高中数学：3-1-2函数的表示法（第1课时）（分层作业）

3.1.2函数的表示法（第1课时）（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

一、单选题

1.（2022•全国•高一单元测试）在下列图形中，能表示函数关系y=/（x）的是（）

【分析】根据函数关系y=/（x）与任意垂直于x轴的直线最多有1个交点判断即可.

【详解】由题意，ABC与垂直于X轴的直线可能有多于1个交点，D与任意垂直于X轴的直线最多有1个

交点可得D正确.

故选：D

2.（2021・陕西・咸阳市实验中学高一阶段练习）第十四届全运会游泳比赛在西安奥体中心游泳跳水馆举行,

标准泳池的长为50米，宽为21米，在女子100米自由泳比赛中，能表示选手速度v随时间f变化的大致图

【答案】D

【分析】根据运动员从。开始加速、匀速，减速为0,再加速，即可得正确选项.

【详解】运动员初始速度为0,从0开始加速，排除选项C,

由于标准泳池的长为50米，

运动员在游到50米之前先加速，匀速，再迅速减速为0,然后加速游回去，

故选项A、B不正确，选项D正确；

故选：D.

3.(2022•全国•高一课时练习)已知函数y=/(x)的对应关系如下表所示，函数y=g(x)的图象是如图所

示的曲线ABC,则f[g(2)]的值为()

123

230

【分析】根据图象可得g(2)=l,进而根据表格得了⑴=2.

【详解】由题图可知g⑵=1,由题表可知f⑴=2,故孔g⑵]=2.

故选:D.

4.(2022.全国•高一课时练习)若函数“X)和g(x)分别由下表给出，则不等式/(g(x)”0的解集为

()

%-101

“X)10-1

X123

g(x)01-1

A.{2}B.{3}C.{1,3}D.{1,2}

【答案】C

【分析】根据函数的定义计算.

【详解】当x=l时，/(5(1))=/(0)=0:当x=2时，/(g(2))=/(l)=-l<0；当x=3时，

/U(3))=/(-l)=l>0.

综上，不等式〃g(x)”。的解集为{1,3}.

故选：C.

5.(2022.全国.高一课时练习)已知函数〃%+2)=炉+6工+8,则函数的解析式为()

A./(x)=x2+2xB./(X)=X2+6X+8

C./(x)=x2+4xD./(x)=x2+8x+6

【答案】A

【分析】利用配凑法(换元法)计算可得.

【详解】解：方法-(配凑法)：/(X+2)=X2+6X+8=(X+2)2+2(X+2),

f(x)=x2+2x.

方法二(换元法)令下=x+2,则x=f—2,・・・/")=(，—2)2+6。—2)+8=产+2，，

/(X)=X24-2%.

故选：A

二、多选题

6.(2022♦重庆•巫山县官渡中学高一阶段练习)具有性质=的函数，我们称为满足“倒负”变换

的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是()

A.f(x)=x~—B./(x)=x+—

x,0<x<I

C./(x)=«0,x=lD.f(x)=x2--

X

--x>1

、x

【答案】AC

【分析】对于选项A、B、D,代入化简判断即可；对于选项C,分类讨论再化简判断即可.

【详解】对于选项A,

/(-)=~~x,-f(x)=--x,故满足“倒负”变换；

XXX

对于选项B,

/(-)=-+x,-/(x)故不满足"倒负”变换;

XXX

对于选项C,

当OVxVl时，/(')=-x,-f(x)=-x,

x

当x=l时，/(1)=0,成立，

当x>l时，/(")=—,-f(x)=—,

XXX

故满足“倒负”变换；

对于选项D,

11-r31-Y3

.f(L)=="，-/(X)=」，故不满足“倒负”变换;

XXX

故选：AC.

7.(2022・全国•高一)下列各图中，可能是函数图象的是()

【答案】ACD

【分析】利用函数的概念选出正确答案.

【详解】B选项，x>0时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，B错误，其他选项均满足

函数的概念，是函数的图象.

故选：ACD.

8.（2022.全国•高一课时练习）下列各图中，不可表示函数y=/（x）的图象的是（）

【答案】ABC

【分析】函数图像是函数的一种表示方法，根据函数的定义，可判断各图像是否可以表示函数.

【详解】根据函数的定义，对于定义域内的任意一个自变量x,都有唯一的函数值y与它对应，因此，只有

选项D正确，选项ABC都错误.

故选：ABC

9.（2022・全国•高一课时练习）已知函数的图像由如图所示的两条曲线组成，则（）

A./(〃-3))=1B.4-1)=35

C.函数的定义域是(e,0]32,3]D.函数的值域是[1,引

【答案】AD

【分析】根据图像分析各选项即可.

【详解】选项A：由图像可得/(-3)=2,所以/(/(一3))=〃2)=1,A正确;

选项B：图像法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图像不能得出/(-I)的确定值，B错误；

选项C：由图像可得函数的定义域为[-3,0][2,3],C错误；

选项D：由图像可得函数的值域为口,5],D正确.

故选：AD.

三、解答题

10.(2021.全国•高一专题练习)某种笔记本每个5元，买x(x©{l,2,3,4})个笔记本的钱数记为y(元)，

试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图象.

【答案】y=5x{1,2,3,4},图象答案见解析

【分析】根据已知条件求得函数解析式，并画出图象

【详解】依题意:y=5x,xe{l,2,3,4},

图象为：

y

20

15-•

10-•

5■•

_

O1234a:

11.(2021・全国•高一专题练习)某问答游戏的规则是：共5道选择“题”，基础分为50分，每答错一道题扣

10分，答对不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数xae{0,1,

2,3,4,5))之间的函数关系.

【答案】列表、图象见解析，解析法y=50-10x(xG{0,1,2,3,4,5)).

【分析】根据题设描述，应用列表法每个X对应的），值，再在直角坐标系中描点得到图象，进而写出函数的

解析式及定义域.

【详解】该函数关系用列表表示为：

X/道012345

W分50403020100

该函数关系用图象表示，如图所示

y

50

40•

30

20

10

O12345x

该函数关系用解析表示为y=50-10x（xe{0,1,2,3,4,5））.

12.（2022•山东省临沂第一中学高一开学考试）如图，一次函数.丫=6+6的图象与x轴正半轴交于点C,与

反比例函数y=—：的图象在第二象限交于点过点A作仞，X轴，垂足为。，AD=CD.

（1）求一次函数的表达式；

⑵已知点E（a,O）满足CE=CA,求a的值.

【答案】⑴y=-x+i

（2）1+272

【分析】（1）根据点A在反比例函数图象上可得,〃，然后结合图形求点C坐标，再由点A、C坐标代入一

次函数可解；

（2）由勾股定理求4C,然后讨论点E位置可得.

（1）•••点A（—1,m）在反比例函数y=-♦的图象上,

m=2,1,2）.

•；AD_Lx轴，：.AD=2,0D=\,：.CD=AD=2,

：.OC=CD-OD=\,：.C（1,O）.

把点4（—l,2）,C（1,O）代入产质+b中，得九+八'，解得%]1，

,一次函数的表达式为y=—+l.

（2）在Rt^AOC中，AC=JAD2+CD?=20,：•AC=CE=2s/i，

当点E在点C的左侧时，a=l-2收，当点E在点C的右侧时，4=1+2后，

二。的值为1±2近.

13.（2022・湖南•高一课时练习）已知圆。的直径为4,将该圆的内接矩形ABCD（四个点都在圆周上）的

面积表示为它的一边A8的长》的函数/（x）,并求出其定义域.

【答案】/（x）=x>/16-x2-定义域：（0,4）

【分析】求出矩形另一边长BC后可得面积，AB小丁直径可得定义域.

【详解】由题意BC=JAC，-AB2=J16-x2，

f（x）=ABBC=xV16-x2，

A8显然小于直径，所以0<x<4,即定义域为（。,4）.

14.（2022・全国•高一课时练习）作出下列函数的图象:

（l）/（x）=|x-l|+|x+l]；

—x~+4x—3,x>0

⑵/（x）=<0,x=0

X2+4X+3,JC<0

【分析】（1）先去绝对值变成分段函数，然后作出每一段的图象即可;

（2）结合二次函数的图象特征，分别作出每一段图象即可.

—2.x,x4—1

（1）因为函数画出其图象如图①所示.

2x,x>\

图①

（2）函数的图象是两段抛物线（部分）与一点，画出其图象如图②所示,

【能力提升】

一、单选题

1.（2022・全国•高一期末）某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的

余数大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数>=［划（田

表示不大于x的最大整数，如［乃］=3,【4］=4）可表示为（）

cx+3rr%+51

A.y=[^^]B.y=[r----]1D.y=[----]

101010

【答案】B

【分析】令班级人数的个位数字为〃，则x=10〃?+n(mwN),结合题意讨论〃写出对应V值，由取整函

数的定义写出函数关系式.

【详解】设班级人数的个位数字为"，令x=10m+〃，(m&N),

当时，y=fn,当7V〃V9时，y=〃?+l,

综上，函数关系式为丫=［转%+31.

故选：B.

二、多选题

1—v-~

2.(2022•全国•高一课时练习)若函数f(l-2x):「一(xwO),则()

X

吗卜5

A.B."2)=3

44r2

C./(x)=7—#T("0)D.——7-旧0且门1)

(1)1)-

【答案】AD

【分析】由换元法求出f(x),可判断C；分别令x=2或x=g可判断A,B；求出可判断D.

【详解】令=则x=Y，所以f(f)=4

一1,则/(%)=(.[)2，故

C错误;

15,故A正确；*2)=3,故B错误;

[_©2]

(X-1)2(%=0且XH1),故D正确.

故选：AD.

三、填空题

x+15+1,则的值域为

3.(2022・全国•高一课时练习)已知了

【答案】(1.4W)

【分析】先求出〃x）=（x-l）2+l（xxl）,再结合:次函数的性质即可得出值域.

【详解】解：令，=巴，则r=l+」Kl,所以1=f_i,

XXX

所以/«）=（一1『+1,

故"X）的解析式为"X）=（X-1）2+1（XH1），其值域为（1,e）.

故答案为：（1,+8）.

4.（2022.全国•高一课时练习）对任意的为<0<*2，若函数/（x）=4x-X||+目的大致图象如图所示

（两侧的射线均平行于x轴），则满足条件的mb的值可以分别为.

【答案】1,T（答案不唯一）

【分析】将〃x）化为分段函数，逐段与图像对应，根据图像在各段上的变化规律，进而确定解析式的各项

系数，进而即得.

［详解］当元<X］时，/（X）=-<2（X-X1）-Z?（X-X2）=-（6Z+Z?）X4-（OXI+Z?X2）,

a+b=O(D

由题图可知

ax{+如<0®

当玉cxc%时/(x)=«(x-x1)-Z?(x-x2)=(tz-Z?)x-ax1+如，

。-8>0③

由题图可知

-aXy+bx2<0@

当xNXj时、/（九）=q（x—玉）+〃（%—％2）=（4+人）工一（外：+〃%2），

由题图又可得出①②两式,

由①和③两式可得此时②和④均成立.

故可取。=1,b=-\（注：答案不唯一，满足〃>0且。+。=0即可）

故答案为：1,-1（答案不唯一）

四、解答题

5.(2022•全国•高一课时练习)(1)已知〃x)是二次函数，且满足"0)=1,/(x+l)=/(x)+2x,求函

数/(x)的解析式；

(2)已知〃x)+2/(—x)=V—x,求函数“X)的解析式；

(3)已知/(x)是R上的函数，"0)=1,并且对任意的实数x,y都有y)=/(x)—y(2x—y+1),求

函数的解析式.

r2

【答案】(1)/(x)=x2-x+l；(2)/(x)=—+x；(3)y(x)=x2+x+l.

【分析】(1)待定系数法：先设含待定系数的解析式，再利用恒等式的性质或将已知条件代入，建立方程

(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数.

(2)方程组法：已知关于〃x)与"-力的表达式，构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).

(3)特殊值法(赋值法)：通过取特殊值代入题设中的等式，使抽象的问题具体化、简单化，求出解析式.

【详解】(1)设/(x)="2+/zr+c(aH0),由/(0)=1得：c=l.

由/(x+l)=f(x)+2x得：a(x+l)-+h^x+1)+1=ax2+bx+\+2x,

整理得(2a-2)x+(a+b)=0,

⑶-2=0,\a=\

i,八,贝"(/1,

[a+b=0=

/.y(x)=x2-x+i.

(2)Vf[x}+2f(-x)=jc-x,①

/(-X)+2/(X)=X2+X,②

②x2—①得：3/(X)=X2+3X,

/(x)=、+x.

(3)令尸工,则/1(x-y)=〃0)=((x)-x(2x-x+l)=l,

/(x)=x2+x+l.

6.(2022.全国•高一课时练习)设函数y=/(x)的定义域与函数y=〃/(x))的定义域的交集为/),若对任

意的xe。，都有〃/(x))=x,则称函数f(x)是集合M的元素.

⑴判断函数〃x)=2x-1和g(x)=:是不是集合M中的元素，并说明理由；

(2)设函数,且〃可=去+》(葭b为常数,且原0),试求函数“X)的解析式;

(3)已知“力0,J\x)=-^-eM,试求实数a,匕应满足的关系.

【答案】(I)〃X)不是集合M的元素，g(x)是集合M的元素，理由见解析

(2)/(X)=X^/(X)=-X+Z>(Z?GR)

⑶。+。=0

【分析】(1)欲判断函数/(x)=2x-l,g(x)=』是否是"的元素，只须验证对任意xwR,f(/(x))=x是

X

否成立；

⑵根据函数且/(力="+匕(七0),利用待定系数法可求晨b的值,即可求/(X)的解析式;

(3)根据定义，问题可转换为力(x)=/(/(x))=x对一切定义域中X恒成立，建立等式，从而可得：

(a+b)x2-(a2-b2)x=0恒成立，即a+/>=0.

(1)因为对任意的xeR,/(/(x))=2(2x-l)-l=4x-3,所以〃x)=2x—1任M.

因为对任意的xe(7o,0)50,+<»),g(g('))=I=x,所以g(x"M,

X

故〃X)不是集合M的元素，g(x)是集合M的元素.

(2)因为函数且〃力=米+伙人/0),

所以•/'(f(x))=k(依+%)+b=x，

k2=\%=1.火=-1

所以，解得或"

kb+b=Ob=0beR

所以/(£)=工或/(力=一_¥+83£即.

(3)

易知y=〃x)与y=/(〃x))的定义域的交集D由满足,，。的X构成.

aax

因为=所以/(〃x))=x对xe。恒成立，所以-^比=凡即(a+»f_(/_6卜=0对。

x+b~^~+b

x+b

恒成立，故a+b=O.

7.(2022•全国•高一课时练习)设/(力是一次函数，且/[f(x)]=4x+3,求/(x)的解析式.

【答案】/(x)=2x+l^/(x)=-2x-3

【分析】利用待定系数法及复合函数从内到外的处理的原则即可求解.

【详解】设〃x)=ar+M”0),则

1

f\_f{x'^=af(<x)+b=a^ax+b)+b=ax+ab+b=Ax+?>,

[a2=4[a-2ftz=-2

所以，AV解得4i或匕v

[ab+b=3也=1的二-3

所以函数/(x)的解析式为,f(x)=2x+1或/(x)=-2x-3.

8.(2022•全国•高一课时练习)(1)已知f(«+2)=x+4五，求函数〃x)的解析式；

(2)已知“X)是二次函数，且满足"0)=1,/(x+l)=/(x)+2x,求函数/⑺的解析式;

(3)已知f(x)+2/(—x)=%2—%,求函数f(x)的解析式；

(4)已知“X)的定义在R上的函数，〃0)=1,且对任意的实数x,y都有/1上-y)=〃x)-y(2x-y+l),

求函数〃x)的解析式.

【答案】(1)f(x)=d-4(xN2)；

(2)/(x)=x2-x+l；

2

(3)/(X)=y+X;

(4)f[x)=Xi+x+\.

【分析】(1)直接用换元法即可求得/(x)解析式.

(2)直接用待定系数法即可求得了(x)解析式.

(3)直接用构造方程组法即可求得f(力解析式.

(4)直接用赋值法即可求得了(x)解析式.

【详解】(1)方法一设f=4+2,则£22,4=r-2,即x=(f-2『，所以/(r)=(f-2y+4(f-2)=产一4,

所以/(%)=/一4工xN2).

方法二因为/(4+2)=(«+2『-4,所以/(X)=Y—4(XN2).

(2)因为“X)是：次函数，所以设〃力=加+区+c(aH()).由"0)=1,

得C=1.

由/(x+l)=/(x)+2x,^tz(x+l)2+Z?(x