高二数学上学期期末模拟试卷02（选择性必修第一册选择性必修第二册）

高二数学上学期期末模拟试卷

一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.(2022春•高二校考期末)两平行直线3x-2k1=()和6x-4y+3=0间的距离是()

A5x/13Bc2屈口3岳

'26'13'13'3

【答案】A

3

【解析】将直线6Iy+3=0化为3x-2y+.0,

「

所以两平行直线3x-2y-l=0和6x-4y+3=0间的距离|114215―，故选：A.

序百.26

2.(2022春・北京•高二人大附中校考期末)若直线/的一个方向向量为V=(-2,-2,Y),平面a的

一个法向量为〃=(覃，2),则直线/与平面a的位置关系是()

A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.平行或线在面内

【答案】A

【解析】因为。=-2〃,所以u与”共线，直线/与平面&垂直.故选：A.

3.(2019春•江西南昌高二南昌二中校考期末)已知/(》)=/''⑴,则〃e)=()

A.1+eB.eC_2+eD.3

【答案】A

【解析】因为=,所以广(x)=lru+l,所以_f(l)=lnl+l=l,

所以f(x)=l+xlnx,所以〃e)=l+elne=l+e.故选:A

4.(2021春・安徽滁州•高二校考期末)过点尸仅3)引圆.八/—2》+4＞，+4=0的切线，其方程是

()

A.x=2B.12x-5y+9=0

C.5x—12y+26=0D.x=2和12x-5y-9=0

【答案】D

【解析】根据题意,圆X2+/-2x+4y+4=0,

即(x_l)2+(y+2)Jl,其圆心为(1,-2),半径r=1；

过点P(2,3)引圆必+V-2x+43，+4=0的切线，

若切线的斜率不存在，切线的方程为X=2,符合题意；

若切线的斜率存在，设其斜率为％,贝！J有y—3=Z(x—2),即日-y+3-2A=0,

则有,解得,

\j\+k)

12

此时切线的方程为y-3=M(x-2),gpi2x-5>--9=0.

综上：切线的方程为x=2和⑵-5y-9=0.故选：D.

5.(2022春•北京•高二人大附中校考期末)如图，已知正方形ABCD所在平面与正方形移防所

在平面构成60。的二面角，则异面直线AC与防所成角的余弦值为().

【答案】A

【解析】根据题意可知，NE8C即为平面ABC。与平面构成二面角的平面角，

所以NEBC=60,

设正方形边长为1,异面直线AC与即所成的角为日,

AC=AB+BC,BF=BE+EF,EF=BA=-A5JAC卜阿卜&

所以AC.BF=(AB+BC).(BE+EF)=(AB+BC).(BE-AB)

§PAC-BF=AB.BE-12+fiC.SE-SC.AB=0+(-1)+1x1xcos60-0=-1

_I

^rW.cos(AC,BF\=r=--；即COSa』cos(AC,8F)卜J,

\/|AC||BF|72X724I\〃4

所以，异面直线AC与防所成角的余弦值为:.故选：A.

6(2022秋河北石家庄•高二校考期末股等差数列｛叫的前〃项和为S“若%+%=%+8则%=

)

A.28B.148C.168D.248

【答案】C

【解析】因为等差数列5｝中，%+/=%+8=。4+41,

所以为=8,则邑=型竽9=21%=168.故选：C.

7.（2022春.陕西渭南•高二期末）一动圆P过定点M（T,O）,且与已知圆N：（＞勺，/=16相

切，则动圆圆心户的轨迹方程是（）

【答案】C

【解析】已知圆N:"-4『+丁=16圆心N（4,0）,半径为4,

动圆圆心为尸，半径为『，

当两圆外切时：PM=r,PN=r+4,所以PM-PN7；

当两圆内切时：PM=r,PN=r-4,所以PM-PN=4；

即|PM-/W|=4,表示动点P到两定点的距离之差为常数4,符合双曲线的定义，

所以P在以例、N为焦点的双曲线上，且2a=4,2c=8,

/./?=V?-a2=716-4=2＞/3,

所以动圆圆心唯轨迹方程为：，故选：c.

8.（2020春广西南宁高二南宁三中校考期末）设《，鸟分别为双曲线C力＞0）

的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以耳名为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M,N两点，

且ZM4N=135。，（如图），则该双曲线的离心率为（）

【答案】D

【解析】依题意得，以线段和为直径的圆的方程为一+/=/,

双曲线C的一条渐近线的方程为y=^x.

_bx=-a,

以及/+/=。2,解得

由­y=b或y=-b.

[x~2+y22

不妨取M（叫,则N（-a,-b）.

因为A（-a,0）,/肪W=135,所以/MAO=45,

bh

又tanZMAO=—,所以1=—,所以b=2a,

2a2a

所以该双曲线的离心率e=「|「百.故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（2022春河北保定高二统考期末）已知两条直线4、4的方程分别为3x+4y+12=0与

依+8y-ll=0,下列结论正确的是（）

7

A.若，贝必=6B.若〃4,则两条平行直线之间的距离为5

32

C.若则八丁D.若"6,贝!］直线4、〃一定相交

【答案】ABD

【解析】若"防，则用｝段,二。=6,A正确;

由A知，/2：6x+8y-ll=0,直线乙的方程可化为6x+8y+24=0,

故两条平行直线之间的距离为书碧=：,B正确；

V30+042

32

由《I%,则3a+4x8=0,:.a=,C不正确；

由A知。=6时,IJH2,所以a=6时，则直线〈乙一定相交，D正确.故选：ABD.

10.（2022春・福建・高二福建师大附中校考期末）如图，在平行六面体ABC。-44CQ中，以顶

点A为端点的三条棱长都为1,且^DAB=ZDAAt=ZBAA,=60，则下列说法中正确的有（）

A.AC,±BDB.BDt=y/6

c.平面ACGD.直线B"与AC所成角的余弦值为半

0

【答案】ACD

【解析】以｛A&AQM｝为空间一组基底，

ACt=AB+AD+AA,,BD=AD-AB,

AC,BD=(AB+AD+AA^(AD-AB^

=ABAD+ADAD+AA｛AD-ABAB-ADAB-AA]AB

=lxlx；+F+lxlx；—f-lxlx；-lxlx；=0,所以AC]_L80,A选项正确.

BDt=ADl-AB=AD+AA]-AB,

2

所以8。：=(AD+AA]-AB>i=AD'+AAi'+AB+2ADAAi-2AA,AB-2ADAB

=l2+l2+l2+2xlxlxl-2xlxlxl-2xlxlxl=2

222

所以,B选项错误.

依题意可知，四边形MS是菱形，所以,

由于AGAC=A,AC»ACu平面ACC；,

所以叫，平面AC£,C选项正确.

设直线BR与AC所成角为404。4方,

AC=AB+AD,BD^AD+AA^-AB,

AC2=(AB+AD^AB2+2ABAD+AD2=l+2xlxlx^+l=?,,AC=^,

ACBD,=(AB+A£>).(A£>+AVAB)

=ABAD+ABAAl-ABAB+ADAD+ADAAt-ADAB

11,,11

=lxlx—4-lxlx——I2+124-lxlx——Ixlx—=1

2222

所以=•邛,D选项正确•故选：ACD

11.（2022春・山东济南•高二济南市历城第二中学期末）已知函数〃x）=-Jinx，则（）

A./（力40恒成立B.〃x）是（。，+8）上的减函数

C.“X）在』;得到极大值5D.“X）在区间（为］内只有一个零点

【答案】CD

【解析】〃x)=41nx,该函数的定义域为(0,+8),

所以/'(x)=-2xlnx-x=-x(21nx+l),

由/'(X)>O,可得0<工<3,由/'(“<0,可得,

所以当0<x<e一时，函数AM单调递增，当x>e+时，函数〃x)单调递减，

•.J(x)极大值=/［eW)=-eTlne1=(,故B选项错误，C选项正确；

当()<x<l时，lnx<0,此时〃冷=一日旧>。,A选项错误；

由题可知函数在区间(2,e］内单调递减，而/⑴=(),

故〃x)在区间(%，e)内只有一个零点，D选项正确.故选：CD.

12.(2022春・山东荷泽•高二校考期末)过抛物线C：/=2Px上一点A(1,-4)作两条相互垂直的

直线，与。的另外两个交点分别为M,N,则()

A.C的准线方程是、=~4

B.过C的焦点的最短弦长为8

C.直线MN过定点(0,4)

D.当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为2x+y-38=0

【答案】AD

【解析】将ND代入C中得:p=8,则C为1=i6x,

所以C的准线方程是x=T,故A正确；

由题可知C的焦点为(4,0),可设过C的焦点的直线为x=h+4,

由｛阀;:，可得八3-64=0,设交点为£(2芦(2),

贝［］九+孙=16,，xE+xF=t(yE+yF)+8=\6r+8>S,

所以硒=4+^+8216,即过。的焦点的最短弦长为16,故B不正确;

设Ma)“，'岛可，直线为x=，〃y+〃，联立抛物线得：y2-16my-16n=0,

所以％+%=16匹,%%=T6",又,

所以AM-AN=1^-l,y+4•.-1,必+4)=()一12T‘)+(1+4)(y?+4)=0,

因为)产-4,必X-4,即(*+4)(%+4)H。,

所以（纥?21）+1=。,整理得*%-4（*+%）+272=0,

256

故一16〃-64〃2+272=0，彳导〃=T/n+17,

所以直线MN为x=m（y-4）+17,所以直线MV过定点P（17,4）,故C不正确；

当MNLAP时，A到直线MN的距离最大,此时直线MN为2x+y-38=。,故D正确.

故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.（2022春.陕西西安・高二期末）已知空间三点映-2,0,2）,8（-1,1,2）,C（-3,0.4）,设,

b=AC，卜卜3,且。〃仅一〃）,贝!k=.

【答案】（-2,-1,2）或（2,1,-2）

【解析】b-a^AC-AB=BC=（-2,-l,2）,

由于c〃R-a）,所以c=x（—2,-l,2）=（—2x,—x,2x）,

所以卜|="J+x>+4x2=3|x|=3,x=±l,

所以C为（-21,2）或（2,1,-2）.

14.（2022秋云南昆明高二统考期末）已知直线I:x-6y-l=0与圆C：（x-2）?+/=1相交于

A,B两点,贝！J|A3|=.

【答案】V3

【解析】已知圆心为C（2,0）,半径为r=l,

圆心到直线的距离为"=钻=；,

所以=2\lr2-d2=2xJ1-；=6.

15.（2022秋・广东肇庆.高二统考期末）某学校有A,B两家餐厅，通过调查发现：开学第一天

的中午，有一半的学生到A餐厅就餐，另一半的学生到5餐厅就餐；从第二天起，在前一天选

择A餐厅就餐的学生中，次日会有:的学生继续选择A餐厅，在前一天选择3餐厅就餐的学生

中，次日会有3的学生继续选择B餐厅.该学校共有学生3500人，经过一个学期（约150天）

后，估计该学校到A餐厅就餐的学生人数为________人.（用整数作答）

【答案】1400

【解析】设第〃天选择A餐厅就餐的学生比例为知，

由题意得，,4,=；4-i+；（1-a"T）,所以4=6i+g,

故q=,所以卜“裔是以木为首项，-；为公比的等比数列，

所以qg'Hr，则.=,也（一（|、|，

经过一个学期（约150天）后，

2

估计该学校到A厅就餐的学生人数为3500x^5Ia3500x—=1400（人）.

16.（2022秋・吉林・高二吉林一中校考期末）已知函数/（X）=言,若关于x的方程

[f（x）Y+af（x）+a-]=0,有且仅有三个不同的实数解，则实数。的取值范围是_______

【答案】（-oo,l-e）

【解析】因为〃切=襦,则八制=安，

当Ovxcl或1＜x＜e时，/（力＜0,

当》＞e时，/'（力＞。，所以〃x）在（。，1）和（Le）上单调递减，在（勒一）上单调递增，

且当xf()时，/(x)f0,/(e)=e,

故八x）的大致图像如图所示：

关于x的方程"（x）F+4（x）+a-1=0等价于l/W+1][f[x）+a-1]

即“x)=-l或"幻=1一〃,

由图可得，方程〃x）=T有且仅有一解，则f（x）=Ja有两解,

所以l-a>e,解得a<l-e.

四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17（2022春江苏苏州高二苏州中学校考期末应平行四边形ABC。中/（1,2）,C（3,-2）,

点E是线段8C的中点.

（1）求直线C。的方程；

（2）求四边形ABEO的面积.

【答案】（1）x-2y-l=0；（2）.

【解析】（1）由ABCD,3=七1-2=；1

—1—1Z

••♦直线c。的方程为y-(-2)=](x-3),即x-2y_7=0;

(2)四边形ABED为梯形，E是线段BC的中点，

贝II《手,平)，即打2,0),

_o_o

直线AO的方程为>-1=彳手(》+1),即2x+y+l=0,

J—1

则E到直线的距离为生需』=不，忸C|=J(-2-21+(3-1)2=25

故四边形ABE。的面积为(岛2.卜”=15.

22

18.(2022春.山东高二沂水县第一中学期末)已知数列｛叫的前“项和S“=〃2-14〃+2.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛㈤｝的前〃项和

f-1177=1G

【答案】⑴4T2f〃22；（2）〃-rT+14«-2,1<n<7,/?N+

2

n-14/7-92,77>8,neN+

【解析】(1)当〃=1时，5=174+2=71,即4=-11,

当2时，勺=S〃—S,I=/_14〃+2—[(〃-1)2_14(〃_1)+2]=2〃-15,

九=1时，q=T3,与％=T1不符,

所以""=｛2"-15,〃Z2；

(2)由为V0得〃《,而〃eN,,

所以当14〃47时,«„<0,当一8时,。“>0,

当1472K7时，(=同+同+…+同=一(4+生+…+"〃)=一S〃=一〃2+14〃-2,

当心8时,十二同+同+…+同+同+…+㈤=一(6+出+…+%)+%+…+4

2

=-S?+(S“-S7)=Stl-2S7=n-14/7-92,

6斤=[-"2+14〃-2,14"47,〃eN+

2

“n-14n-92,n>8,nGN+

19.(2022春.河北保定.高二统考期末)已知圆C过点A(l,3)、8(2,2)，且圆周被直线3x+y+7=0

平分.

(1)求圆C的标准方程；

(2)已知过点(T,5)的直线/被圆C截得的弦长为2直,求直线/的方程.

【答案】(l)(x+2『+(y+l)2=25；(2)4x+3y+l=0或x=T

【解析】(1)由题意得：

•.•4(1,3),8(2,2)，且直线3x+y+7=0过圆心

•MB的中点坐标为

又如=泻=—1

53

•••AB的垂直平分线方程为即x-y+l=O

3x+y+7=0x=-2

联立，解得

x-y+l=0)=T

圆C的圆心坐标为(-2.-1),r=7(-2-1)2+(-1-3)2=5

则圆。的标准方程为(x+2>+(y+iy=25.

(2)当斜率存在时，设直线方程为V-5=k(x+4),即履-y+以+5=。.

圆心(-2,-1),至IJ直线的星巨离d1-2.:1:4：+5]=4燮=后方=2,解得上

，4+1，4+15

二直线/的方程为4x+3y+l=。

当斜率不存在时，x=-4也满足条件

则直线/的方程为4x+3y+l=0或x=T.

20.(2022秋•黑龙江哈尔滨.高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期末)如图，等腰梯形A8CZ)

中，AD//BC,AB=BC=CD=^AD,现以AC为折痕把ABC折起，使点8到达点P的位置，且

PA1CD.

(1)证明：CD1平面PAC；

(2)若M为上一点，且三棱锥。-ACM的体积是三棱锥P-ACM体积的2倍，求平面PAC

与平面ACM夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)孝

【解析】(1)在梯形ABCD中取AD中点N,连接CN,

所以3c=4V且3C/M7V,所以四边形A8CN为平行四边形,

所以CN=A8,又因为=,所以CN=；4O,

所以点C在以A/)为直径的圆上,所以ACL8.

又因为APJ_CD,APcAC=A,AP,ACu平面PAC

所以CQ_L平面PAC.

(2)取AC中点。，连接P。,因为AP=PC,所以POLAC,

由(1)得CZ)_L平面PAC,又因为CDu面AC。,

所以平面PAC，面AC。,因为AC为两平面交线，所以PO1面ACD,

以。为原点，)为》轴，过。且与OA垂直的直线为)‘轴，

OP为，轴建立直角坐标系，

设AB=2,则A（6,0,0）,C（-A/3,0,0）,P（0,0,l）,味6,2,0）,

由匕，-ACM：^D-ACM=1：2，得PM=—PD,

所以。M=OP+PM=OP+*=]兴阁,

设平面ACM的法向量为：=（x,y,z）,

622c

nOM=0-----x+—y+—z=0

所以，即33-3

n-OA=Q

y[?）X=0

取z=-l,则x=（）,y=i,所以“=（0,11）,

又因为平面PAC的法向量〃2=(0,1,0),

所以3"〉=篇=当

因为二面角P-AC-M为锐二面角，所以其余弦值为日.

21.(2022春.四川泸州高二四川省泸县第一中学校考期末)已知椭圆捺+/1(〃>8>0)的左

右焦点分别为6,工，抛物线丁=以与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的

7

交点，且闿f.

（i）求椭圆的方程；

（2）过户作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A,8和C,。，线段A8的中点

为M,线段CD的中点为N，证明：直线MN过定点，并求出该定点的坐标.

丫2V24

【答案】（1）?+《=1；（2）证明见解析，定点（于0）.

【解析】（1）抛物线焦点坐标为（1，。），故〃=L

设由抛物线定义得：点2到直线x=T的距离为大

4+丝一产

3/

・•.COSNP%=5,由余弦定理，得cosNPf；鸟4

7,

2x2x-

3

整理，得9/+36/-65=0,解得或，=-?（舍去）.

由椭圆定义,得1班1+1"1=2〃=4f：.a=2,b=^>,

22

•••椭圆的方程为?+3=1;

(2)设几：x=»v+i,("，Xo),

x=my+1

143

..“号=晶，代入直线方程得3高，・跖高，言），

同理可得靠,3〜，

tIm

3m7m

:」,必：丫+

3m2+44m2-4

412m2-1212m2+164

令y