随机数学教材(A )标准化作业

普通高等教育“十一五”国家级规划教材

随机数学

(A)

标准化作业

吉林大学公共数学中心

2013.2

第一次作业

院(系)班皴号________姓笠

一、填空题

1.10个人编号1,2,…，10且随意围一圆桌坐下，则有某一对持相邻号的两个人

正好座位相邻的概率是.

2.已知事件A和B满层(AB)P/B7［且P(A)04,则P(B)=

3.我与B是两个互不相容的随机事件，且P(A)0.4=,P(B)0.5=,则

P(AB)=.

4.在区间0,1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6_”的概率

5

为.____________

1

5.两个相互独立的事件A和B都不发生的概率是且A发生B不发生和A不发生

9B

发生的概率相等，则P(A)=---------------

6.在4重伯努利试验中，已知事件A至少出现一次的概率为5,则在一次试验中A

出现的概率为----------

二、B

1.下列等式不成立的是()

(A)A=ABUAB.(B)A-B=AB.

(C)(AB)(AB)=①.(D)(A-B)UB=A.

2.^B,C是同一个实验的三个事件，则事件(AUB)(AUB)(AUB7可化简为)

(A)AUB.(B)A-B.(C)AB.(D)6.

3.已知事件A和B满照AB)0〒则()

(A)A和B相互独立.(B)AB=6.

(C)AB未必为6(D)P(A)0或中(B)0.=

4.在10件产品中有2件次品，依次取出2件产品，每次取一件，取后不放回，则第二次取

到次品的概率内)

1

(A)1.(B)81.(D)16

4F而,(C)-书•

□

5.设有4张卡片分别标以数字1,2,3,4,今任取一张；设事件A为取到1或2,事

件B为取到1或3,则事件A与8是()

(A)互不相容.(B)互为对立.(C)相互独立.(D)互相包含.

6.设每次试验成功的概率为p(0<p<1),则重复进行试验直到第n次才取得成功的概

率为()

rA\nJ.nJ.n」n.j

p(1-p).(B)np(1-p).(C)(n-1)p(1-p)(D)(1_p).

三、计算题

1.将n只球随机地放入N(n*N尔盒子中，设每个盒子都可以容纳n只球，求：(1)

每个盒子最多有一只球的概率p；(2)恰有m(m"n)只球放入某一个指定的盒子中的概率

P；(3)n只球全部都放入某一个盒子中的概率出.

2

三个人独立地去破译一份密码，已知每个人能译出的概率分别为

2.1,1,1问三人

534

中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

2

<<v2a

3.随机地向半圆020)

yaxx内掷一点，革落在半圆内任何区域的概率与区

域的面积成正比，求原点与该点的连线与X轴夹角小于

的概率.

4

4.仪器中有三个元件，它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损

坏时，仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时，仪器发生故障的概率为0.6,当三个

元件损坏时，仪器发生故障的概率为0.95,当三个元件都不损坏时，仪器不发生故障.求:

（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率.

3

5.在100件产品中有10件次品；现在进行5次放回抽样检查，每次随机地抽取一件

产品，求下列事件的概率：（1）抽到2件次品；（2）至少抽到1件次品.

四、证明题

1.0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A|B)+P(A|B)=1,证明事件A与B相互独立.

2.已知任意事件A,A,A,A满足AUA(i=1,2,3),证明

123

N+'十一

P(A)P(A)P(A)P(A).2

123

4

5

第二次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1.一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格产品的概

率为P=+1,2,3，X表示3个零件中合格的个数，则P{X

)2}

I

i1

2.设随机变量X的分布函数为

<-

0,_x<1,

='0.4,1<X<1,

F(x)

0.8,1x>3,

x3.

则X的分布律为

2x0x1

3.设随机变量X的概率密度为f(x)廿…'用丫表示对X的3次独立重复

0,其它，观

i4一

察中事件I1

出现的次数，则P{Y2}

2

4.设随机变量X,Y服从同一分布，X的概率密度函数为

=1一<<

32

f(x)1。x2,

其它，

=>=>dj=—=

设A{Xa}与B{Ya}相互独立，且p{AB}，则

i4

企彘机变量五月息―费HjfB(2,-pj，随机变量丫服从二项分布B(3,p),若

P{X1}，则P{Y1}°、<.</=\<

9

①()=______________

6.设随机变量X服从N(2,②)，且p2X40.3,则PX0

7.标准正态分布函数1.96

二、选择题

1.下面能够作为某个随机变量的分布律的是()

6

135、12

(A)(B)

0.50.30.3I0.70.1

012LnL、123LnL

(C)(D)

11111111111

一•—2——n——2-3-n

L)

()()L()L，、(J()L(J

22323232222

——

2.设f(x)sinx,要使f(x)sinx能为某随机变量X的概率密度，则X的可能取值

rt—Jt—nn-7T

的区间是()

31

(A)[立].(B)r21,(C)[0,].%】■

L2」(D)

的分布函数,是

3.设h(x)和F2(X)分别为随机XXF(x)aF(x)bF(x)

变量=----和为使=一1=一2

2

某一随机变量岭布画，在下列给定的各组数值中应取(__)

___

/A、3222

(A).

ao,b.(B)a,b

5533

©Jb2.L<13

ID)a,b

工<冗

23,22

4.已知连续型随机变量X的分布函数为

0,x0,

==_F(x)kxb,0x,___

7T1,x,

则参数k和也分别为」)_.__

允71

/A、11

(A)..

KnO,b.(B)k,b0.

1jr<<11

(C)..=v

k,bnU.I(D)kO.b

22

5.设的aX将概率密度函数为=

[f(x)3

4x,。X1,-7T

0,其它，

){2}=-=

则使P{Xa}P{Xa}成立的常数as

一42.(R)11

(A)1(C)

14.(D)

222

21

6.设随机变量X),且

N(PX1,f(1)1,则

服从正态分布

()

2

7

1

（A）R=[/M=1,a2

=1.（B）行

1

（C）M=1,Q2（D）M=0,02

一2穴.=1.

..22

7.设随机变量X服从正态分布N（R,。）,则随着。的增大，概率P{|x-P|<0）（

（A）单调增大.（B）单调减少.

（C）保持不变.（D）增减性不定.

三、计算题

1.一批产品由9个正品和3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回,

直到取得正品为止.用X表示取到的次品个数，写出X的分布律和分布函数.

2.设随机变量X的概率分布为

X-2-10123

P0.100.200.250.200.150.10

（1）求丫=-2X的概率分布；（2）求z=x?的概率分布

8

3.设连续型随机变量X的概率密度为

x,0<x<1,

f(x)=《k(2-x),1<x<2,

[0,其它，

(1)k的值；(2)X的分布函数.

4.设随机变量X服从正态分布N(3,4),求:P{2<X<3},P{|X|>2},P{|X|<3}.

9

5.设连续型随机变量X的分布函数为

0.x<-a,

F(x)=ABarcsin"axa,(a0)

a

[1,x-a,

Laa讷的概率.(3)X的概率密度函数.

求：(1)常数A、B.(2)随机变量X落在(，)

22

6.已知随机变量X的概率密度为

f+<

-axb,0x<1,

f(x)c甘小

0,其他，

f]f1

j'fT<

且PX'，求(1)常数a,b的值；⑵PX

2842

10

7.已知随机变量X的概率密度为

=-x<4*

f（x）e,x

X

2

又设「

C~1,X0,

,、1,X0,

，>_、

I〔J

求：（1）丫的分布律；（2）计算pY

21

8.己知随机变量X的概率密度为=(一>

[xx3

f(x)e,0,

0,x0,

求：随机变量丫X*的概率密度函数.

11

四、证明题

1.设随机变量X服从正态分布N（N,1），证明：Y=axb（a巾）仍然服从正态分布,

并指出参数.

2.设随机变量X服从参数为九=2的指数分布，证明:

"1服从［0,1］上的均匀

分布.

12

第三次作业

院（系）班级学号姓名

一、填空题

1.设随机变量X与丫相互独立，具有相同的分布律,

X01

P0.40.6

则max{X,Y}的分布律为.

2.设随机变量（X,Y）的联合分布律为

r-i

{==}=/m*,mn,=

1

PXm,Yn2<m,n1,2,L,

则关于X的边缘分布律为PXm，关于Y的边缘分布律为PYn.

3.设有二维连续型随机变量（X,Y）,则P（XY）1=

4.设随机变量X和K相互独立，X在区间（0,2）上服从均匀分布，丫服从参数为1

+>=________________

的指数分布，则概率P{XY1}

+<

5.若二维随机变量（X,Y）在区域{（x’y"y2扑上服从均匀分布，则（X,Y）的

概率密度函数为

R+o=__________

6.设随机变量（X,Y）~N（0,1,2,3,0）,则1:

>

7.设随机式量XI,X2,LXn（n1）相互独立，并且服从相即）分布，分布函数为F（x）,

记随机变量Xmax（Xi,X2,L,XQ,则X的分布函数Fx（x）

二、选择题{w<}{>>}

1.关于随机事件Xa,Yb与Xa,Yb下列结论正确的是（）

（A）为对立事件.（B）为互斥事件.

13

（C）为相互独立事件(D)p{x<a,Y<b}>p{x>a,Y>b}.

2.设二维随机变量（X,Y）在平面区域G上服从均匀分布，其中G是由x轴，y轴以及

直线y=2x+1所围成的三角形域，则（X,丫）的关于X的边缘概率密度为（）

r1=卜1

--<<

(A).J8x芟一一＜伙＜(B)

f(x)=2

XIf(x)2

I其它.卜其它.

0,+----<<—<<

=v

I

111

(C)4x2,x0,(D)4x4,x0,

f(X)2fX

X+—=

J)2

其它.其它.

0,<<o,

fy

3.设平面区域0是由G轴，，辐以海直线x

t1所围成的三角形域，二维随机变量

2

1

(X,Y)在G上服从均匀分布，则fi(x|y)(）（0y2）

XY

i——<<一

=42y

(A)f(x|y)2y'°*12,

fO,其它.

]VV—

=1Zy

,0x1,

(B)f(x|y)y2

X|Y

Q其它.

i<<—

=，0x1y

(C)f(x|y)l'2'

xM23y

0,其它.

、

1.。七Y+I

(D)fx/X|y)1大

0,其它.

4.设二维随机变量（X,Y）的分布函敝为n7T

n

nnit7t

y

F（x,y）AarctanxB.arctan

22

则常数A和B的值依次为（)

(A)2和2.1和.(D)1和.

（B）1和.(C)

22

42

5.设X和X2是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度分别为G(x)和f2(x),

1

分布函数分别为E(x)和Fz(x),则下列说法正确的是()

14

(A)「(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度.

(B)

fi(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度.

+

(C)E(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数.

(D)F,(x)Fz(x)必为某一随机变量的分布函数.

6.如果(X,丫)是连续型随机变量，下列条件中不是X与丫相互独立的充分必要条件的

是()，其中x,y为任意实数.

(A)P[X-x,Y二y}=P{X'x}P{Y-y}.

(B)F(x,y)=F(x)F(y)

X.

=Y

(C)gx,y)f(x)f(y)

x=.

dc丫

2

F(x,y)

(D)f(x,y)

十V=

xy-+4=

7.设随机变量手,丫涌互独立，X服从N(0,1)版NQ,1),则()

(A)P(XY0)0.5.(B)P(XY1)0.5.

(C)P(XY0)0.5.(D)P(XY1)0.5.

三、计算题

1.设随机变量X在1,2,3,4四个数字中等可能取值，随机变量丫在1~X中等可能

地取一整数值，求(X,Y)的概率分布，并判断X和丫是否独立.

15

2.设随机事件A、B满足p（A）1,P（BA）P（AB）1,令

=4==2

11

Xr'AYB

='发生，发生，

b,A不发生，B不发生，

=+

求（1）（X,Y）的概率分布；（2）ZXY的概率分布.

已知随机变量和丫相互独立，且都服从正态分布

3.X（）,求常数使得概率

-=N0,R,

22

P{XYR}0.5.

16

4.已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为

f0+)

f(x,y)=/e,x0,y0,

lo,其它.

(1)求系数k；(2)条件概率密度fl(xy)；(3)判断X和Y是否相互独立；(4)计算概

XY

率P(X<2丫<A(5^Z=min{X,Y}的密度函数fz(z).

17

5.设随机变量U在区间［-2,2］上服从均匀分布，令

U4-1,f-1若<1,

X=4若Y=4U

1>-[>

'11,1若1,

若UU

求（X,Y）的联合分布律.

6.设（X,丫）的概率密度

4,0x1,0y2x,

f(x,y)

0,其它

求Z2X丫的概率密度.

18

第四次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1,设随机变量X的分布律为

X-202

P0.40.30.3

则E(X)=---------------------,E(X2)=----------------------,E(3X2+5)=----------------------.

2-设随机变量X和丫相互独立，且D(X)和D(Y)=°2都存在，则

D(2X3Y).

3.设随机变量X的概率密度为

r

-cos,0x,

f(x)[22

其它.

0,1=

对X独立重复地观察4次，用丫表示观察值大于N丫2\

的次数，则口丫)-

3

4.设随机变量X~N(0,1),Y~(4),并且X与丫的相关系数为0.5,则有

D(3X2Y)

5.对一批圆木的直径进行测量,设其服从［a,b］上的均匀分布，则圆木截面面积的数

学期望为,

>

6.设随机变量X在［1,2］上服从均匀由布，设随机变量

£X<0,

=Y0,X0,

1,X0,

贝ID(Y)

7.设X服从［1,1］上的均匀分布，则E(X"),D(X3)

二、选择题

1.对于随机变量X,关于E(X)和E(X?)合适的值为(

(A)3,8.(B)3,-8.(C)3,10.(D)3,-10.

19

2.设X是一随机变量，且E(X)=P,D(X)=J(B,o>0为常数)，贝I」对于任意常数

C,必有()

(A)E(X-C)2=E(X2)-C2.(B)E^X-C)2]=Ekx2

)

(C)EEx-C2]<E[又一心2E-C)2--E2

(D)X)

()()

3.设D(X)2,则D(3X2))

(A)16.(B)18.(C)20.(D)8._

4.对于以下各数字特征都存在的任意两个随机变量X和丫，如果E(XY)E(X)E(Y),

则有()+

(A)D(XY)D(X)D(Y).(B)D(XY)D(X)D(Y).

(C)X和X郝互独立二o>(+X和X不相耳独立.

5.设2

E(X),D(X)0,则为使EabX0,D(abX)1,则a和b分别是

)

°?ao

(A)

aM'b=o(B)㊀“一

a

1

(D)

(C)a,ba,b

X

6.若随机变量X与丫满足1

Y,且D(X)2,则Cov(X,Y)()

2P=

(A)1.(B)2.(C)-1.(D)-2.

7.已知二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则X和丫的相关系数XY。是X和

Y相互独立的()

(A)充分条件，但不是必要条件(B)必要条件，但不是充分条件

(C)充分必要条件.(D)既不是充分也不是必要条件

三、计算题<<

4<

1.设随机变量X的概率密度为

ax,0x2,

f(x)exb,2x4,

0,其它.

已知E(X)2,P{1X3}，求a,b,c的值.

4

20

2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

=《l(x^y),0-X-2,0-y-2,

f(x,y)8

b,,

P+其它

求E(X),E(Y),cov(X,Y),和D(XY).

XY

21

3.设二维离散型随机变量（X,Y）的联合概率分布为

012

X

0101

1212

10