z=-1,

DA1,n=x+z=0

则平面48。的法向量为［=（i,-i,-i）,

In.0P|

则sina=|cos〈E,而＞1=

|n||0P|

设厂2t2+4t+2,「24（号）2号

设-（6t2+3）2’

当任［0，/）时，＞'＞°，当任（y＞1］时，＜＜。，

2

所以y=2t+4t+2在1o.1）上是增函数，在（上，1］上是减函数,

6t2+322

当/=0时，y=2,时，y=l,

32

f=l时，尸'，・・・y€等，1］,

所以sinaE［竺］.

3

故选：B.

【点评】本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题.

二.填空题（共5小题）

2.（2022秋•黄浦区校级期中）正方体A8C。-AiBiGU中，直线8a与平面所成角的大小为45

【分析】作出线面角解三角形即可.

【解答】解：由题知CiBiL平面448,则/BiBCi即为直线8cl与平面A4B所成角，BB\=B\C\,BB\

±B1C1,则NBiBCi=45°,

故直线BC1与平面所成角的大小为45°.

【点评】本题考查线面角的基本定义与求法，属于基础题.

3.（2023•静安区二模）如图，正方体ABC。-A/iCiDi中，E为A8的中点，F为正方形BCCiBi的中心,

则直线EF与侧面BBCiC所成角的正切值是_返」.

【分析】由直线与平面所成角的作法可得/EFB为直线EF与侧面381cle所成的角，然后求解即可.

【解答】解：连接8C1，

平面BB\C\C,

则/EFB为直线EF与侧面BB\C\C所成的角，

设|AB|=2,

则|BFI=V2>

贝iJtanZEFB==-4^工，

tan乙MD|B况F［|五2_

则直线E尸与侧面321cle所成角的正切值是亚.

2

故答案为：Y2.

2

D

【点评】本题考查了直线与平面所成角的作法，重点考查了直线与平面所成角的求法，属基础题.

4.（2022秋•徐汇区校级期中）如图，棱长为1的正方体ABCD-4B1C1Q1中，P为中点，则过P、A、

【分析】过P作PQ〃AC交。于Q,求出PQ的值，可得过P、A、C三点的截面为四边形B4CQ,可得

四边形B4CQ为梯形，分别求出上下底边和高，进而求出它的面积.

【解答】解：作PQ〃AC交DiCi于。，因为P为中点，所以过P、A、C三点的截面为四边形以C。,

所以PQ=LC=Y2,4C=&,可得四边形力CQ为梯形，

22

过PM_LAICI交于何，过M作MN_LAC交于N,可得尸M=亚,

4

在正方体中，A\C\//AC,所以MN_LAC,而

所以AC_L面PMN,可得AC_LPN,

即梯形APQC的高为PM可得面4。，可得MNLPM,

P^VPM2+MN2^

所以S梯形印CQ=1CPQ+AOPN=1（亚+&）•厄=旦

22248

故答案为：9.

8

【点评】本题考查线面平行的性质的应用及梯形面积的求法，属于基础题.

5.（2022秋•黄浦区校级月考）在平面a上有/BOC=60°,04是平面的一条斜线，OA与NBOC的两边

所成的角都为45°,且OA=1,则直线OA与平面a所成角为arcsin1•

------ClXOXXA3-------

【分析】过A作A。，AE分别垂直OB,OC于。，E,4尸垂直a于凡可得直线04与平面a所成角为/

A0F,再根据三角形中的关系可得各边长，从而求得AF,进而求得sin/AOF即可.

【解答】解：过A作4。，AE分别垂直08,0C于。，E,A尸垂直a于凡连接如图.

则由题意，AFLOD,又AOJ_O。，AFQAD=A,AF,A£»u平面A/7）,故OOJ_平面AF£>,又DFu平面AFD,

故。/）_1_。凡

因为OA=1,ZA0D=ZAOE=45°，故。。=4£>=亚，同理。E=AE=亚.

22

又RtZ\OFQ与RtZSOFE中，OF=OF,0D=0E,故Rt^OFZ）丝Rt△。尸E.

又NBOC=60°,故NDOF=NEOF=30°,故。F=O£>tan30°=1_,所以30=4口2_0\2=圾，故

63

sinZAOF=—=^-

A03_

又AF垂直a,故直线0A与平面a所成角为NA0F,故直线OA与平面a所成角为arcsin近.

3

故答案为：arcsinl.

3

A

【点评】本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题.

6.（2022秋•黄浦区校级月考）正方体中ABCO-4B1C1C1，过5作直线/,若直线/与平面A8C。中的直

线所成角的最小值为生，且直线/与直线BG所成角为三，则满足条件的直线/的条数为2.

64

【分析】将直线/与直线BC\所成角转化为直线/与所成角，从而得直线/为以AG为轴以4。、DD\

为母线的圆锥的母线所在直线；又直线/与平面ABC。中的直线所成角的最小值为线面角，再将线面角转化

为直线/与平面A8CQ的法线。所成角，分别在左侧面与后侧面内作与成三的直线UE,D\F,从

3

而得直线/为以。口为轴以。E、。尸为母线的圆锥的母线所在直线，而两圆锥只有2条交线，从而得满

足条件的直线/的条数为2.

【解答】解：①如图，易知3Ci〃ADi，

直线/与直线BC1所成角也，即为直线I与AD\所成角三，

44

而直线45、直线。Di与直线AG,所成角都为2L,

4

二直线/为以AOi为轴以4。、DD\为母线的圆锥的母线所在直线；

②•.•直线/与平面ABC。中的直线所成角的最小值三为直线与平面的线面角，

6

又平面ABCQ,.•.直线/与。。所成角为三，

3

分别在左侧面与后侧面内作与。。成匹的直线DiE,D\F,

3

则直线/为以D\D为轴以DiE、D\F为母线的圆锥的母线所在直线，

由①②知直线/为两圆锥的母线所在直线的交线，

而两圆锥的母线所在直线的交线仅有2条，

故满足条件的直线/的条数为2.

故答案为：2.

【点评】本题考查异面直线所成角，线面角的概念，化归转化思想，空间想象能力，属中档题.

三.解答题（共8小题）

7.（2023•黄浦区二模）如图，多面体AiGOiA8c。是由棱长为3的正方体ABC0-A1B1C15沿平面48。

截去一角所得到在棱4G上取一点E,过点。1，C,E的平面交棱BG于点尺

（1）求证：EF//A\B；

（2）若CiE=2EAi，求点E到平面A1OC8的距离以及ECi与平面A1Q1CB所成角的大小.

【分析】（1）在正方体中可知Ai8〃QiC,进而可证得。C〃面A］。，再由线面平行的性质定理可得。C

//EF,进而可证得E尸〃Ai&

（2）由等体积法VE_ADB="B-ADE'可得E到面AIOICB的距离，设线面角，可得角的正弦值，进而

求出线面角的大小.

【解答】解：（1）证明：在正方体中，A\D\//BC,且A|£>i=BC,

所以四边形4O1C8为平行四边形，所以Ai8〃OiC,

而Z>1C0面AiBCi,A18U面AiBCi，

所以O1C〃面A1BC1，

又因为O1CU面EFCD\,面A\BC\n面EFCD\=EF,

所以。1C〃EF,

所以EF//A\B；

（2）点E到平面A1OC8的距离即是E到面A3"的距离，设为力,

因为VE-A；D：B-VB-A】D：E'

在正方体中，B到面4OE的距离为正方体的棱长3,

又因为若CiE=2E4i，所以5八an^=~SAAnr=^xlxAiDiXDJCI=1x3X3=^.,

△A1D：E3°AA1D.C13262

因为面A4B,所以AiDiLAiB,

所似SaA】D：B=/^X4B=aX3X3&=平’

所以看"△A1D：B"=5S21A1D：E3

即9&・〃=2・3,解得人=』2,

222

所以E到面4UCB的距离为亚；

2______________________

22

A1E=1AICI=1-372=V2）^I£=JA1D1+A1E-2A1E'A1D1COS^-=^9+2-2X3XV2X与

=VB>

设瓦（I与平面AiOCB所成角的大小为a,a£[0,—],

2

近

贝I]sina=』—=—?―=」页

D]EV510

所以a=arcsin之亚-,

10_

即ED\与平面A\D\CB所成角的大小为arcsin'五.

10

【点评】本题考查线面平行的性质的应用及等体积法求点到面的距离，属于中档题.

8.（2022秋•杨浦区校级期末）如图，在正三棱柱ABC-4B1G中，底面ABC的面积为小/E，侧面积为

60,。是A8的中点.

（1）求异面直线CiO与AC所成的角的大小；

（2）求直线Ci£>与平面ACG4所成的角的大小.

B

【分析】（1）由题意得连接8,作£>Qi〃CiC,根据题意求出AB=4,DDi=5,则建立以。为原点，以

DB、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系。-"z,利用向量法，即可得出答案；

（2）由（1）得。（0,0,0）,Ci（0,2代，5）,4（-2,0,0）,C（0,2禽，0）,利用向量法，即可

得出答案.

【解答】解：（1）在正三棱柱ABC-AiBiCi中，。是AB的中点，连接C£）,作。5〃GC,