高中数学必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练 25

必修二第八章第六节《空间直线'平面的垂直》解答题提高训练(25)

1.如图，在多面体A8CDEF中，底面ABCO是边长为2的菱形，^BAD=60",四边形8DEF是

矩形，BF=3,平面BDEFL平面ABC。，G和，分别是CE和CF的中点.

(1)求证：平面8DGH〃平面4EF；

(2)求二面角H-BD-C的大小.

2.如图，在三棱锥P—4BC中，AB,AC,AP两两互相垂直，AB=2AC=2AP,CD1PB.

(1)证明：AD1PBiLBD=^PD-,

(2)求直线4。与平面PBC所成角的正弦值.

3.如图，在四棱锥P—4BCD中，底面A8CO为菱形，平面P4CJ•底面ABC。，PA=PC=AC.

p

(1)证明：AC1PB；

(2)若尸B与底面所成的角为45。，求二面角B-PC—4的余弦值.

4.如图，在四棱锥P-4BCD中，P力IJftjllABCD,AD1AB,AB//DC,AB=1,AD=DCAP=2,

点E为棱PC的中点.

(1)证明：BE〃面PAC；

(2)证明：面PBCL面POC；

(3)求直线尸。与面PBC所成角的正弦值.

5.如图，已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AO为斜边的等腰直角三角形，BC//AD,CD1AD,

PC=AD=2DC=2CB,E为尸。的中点.

(I)证明：CE〃平面PAB；

(n)求直线CE与平面P8C所成角的正弦值.

6.如图，已知三棱柱48C-4B1G的底面是正三角形，侧面BBiGC是

矩形，M,N分别为BC,B】Ci的中点，P为AM上一点.过当加和

P的平面交A8于E,交AC于凡

(1)证明：AAJ/MN,且平面&AMN_L平面EB1C/：

(2)设。为A&BiG的中心.若4。〃平面EBiC述，且4。=48,求直线

B】E与平面AiAMN所成角的正弦值.

7.如图，在正方体ABCD中，E,F,M,N分别是4名，BC,和81cl的中点.

(1)求证：平面MNF1平面NEF.

(2)求二面角M-EF-N的平面角的正切值.

8.如图，在正六边形ABCOEF中，将沿直线B尸翻折至使得平面A'BF_L平面BCCEF,

0,”分别为8尸和AC的中点.

F£

*c：

m।n)2

(1)证明：。"〃平面A'EF；

(2)求平面ABC与平面ADE所成锐二面角的余弦值.

9.如图，在四棱锥P-4BCD中，AB//CD,AB1BC,CD=2AB,PAABCD,E为尸力的

中点.

A

Dc

(I)证明：4E〃平面PBC；

(II)若P4=CO=2,求点E以平面PBC的距离.

10.如图，四棱锥P—4BCD的底面为正方形，PD1底面ABCD.设平面PA。与平面PBC的交线为/.

(1)证明：/J■平面POC；

(2)已知PD=AD=1,Q为/上的点，求P8与平面。C。所成角的正弦值的最大值.

11.如图，在四棱台4BCD—4B1GD1中，A41底面48CQ,四边形ABC。为菱形，4B2D=120°,

AB-AA]-2&B1=2.

(1)若M为C。的中点，求证：AM1BxBy

(2)求直线4D］与平面&BD所成角的正弦值.

12.如图，四棱锥P-ABCC中，PAL平面ABCD,AB1AD,AB//CD,PD=AB=2AD=2CD=2,

E为PA上一点、,且3PE=2P4.

(1)证明：平面EBC1平面PAC；

(2)求直线尸8与平面所成角的正弦值.

13.如图，在四棱椎P-4BCD中，平面PBC平面ABC。，4PBe=90。，AD//BC,^ABC90°,

2AB=2AD=V2CD=BC=2.

(1)求证：CD，平面PBD；

(2)若直线PD与底面ABC。所成的角的余弦值为白，求二面角B-PC-。的正切值.

14.在正方体4BCO-&8道1。1中，E是棱的中点.

(1)求直线BE与平面ABB14所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)；

(2)在棱G5上是否存在一点F,使得〃平面&BE,若存在，指明点尸的位置；若不存在,

请说明理由.

15.已知正方形ABCD的边长为4,E、尸分别是AB、4。的中点，PC1

平面ABC。，且PC=2,AC交E尸于M,CHLPM于H.

(1)求二面角P-FE-C的大小；

(2)求证：CHJL平面PEF；

(3)求点B到平面PEF的距离.

16.如图，已知四棱锥P-48CE中，PAABCE,平面R4B_1_平

面PBC,且AB=1,BC=2,BE=2&,点A在平面PCE内的

射影恰为APCE的重心G.

(1)证明：BC1AB；

(2)求直线CG与平面PBC所成角的正弦值.

17.如图，已知斜三棱柱4BC—&当6底面是边长2的正三角形，。为△ABC所在平面上一点且四

边形ABCQ是菱形，ACQBD=O,四边形4CC14为正方形，平面_L平面&B1G.

(I)证明:Bi。，平面ABCZ)；

(n)求平面CDC1与平面为DC1所成二面角的正弦值.

18.在四棱锥P-ABCD中，PAABCD,PA=25/3.DC//AB,

Z.DAB=90°,AB=3,AD=CD=2,M是棱P£)的中点.

(1)求异面直线DP与BC所成的角的余弦值；

(2)求AM与平面PBC所成的角的大小；

(3)在棱PB上是否存在点Q,使得平面QAD与平面ABCD所成的锐

二面角的大小为60。？若存在，求出AQ的长；若不存在，说明

理由.

19.如图，在直角梯形P8C。中，PD//BC,Z.DCB=90°,PD=4CD=8,BA1PD,现将平面图

形沿AB折成一个直二面角，得到四棱锥P—ABCD,E,尸分别为侧棱PO、PB的中点.

(1)证明：平面4EF1平面PCD；

(2)求三棱锥尸-E4B的体积.

p

20.如图，四棱锥P-4BCD中，底面ABC。是边长为3的菱形，乙4BC=60°.PA上面ABCD,且PA=

3.F在棱PA上，且4F=1,E为棱P。的中点.

(1)求证：CE〃平面尸;

(2)求二面角B-DF-4的余弦值.

【答案与解析】

1.答案：解：(1)在△CEF中，

因为G,4分别是CE,CP的中点，

所以GH〃EF,

又因为笈平面AEF,EFu平面AEF,

所以GH〃平面AEF,

设4CCB0=0,连接04,

因为ABC。为菱形，所以。为4C中点

在AACF中，因为。2=0C,CH=HF,

所以0H〃4F,

又因为笈平面AEF,AFu平面AEF,

所以0H〃平面AEF

又因为0HnGH=H,0H,6"<=平面8。6”，

所以平面BDGH〃平面AEF.

(2)取EF的中点N,连接0N,

因为四边形8DE尸是矩形，O,N分别为BD,E尸的中点，

所以。N〃ED,

因为平面BDEF，平面ABCD,

所以EDABCD,

所以。N，平面ABC。,

因为ABC。为菱形,

所以4CJ.BD,得OB,OC,ON两两垂直；

所以以O为原点，OB,OC,ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系

因为底面ABCD是边长为2的菱形，

Z.BAD=60",BF=3,

所以8(1,0,0),0(-1,0,0),E(-1,0,3),尸(1,0,3),

C(0,®0),

所以丽=(.苧,|),加=(2,0,0),

设平面BDH的法向量为元=(XJ,z),

njiifn•丽=0(-X+>j3y+3z=0

(n-DB=0(2x=0'

令2=1,得元=（o,-，5,i）,

由ED，平面A3CD,得平面3CQ的法向量为屁=(0,0,3),

nDE

则cos<n,DE>=

|n||DE|

0x0+(-V3)x0+1x31

=2x3=2

所以二面角H-BD-C的大小为60°.

解析：本题考查线面垂直的性质及面面平行的判定应用，考查二面角的平面角的求法，属于较难题.

⑴证明GH〃平面AE凡0H〃平面AE凡利用平面平行的判定定理证明平面BDGH〃平面AEE

(2)取EF的中点N,连接。M以。为原点，OB,OC,ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图

建立空间直角坐标系.求出相关点的坐标，求出平面8。4的法向量，平面BCD的法向量，利用向量

的数量积求解二面角H-BD-C的余弦函数值，然后求出大小.

2.答案：(1)证明：因为4C_L4B,ACLAP,ABC\AP=A,AB,4Pu平面ABP,

所以AC，平面ABP,

又P8u平面ABP,所以ACJ.PB,

因为CDJ.PB,ACCtCD=C,AC,CDu平面AC。，

所以PB1平面ACD,

又ADu平面AC。，所以4D1PB.

因为tan〃BP=芸=黑=：,所以BD=22D.

ABBD2

易证△40P〜△BOA,所以黑=M=g

ADBD2

所以4O=2PD,所以BD=4PD.

(2)解：如图，以A为坐标原点，AC,AB,4尸所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直

角坐标系，

设AC=2,贝IJZB=4,AP=2,

AO

则4(0,0,0),P(0,0,2),B(0,4,0),C(2,0,0),0(0,

则=(0,4,—2),PC=(2,0,—2),AD=(0,g,g),

设平面PBC的法向量为五=(x,y,z),

则由g!!=4y-2z=0,解得『：2y,

令y=l,得平面P3c的一个法向量为元=(2/，2);

设直线AD与平面PBC所成角为氏

则sin。=|cos<n,~AD>\

_In-ADI_2X0+1X^+2X|_炳

~l|n||^D|l--

所以直线AD与平面PBC所成角的正弦值为遗.

3

解析：本题考查线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，属于中档题.

(1)由已知条件推导出4c1平面ABP,则有AC1PB,可证明PB1平面ACD,得到4。1PB,易知

BD=2AD,空=也即可证明BD=4PC.

ADBD

(2)以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设4c=2,求出而以及平面P8C的法向量汇即可求得

直线AD与平面PBC所成角的正弦值.

3.答案：(1)证明：连接8。交AC于O,

因为底面ABCD为菱形，所以4CJ.B。，

因为PA=PC,。为AC的中点，所以4clp0,

又BDnP。=。，BDu平面PBD,POu平面PBD,

所以ACJ■平面PBD,

又PBu平面尸3。，所以4clpB.

(2)解：因为24=PC,。为AC的中点，所以P。，4c.

又平面PAC1•底面ABC。，平面PACn底面/BCD=AC,POu平面PAC,

所以P。，底面ABC。，所以OB,OC,OP两两垂直.

以。为坐标原点，分别以。8,。仁。「所在直线为*号/轴，建立如下图所示空间直角坐标系。-盯2,

PB与底面所成的角即为NPB。=45。，所以OB=OP,

设OP=V5，则OC=1,OB=A/3，

所以8(6,0，0)，C(0,l,0),P(0,0,V3)，4(0,TO),

BP=(-V3.0,V3).~BC=(-A/3,1.0),

设平面BPC的一个法向量为记=(x,y,x),则

(n-BP=O.jjpf—V3x+>f3z=0,

In-BC-0,'t-V3x+y=0,

令x=l,得元=(1,V5,1),

又平面APC的一个法向量为沆=0B=(V3,0,0),

所以cos〈而，元)=喘含=-3=^==y.

|m||n|V5XV35

又因为二面角8-PC-4为锐角，

所以二面角B-PC—a的余弦值为

解析：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查逻辑推理能力和空间想象能力，

是中档题.

(1)连接8。交AC于。，，推导出4CJ.8D,AC1P0,从而AC1平面PBD.,由此能证明ACJ.PB,

(2)以。为坐标原点，分别以。3,OC,OP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向

量法能求出二面角8-PC-A的余弦值.

4.答案：解：(1)证明：取PO中点连接EM,AM,

由中位线性质可知，

EM=-2CD

又AB=-CD.

2

:,AB工EM，则四边形A8EM为平行四边形，

・・・BEHAM,

VBE不在平面PAD内，AM在平面PAO内,

BE〃面PA。；

(2)证明：vPAABCD,CD在平面ABC。内，

PA1CD,

Y.AD1AB,AB//DC,故C£»。，

PA,AO相交且都在平面尸4。内，

CD_L平面PAD,

•:AM在平面PAD内，

•••CD1AM,

CD1BE,

又PB='PF+AB2="TT=遍,BC=JAD2+(^CD)2=V5,E为PC中点，

•••BE1PC,

又CDnPC=C,且都在平面PDC内，

BE_L平面PDC,

又BE在平面P8C内，

平面PBC1平面PDC；

(3)过点。作DN1PC,由(2)及线面角的定义可知，4DPN为所求线面角，

又CD1PD,PD=2^2,CD=2,

•••PC=2V3,

•••sin乙DPN=sinZ.DPC=,=~j==

故所求线面角的正弦值为由.

3

解析：本题考查线面平行及面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、

面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

(1)取中点M,连接EM,AM,由中位线的性质及平行四边形的性质容易得证；

(2)关键是证明BE，平面PDC,进而运用面面垂直的判定得证；

(3)易知，NDPN为所求线面角，转化在RtAPCD求解即可.

5.答案：证明：(I)取的中点尸，连接E尸，CF,

•••E为P。的中点，

EF//PA,

又P4u平面PAB,EFC平面PAB,

：.EF〃平面PAB,

在四边形488中，BC//AD,AD=2CB,尸为AO中点，

BCDAF,

四边形C8AF为平行四边形，

故CF"AB,

又4Bu平面PAB,CF仁平面PAB,

•••CF〃平面PAB,

•:CFCEF=F,EF/mPAB,CF〃平面PA8,

CFu平面EFC,EFu平面EFC,

.♦・平面EFC〃平面PAB,

ECu平面EFC,

EC〃平面PAB.

解：（口）连接8兄过F作FM1PBTM,连接PF,

vPA=PD,:.PF1AD,

•：DF//BC,DF=BC,CDLAD,

•••四边形8CDF为矩形，

•••BFLAD,

5LAD//BC,

故PF1BC,BF1BC,

又BFCPF=F,BF,PFPBF,

BC_L平面PBF,

又PBu平面PBF,

・•・BC1PB,

设DC=CB=1,由PC=AD=2DC=2CB,得4D=PC=2,

.•・PB=y/PC2—BC2=V4—1=V3，

BF=PF=1,...MF=J"一停j=|>

又BC_L平面PBF,MFu平面PBF,

：.BC1MF,

又PBCBC=B,PB、BCu平面P8C,

MF1平面PBC,

即点尸到平面PBC的距离为土

•­•DF//BC,BCu平面PBC,DFC平面PBC,

•••OF〃平面PBC,

。到平面P8C的距离应该和F到平面PBC的距离相等，均为:，

E为中点，E到平面P8C的距离应为。到平面P8C的距离的一半，

••.E到平面PBC的距离为:，

4

在^PCD中,PC=2,CD=1,PD=V2,

COK/CEP+co«ZCE,D=0,

故由余弦定理得阳慧j+仔）y=o

2XyXCE2XyXCE

解得CE=V2.

设直线CE与平面PBC所成角为。，贝i」s出。=三=①.

CE8

解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、

空间想象能力，属于拔高题.

（1）取4。的中点尸，连结EF,CF,推导出E尸〃P4CF//AB,从而平面EFC〃平面P48,由此能

证明EC〃平面PAB.

（口）连结8F,过尸作FMJ.PB于M,连结尸F,推导出四边形BCD尸为矩形，从而BF14D,求出

BC1MF,即可得解.

6.答案：解：（1）证明：:M,N分别为BC,BiG的中点，底面为正三角形，

:.B]N=BM,四边形BBiNM为矩形，&N_L当的，

:・BBi〃MN,vAA1//BB1,:.AA/MN,

•・,MN工BG，A/工BQ,MNnA"=N,

:.BG，平面44MN,

B1C1u平面E81GF,

・••平面/遇MN_L平面E81GF,

综上，AA1//MNf且平面4MMN,平面后当。/.

(2)解：二,三棱柱上下底面平行，平面EBiC/与上下底面分别交于BiG，

-rw

EF//B.CJ/BC,//\

•••4。〃面EBiGF,40u面4MN4,^AMNArnffiFFiCjF=PN,/

.-.AO//PN,四边形4PN0为平行四边形，•"烫三二JJ/C

•・•。是正三角形的中心，AO=AB,B

A/=30N,AM=3AP,PN=BC=B©=3AP=3EF,

由(1)知直线&E在平面44MN内的投影为PN,

直线&E与平面44MN所成角即为等腰梯形EFGBi中B】E与PN所成角，

在等腰梯形EFGBi中，令EF=1,过E作EH1BG于H,

则PN=BG=EH=3,B/=1,B1E=V10,

•厂口I

s\nZ-BEH=—BH=—V10,

r1BiE10

・・・直线BiE与平面为AMN所成角的正弦值为党

解析：(1)推导出&N=BM,四边形8B1NM为矩形，AiNJ.BG，从而BB//MN,由此能证明

AAJ/MN,且平面44MN1平面EBiG^

(2)推导出EF〃BiG〃BC,从而40〃PN,四边形APN。为平行四边形，ATN=3ON,AM=3AP,

PN=BC==3EF,直线BiE在平面44MN内的投影为PN,从而直线8国与平面4遇MN所成

角即为等腰梯形EFQBi中4E与PN所成角，由此能求出直线/E与平面为4MN所成角的正弦值.

本题考查线线平行、面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面

间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

7.答案：解：(1)因为M/均为所在棱的中点，所以NF_L平面

而MNu平面为B1QD1，所以NF_LMN.

又因为M,£均为所在棱的中点，

所以△的时村和^当NE均为等腰直角三角形，

所以NMNCI=N&NE=45。，所以NMNE=90。，所以MN1NE.

又NFCNE=N,所以MN_L平面NEF.

而MNu平面MNF,所以平面MNF1平面NEF.

(2)在平面NEF中，过点N作NG_LEF于点G,连结MG.

由(1)得知MN1平面NEF.

又EFu平面NEF,所以MN1EF.

又MNCNG=N,所以EFl平面MNG,所以EF1MG.

所以4MGN为二面角M-EF—N的平面角.

设该正方体的棱长为2.在RtANEF中，可6="丝=擎=独，

EFx/63

MNy/2yf6

所以在RtaMNG中，tanzMG/V=—=-^=y.

所以二面角M-EF-N的平面角的正切值为在.

2

解析：本小题主要考查空间线面关系，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象

能力、推理论证能力和运算求解能力.

(1)欲证平面MNF，平面ENF,先证直线与平面垂直，由题意可得：MN1EN,MN1NF,所以MN1

面ENF,进一步易得平面MNF1平面ENF-

(2)先证出4MGN为二面角M-EF-N的平面角，再求出二面角M-EF-N的正切值.

8.答案：解：(1)如图，取4'E的中点G,连结FG,HG,CE.

又因为”是AC的中点，

所以HG〃CE,HG=^CE.

又因为正六边形ABCQE尸中，BF//CE,BF=CE,

所以HG//BF,HG=\BF.

又。为8F的中点，所以HG〃。凡HG-OF,

所以四边形OFGH为平行四边形，

所以OH〃FG.

因为FGu平面4'EF,OH0平面4EF,

所以。”//平面AEF.

(2)由条件可知。A'1OB,04'IOD,OD1OB.

分别以08,OD,。4所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-盯z.

设正六边形ABCDEF的边长为2,

则B(国,0),C(V5,2,0)，“0,3,0),E(-V3,2,0),A'(O.O.l),

所以布=(0,2,0),YC=(V32,一1),ED=(V3,l-0),而=(0,3,-1).

设平面ABC的法向量为用(=(尤1・y】•zj,

由归匣=。,得裳L：.

向.AC=0,W3xt+2%一Zi=0.

取%i=1,可得可=（1.0.V3）.

设平面ADE的法向量为五=（%2，为，22）.

由付艺=0,得辞2+y2to.

后-A'D=0,<3y2-zx=0

取工2=1，可得芯=（1,一8，一36）.

设平面ABC与平面ADE所成锐二面角的大小为。,

|71；・九2'|_|lx1+0x(—>/3)+V3X(—3^3)1_4,31

则cos。=|cos<n7>

元>1|7tjI'I九2'Ix/1+0+3XJl+3+2731

所以平面ABC与平面ADE所成锐二面角的余弦值为甯.

解析：本题考查了线面平行的判定，利用空间向量求线线、线面和面面的夹角的余弦值，属于中档

题.

（1）取4E的中点G,连结FG,HG,CE,通过证明OH〃FG,得出OH〃平面AEF；

（2）由条件可知。AJ_OB,OA'10D,0。108.分别以。8,OD,04'所在直线为x轴、y轴、z轴建

立如图所示的空间直角坐标系。-xyz通过求出平面ABC的法向量和平面A'DE的法向量，得出平面

4BC与平面ADE所成锐二面角的余弦值.

9.答案：证明：（1）取67）的中点凡连接E尸，AF.

因为E为PO的中点，所以EF〃PL,

又EF,平面PHC,PCu平面PBC,所以EF〃平面PBC.

因为CD=248,所以4B=CF.

又AB"CD,所以四边形ABC尸是平行四边形，所以「1F//BC,

因为4FC平面PBC,BCu平面PBC,所以AF//平面PBC；

因为EFn2F=F,且EFu平面AEF,4Fu平面AE尸，

所以平面AEF〃平面PBC；

因为AEu平面AE尸，所以AE〃平面尸8c.

E

/\"yB

/H/\/

4x\zV

Dc

解：（II）因为E是P。的中点，

所以点E到平面PBC的距离是点。到平面PBC距离的会

因为P41平面ABC。，AB1BC,PAnAB=A,

所以8c1平面PAB.所以BC1PB.

1112

所以V三棱镂P.BCD=3xS&BCDXPA=-x-x2xBCx2=-BC.

在Rt△PAZ?中，AB=1,PB=>JPA2+AB2=V¥TT=%，

所以，PCB=^xBCx正音BC.

设点D到平面PBC的距离为d,

WJ-xdx—FC=-BC）解得d=3.

3235

所以点E到平面PBC的距离是少.

5

解析：本题考查线面平行的证明，考查了利用等体积转化法求出点到平面的距离，考查了逻辑推理

以及空间想象能力，属于中档题.

(I)取CD的中点F,连接EF,AF,由中位线定理及线面平行的判定定理可得EF〃平面PBC,根

据平行四边形可得AF〃平面P8C,由面面平行的判定定理可得平面AEF〃平面尸8C,再由面面

平行的性质定理即可得AE〃平面PBC.

(II)先由线面垂直的判定得到BC_L平面PAB.再根据等体积转化法险偿好一BCO=V三的如-PBC即可求

点E到平面PBC的距离.

10.答案：(1)证明：在正方形ABC。中，AD//BC,

因为4。U平面PBC,BCu平面PBC,

所以4D〃平面PBC,

又因为4Du平面PAD,平面P4“n平面PBC=I,

所以

因为在四棱锥P-4BCD中，底面ABC。是正方形，

所以4D1DC,：.I1DC,

且PD1平面ABCD,ADu平面ABCD,

所以AC1PD,•••11PD,

因为CDflPD=D,CD,PDu平面PDC,

所以11平面PDC；

(2)如图建立空间直角坐标系。-xyz,

因为PD=AD=1,

则有。(0,0,0),C(0,1,0),4(1,0,0),P(0,0,1)B(l,1,0),

设Q(m,0,l),则有万?=(0,1,0),DQ=(m,0,1),PB=(1,1,-1),

设平面QCD的法向量为五=(%,y,z),

则E,黑=,,,即yu

(n-DQ=0(租％+z=0

令％=1,则z=-m,

所以平面QCD的一个法向量为元=(1,0,-m),

则cos<n,PB>=:黑=-^Y==,

|n||Pa|V3-VTH2+1

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值,

所以直线与平面所成角的正弦值等于

|1+m\V31+2m+m2

|cos<n,PB>

V3•y/m24-1Tm2+1

当且仅当m=i时取等号,

所以直线PB与平面QCO所成角的正弦值的最大值为手.

解析：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的

判定和性质，利用空间向量求线面角，属于中档题目.

(1)利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得4。〃],再得到UDO，UP。，利用线面垂直的

判定定理，即可得到/1平面PDC；

(2)根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点Q(m,0,l),之后求得平面

QCO的法向量以及向量方的坐标，求得|cos(加方>|的最大值，即为直线PB与平面QC。所成角

的正弦值的最大值.

11.答案:⑴证明:连接4C,因为四边形ABCD为菱形=

120°,所以AABC和A4CD都为正三角形，

又因为4411底面u平面ABC。,所以441J.4B,

AAr1AM,

于是AB、AM、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标

系，

4(0,0,0),8(2,0,0),C(l,V3,0).D(-l,V3,0).M(0,V3,0).

4i(0,0,2),Bi(1,0,2),Cj,-y,2),£>i(—

西=(-1,0，2),AM=(0,V3,0).

因为西•而7=(-1,0，2).(0,V3.0)=0,所以Ml/8

(2)解：由⑴知丽=(一3,百,0),BAl=(-2,0,2),砧=(一］,日,2),

设平面4BD的法向量为元=(x,y,z),

n=—3%+V3y=0

令x=l,n=(l,V3,l)，

S•n=-2x4-2z=0

所以直线45与平面4BC所成角的正弦值为黑翡=熹=|

解析：(1)证明向量两和询的数量积为零即可；(2)用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值.

本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与直线垂直的判定问题，考查了直线与平面成角计

算问题，属于中档题.

12.答案：解：(1)PAJ■平面u平面ABC%.P41.BC.

•••在直角梯形A3C。中，AB//CD.AB1AD,

AB=2,AD=CD=1,

AC=BC=V2.

AC2+BC2=AB2,：.AC1BC,

又PAC\AC=A..­.BC，平面PAC,

vBCu平面EBC,

.,・平面EBC1平面PAC；

(2)以4为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图所示).

易知8(0,2,0),C(l,l,0),P(0,0,V3),E(0,0,y).

则就=丽=(0,-2,y).BP=(0,-2,V3).

设元=(x,y,z)是平面BCE的法向量.

x—y=0

五•屈=0即

叫—2y+jz=0

n-BE=0

所以可取记=(1,1,2迎)

五•乔_272

VCOSm,而)=

|n|-|BP|=~T

；.直线PB与平面BEC所成角的正弦值为第.

解析：本题考查了立体几何中线面垂直的性质以及面面垂直的有关判定和性质，考查了求线面所成

角，属于中档题.

(1)结合条件先求出AC与BC的长度，从而证得4CJ.BC,于是由线面垂直的判定定理可得3。_1平

面PAC,利用面面垂直的判定即可得证.

(2)建立空间直角坐标系，表示出灰，屁，乔，即可求出平面BEC的法向量，最终求得直线PB与平

面BEC所成角的正弦值.

13.答案：解：(1)证明：在四边形ABCC中，

AD//BC,Z.ABC=90°,2AB=2AD=\[2CD=BC,

:AABD,△BCD都是等腰直角三角形，即CD1DB,

•••平面PBC_L平面ABCD,乙PBC=90°,

平面PBC0平面4BCD=BC,

•••直线PB1平面ABCD,即PB1CD.

(2)设BC=2,则4B=1,CD=BD=&，

••・直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为更，

3

.,.在RtAPBC中，COSAPDB=—=^,PD=V6.PB=2,

PD3

设BC的中点为M,连接。M,过点M作PC的垂线交PC于N,连接£W,

则NDNM就是所求角,

由题意知DM_L平面PBC,ADM1MN,

•：DM=AB=1,MN1CN,"BC=90°,BC=PB=2,

：.CN=MN,:.CM=WN=l,：.MN娱,

设二面角B-PC-。的平面角为。,

则二面角B-PC-。的正切值为tan。=黑=在.

MN

解析：(1)推导出CD_LDB,从而直线P81平面ABCQ,由此能证明PB1C。.

(2)设BC的中点为M,连接。M,过点M作PC的垂线交PC于N,连接£W,则/DNM就是所求角，

由此能求出二面角B-PC-。的正切值.

本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关

系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、空间想象能力等核心素养，是中档题.

14.答案：解：⑴如图(a),取A4i的中点连接EM,BM,因为E是。劣的中点，四边形4。口&为

正方形，所以EM〃/1D.

又在正方体，BCD-A/iGDi中.AD1平面ABB14,所以EM1面,从而BM为直线BE在

平面4BB1%上的射影，

NEBM直线8E与平面4BB1公所成的角.

设正方体的棱长为2,贝I]EM=AD=2,BE=V22+22+l2=3,

于是在Rt△BEM中，sinzEBM=器=:

即直线BE与平面488出所成的角的正弦值为|.

所以直线8E与平面4BB14所成的角的大小为arc|.

(2)在棱GA上存在点F,使当F平面

事实上，如图(b)所示，分别取G5和CE(的中点凡G,连接EG,BG,CD「FG,

因AiOJ/BiCJ/BC,且45=BC,所以四边形&BCD1为平行四边形，

因此。修〃&B,又E,G分别为。山，CQ的中点，所以EG〃劣C,从而EG〃4B,

这说明4,B,G,E共面，所以BGu&BE

因四边形GCDDi与B/CG皆为正方形，F,G分别为G5和CO的中点，

所以FG〃的C〃BiG,且FG=CiC=B/,因此四边形B/GF为平行四边形，

所以8iF〃BG,而B/C平面&BE,BGu平面&BE,

故8/〃平面&BE.

解析：(1)先取44i的中点M,连接EM,BM,根据中位线定理可知EM〃/D,而4DL平面4BB14,

则EM1面4BB14,从而BM为直线BE在平面上的射影，则/EBM直线8E与平面4BB14所

成的角，设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,BE=3,于是在RtABEM中，求出此角的正弦值

即可.

(2)在棱Ci。1上存在点凡使名尸平面&BE,分别取G5和C£>的中点F,G,连接EG,BG,CD「

FG,因为DJ/B1CJ/8C,且&Di=BC,所以四边形A/CD1为平行四边形，根据中位线定理可知

EG"A\B,从而说明B,G,E共面,则BGu面4BE,根据FG〃CiC//&G,且尸G=CXC=

从而得到四边形aBGF为平行四边形，则B1/7/8G,而当FC平面&BE,BGu平面48E,根据线

面平行的判定定理可知当F〃平面41BE.

15.答案：⑴解：连接BO,交AC于。，

因为E、尸分别是AB、AO的中点，所以EF〃BD,

因为A8c□是正方形，所以BD14C,于是EF14C,

因为PC平面ABC。，EFcT®ABCD,所以PCJ.EF,

又因为ACnPC=C,所以EF1平面PCM,

所以EFJ.PM,于是/PMC为二面角P-FE-C的平面角，设其大小为巴

刎。噂=袅号,昨arcta呼

(2)证明：由(1)知EF_L平面PMC,CHu平面PMC,所以EF1CH,

又因为CHIP",EFOPM=M,EF、PMu平面尸所，所以CH_L平面PEF.

(3)解：过O作ONJ.PM于N,

因为CH1PM,所以。N〃CH,

由(2)知C”_L平面PEF,所以。N_L平面PEF,

因为BD//EF,EFPEF,BD<tPEF,所以B。//平面PE尸，

所以点8到平面PE尸的距离即是点。到平面PE尸的距离，即是ON的长,

由（1）得ON=OMsind=--4让•,血*=—.

4Vl+tan2011

解析：（1）先证明4PMe为二面角的平面角，再求其正切值即可；（2）只须证明C”垂直于平面尸EF

内相交直线PM和EF；（3）先证BD〃平面PER再求ON.

本题考查了二面角的计算问题，考查了直线与平面垂直的判定问题，考查了点到平面的距离问题，

属于中档题.

16.答案：（1）证明：因为PA_L平面4BCE,PAu平面

PAB,所以平面P4B平面ABCE,

又因为平面P4B_L平面PBC,平面PBCn平面4BCE-

BC,所以8c平面P4B,

又因为4Bu平面PAB,所以BOB.

（2）解：连接尸G延长交CE于M,连接AM、AC,

因为G为APCE重心，所以CM=ME,

因为点A在平面PCE内的射影为G,所以AGJ•平面PCE,CEu平面尸CE,所以CEJ.2G,

因为PA1平面ABCE,CEu平面ABCE,所以CE1PA,

又因为P4C\AG=A,PAu平面PAM,AGu平面PAM,所以CE_L平面PAM,

又因为PMu平面PAM,所以CE1PM,

又CM=ME,所以PC=PE,

因为P4_L平面ABCE,所以AE=AC=Vl2+22=V5»

建立如图所示的空间直角坐标系，设E(x,y,0),P(0,l,t),

Im，2铲解得｛七，于是Eg。)，“2,0,0),4(0,1,0),

AG=CP=(—2,1,t).

AG-CP=0,于是-g+/=0,解得t=2a,于是P(0,l,2V2).

CG=(一'/，CP=(—2,1,2V2),BC=(2,0,0),

33

设平面PCE法向量为五=(x,y,z),

露三=2；］令z=—l,n=(0,272,-1),

(CP-n=-2x+y+2v2z=0

设直线CG与平面PBC所成角为e,

.4|CGn|等4>/42

stnu='三士=-f=-=---.

|CG||n|2^.363

所以直线CG与平面尸BC所成角的正弦值为史必.

63

解析：（1）根据两相交平面垂直第三平面，则交线垂直第三平面，于是垂直第三平面内直线;

（2）设点坐标，由已知列方程组，从而求出坐标，再用向量数量积求直线与平面成角正弦值.

所以41cl1DM,又因为平面4DG1平面a/G，

所以DM_L平面A/iG，又因为平面4BCD〃平面为B1G，

所以DM_L平面ABC。，

因为BiM〃OD且BiM=0D,所以&O〃DM,

所以当0_L平面ABCC；

(II)解：建立如图所示的空间直角坐标系，

在中，BiO=JB/2-8。2=J22-(V3)2=1>

CD=(-1,V3,0)>CCl=(0,V3,1).

设平面COG的法向量为%=（x,y,z）,

(CD-rn=—%+V3y=0

令y=l,方=(b3一呵,

•m=V3y+z=0

平面4DG的法向量为记=（0/，0）,

所以平面CDG与平面A1DG所成二面角的余弦值为韶=』=%

|771|-|?1|V7-1V7

故平面CDQ与平面所成二面角的正弦值为斤|=手.

解析：（I）根据直线与平面垂直的判定定理证明；（口）用向量数量积计算二面角余弦值，进而求解.

本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题.

18.答案：解：（1）以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,»z轴建立如图所示的空间直角坐

标系，

则8(0,3,0),C(2,2,0),£)(2,0,0),P(0,0,2回

DP=(-2,0,2遮)，BC=(2,-1,0).

、DPBC-4V5

•1-cos<DP'8"=丽丽=而百=一三’

••・异面直线夹角的取值范围为(0,90。],

.•・异面直线。尸与BC所成的角的余弦值为g.

，九二

(2)由(1)得,BC=(2,-1,0).而=(0,3,-2V3),

设平面咏的法向量为云…乃,则牖蒙;,噫二濯二o,

令y=2,则％=1,z=g，，运=(1,2,V3)»

・・・4(0,0,0),M(l,0,圾，/.AM=(1,0,遮),

设AM与平面P8C所成的角为%则s讥。=|cos<记>I=11黑I=IJEql=4

9e[0,90°],

4M与平面P8C所成的角的大小为45。.

(3)设所=4两，AC[0,1],则Q(0,3尢28(1-A)),

■■■AQ=(0,3A,2V3(l-A)).

记,亚=0,即3劝+273(1-;l)c=0,

设平面QAO的法向量为万=（a/，c）,则

m-AD=02a=0

令c=B，则a=0,b=^^-,.-.7n=

A