苏教版必修第一册3基本不等式

基本不等式屈W竽（a,b20）

►基本不等式的证明

基本不等式的应用

基础过关练

题组一对基本不等式的理解

1.（2020江苏连云港海头高级中学月考）在不等式a+122VH中等号成

立的条件是（）

A.a=0B*

C.a=lD.a=2

2.在下列各式中，对任何实数x恒成立的是（）

A.x+122«2+l>2x

1

C—^―W1D.x+-^2

X

3.（2020浙江杭州月考）下列不等式一定成立的是（）

A.3X+Rn

C3（x2+1）+而%三逐

D.3（x2-1）+W^2佩xW±l）

题组二利用基本不等式比较大小

4.（2020江苏南京第九中学月考）设a>b〉0,则下列不等式中成立的是

()

A/r

A.-2aba+b>Va/?

a+b2

cQ+b/~-r2ab

2a+b

一"

U-a+bR2ab闹ir

D.华>底>竽

a+b2

5.（2022江苏江浦高级中学期中）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、

第二周的猪肉价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不

同，甲每周购买20元的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单

价分别记为m,元,m2元,则下列结论正确的是（）

i=m2

1,012的大小无法确定

题组三利用基本不等式求最值

6.（2022江苏徐州七中月考）已知x>0,则函数y=x+：的最小值为（）

7.已知实数x>0,y>0,则x+y+苦的最小值为（）

V2

VToV6

8.若正数x,y满足x+4y-xy=0,贝IJ当x+y取得最小值时,x的值为（）

9.若则x-l-4%2的最大值为.

10.（2022江苏曲塘中学月考）已知x>3,则之+x的最小值为.

题组四利用基本不等式证明不等式

11.已知x>0,求证:x+；；—

2%+12

12.已知a,b,c为不全相等的正实数，求证:a+b+c>V^F+V^+V^.

题组五利用基本不等式解决实际问题

13.（2020广东广州期末）为不断满足人们日益增长的美好生活需要，实

现群众对舒适的居住条件、较优美的生活环境、较丰富的精神文化生

活的追求，某大型广场正计划进行升级改造，改造的重点工程之一是新

建一个长方形音乐喷泉综合体AiBiCQi,该项目由长方形核心喷泉区

ABCD（阴影部分）和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面

积为lOOOn?,绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）.当长方形

AiB.C^i占地面积最小时，核心喷泉区的边BC的长度为（）

VTOm

14.（2020江苏平潮高级中学期中）2020年上半年,新冠肺炎疫情在全国

蔓延，疫情暴发造成医用防护服短缺,某地政府决定为医用防护服生产

企业A公司的扩大生产提供x（x£[0,10]）万元的专项补贴，并以每套72

元的价格收购其生产的全部医用防护服△公司在收到政府x万元补

贴后，医用防护服产量增加到1=4-占（万套），同时A公司生产t万套医

用防护服需要投入成本（52+3x+45t）万元.设A公司生产医用防护服产

生的总收益为y万元.当政府的专项补贴为多少万元时,A公司生产医

用防护服产生的总收益最大？

（注:总收益=销售总金额+政府专项补贴-成本）

能力提升练

题组一利用基本不等式求最值（范围）

1.（2020江苏如东高级中学月考）已知0<x<|jiJx（l-2x）的最大值为

（）

1

-

3

11

C--

48

2.（2022福建师大附中期中）设xi,X2分别为方程x2-4ax+3a=0（a>0）的两

个实数根，则X]+X2+4-的最小值是（）

尤1%2

4V3„4V6

AA.——B.——

33

8V3„8V6

33

笫2

3.（2020河南三门峡外国语高级中学期中）设正数x,y满足x2+^-=1，则

xjl+y2的最大值为（）

A.1B.乎-D学

2244

4.正数a,b满足2a+b=l,且2VHF-4a恒成立，则实数t的取值范

围是（）

A（8,孚B.母,+8）

刍Dt，+8）

5.（2020山东荷泽期末）已知x>y>0,则x2+-^的最小值为.

6.(2022江苏连云港新海高级中学月考)若x>0,y>0,且满足曰去=2,

则x+y的最小值是.

题组二利用基本不等式证明不等式

7.已知a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=3.

证明:(1)V^+V^W苧；

3

2)2-

8.(2020江苏田家炳高级中学月考XDa>0,b>0,求证:4+义=26+伤(用

7byja

比较法证明)；

(2)除了用比较法证明,还可以有如下证法：

,..冬+血2伤,当且仅当a=b时，等号成立,

鼻+人士伞,当且仅当a=b时，等号成立，

•,.++舟+^/^'+'\^=(_^+(得+22"\/^+2VF,当且仅当a=b时,

等号成立，

.,.存■g、V^+VF,当且仅当a=b时，等号成立.

VDy/a

根据以上解题过程，解决下列问题：

„2h27…

①证明:若a>0,b>0,c>0,则R—+—三a+b+c,并指出等号成立的条件；

bca

②试将上述不等式推广到n(n22)个正数a1,a2,…,an】an的情形，并证明.

题组三基本不等式在实际问题中的应用

9.(2022广东南海中学期中)《九章算术》是中国传统数学最重要的著

作,它奠定了中国传统数学的基本框架.《九章算术》中记载:“今有邑,

东西七里，南北九里，各中开门,出东门一十五里有木，问出南门几何步

而见木？”其算法如下:从东门往南走到城角的步数乘从南门往东走到

城角的步数，乘积作被除数,以树距离东门的步数作除数，被除数除以

除数得结果，即出南门X里见到树，则x=e黑迤.若一座长方形小城,

如图所示,出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的

周长最小为（注:1里=300步X）

国里同里

“U里同里

10.（2021四川南山中学开学考试）网店和实体店各有利弊，两者的结合

将在未来一段时间内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录

仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结

合的销售模式.根据几个月的运营发现,产品的月销量x（万件）与投入

实体店体验安装的费用t（万元）之间满足x=3-告.已知网店每月固定的

各种费用支出为3万元，每1万件产品的进货价格为32万元，若每件产

品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安

装费用的一半”之和，则该公司的最大月利润是万元.

11.（2020江苏邛江中学期中）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿

色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市

共投资80万元，根据行业规定,每座城市至少要投资20万元，由前期市

场调研可知甲城市收益yi（单位:万元）与投入成本x（单位:万元）满足

y尸-T+40,20<X<40,乙城市收益y2（单位:万元）与投入成本x（单

（25,40<%<60,

位:万元）满足y2=；x+20.

⑴当甲城市的投入成本为25万元时，求甲、乙两座城市的投资的总

收益；

（2）试问如何安排投入成本，才能使甲、乙两座城市的投资的总收益

最大？

答案全解全析

基础过关练

1.C

2.C对于A,当x<0时,无意义，故A不恒成立;对于B,当x=l时,x2+l=2x,故B不恒成立;对于

CM+Gl恒成立，所以恒成立;对于D,当x<0时,x+工£2,故D不恒成立.故选C.

3.B对于A,x可能是负数，不成立;对于B,由基本不等式可知,3x2+32倔当且仅当3x2=

去，即x4=*时取等号，故成立;对于C,当3(x2+1)=时,(x2+1)2="无解，不成

立;对于D,x2-1可能是负数,不成立.故选B.

4.B-/a>b>0,.•.呼>而，篙<瑞=痫,

...竽>痼>空.故选B.

2a+b

5.C根据题意可得m尸黔=繇瑞=■，当且仅当a=b时等号成立，

~a+T。0

m2=，^=岑之而，当且仅当a=b时等号成立，

由题意可得a*b,所以mi<Vab,m2>瓦则rri2>mi.

故选C.

6.C因为x>0,所以y=x+^2Jx,~=2V4=2x2=4,当且仅当x=g,即x=2时取等号.

因此，当x=2时，函数y=x3的最小值为4.

7.Bx>0,y>0,；.x+y+g+拄2Jx—+2Jy~=4+2=6,当且仅当x=g且y=',即x=

2,y=1时等号成立,此时x+y+g+；的最小值为6.

故选B.

41

8.CVx>0,y>0,x+4y=xy,4--=1,

；・x+y=(x+y)©+/=5+：+?25+2Jjy=9,当且仅当x=2y时，等号成立,此时

久片’邛言故选《

(%+4y=xy,(y=3.

9.答案；

解析,.<0<x<1,/.1-4X2>0,

xVl-4x2=；74刀2Wi-4x2<；.4x+J"=当且仅当x=与时取等号，二xVl-4x2

22244

的最大值为"

4

10.答案7

解析Vx>3,.,.x-3>0,

.'.白+x=+FX-3+3N2x(x-3)+3=4+3=7,当且仅当2=x-3,即x=5时取等号,

故吃+x的最小值为7.

x-3

11.证明因为x>0,所以x+》0,

所以x+白=x+T=x+g+々一拉2l(x+-|=|,

X4-A22Jv2)2Z

当且仅当x+；=即X=附，等号成立.

2%2

故当x>0时,x+^卢|.

12.证明Va>0,b>0,c>0,

a+b^2Vab>0,b+c^2Vbc>0,c+a^2Vca>0,

2(a+b+c)^2(Vaft+Vibe+y[ca),

即a+b+c^Va6+V6c+(当且仅当a=b=c时,等号成立).

•；a,b,c为不全相等的正实数，

等号不成立，

a+b+c>Vab+y[bc+yfca.

方法技巧

证明不等式时，要观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式,则要结合左、右两

边的结构特征进行拆项、变形、配凑等，使之满足使用基本不等式的条件.

13.B设BC=xm(x>0),则CD=^m,

所以长方形ABGDi的面积S=(x+10)•(乎+4)=1040+4x+押22

1040+2)4x--=1440,当且仅当4x=逊，即x=50时，等号成立，

Y4%

所以当长方形AiBiCiDi占地面积最小时，核心喷泉区的边BC的长度为50m.故选B.

14.解析由题意可得y=72t+x-(52+3x+45t).

因为t=4-总

所以y=72t+x-(52+3x+45t)=-2x+27t-52=-2x+27x(4-+)-52=-2x-^|+56,xG[0,10].

因为-2x-指+56=-2(x+2)-^1+60<-2V324+60=24,当且仅当2(x+2)=指，即

x=7时取等号，

所以当政府的专项补贴为7万元时,A公司生产医用防护服产生的总收益最大.

能力提升练

1.D因为0<xg,所以0<2x<1,0<1-2x<1,所以x(l-2x)=

2

|X2XX(1-2X)<1X(^)=1

当且仅当2x=l-2x,即x=*时取等号，

所以x(l-2x)的最大值为:.故选D.

2.D因为X1,X2分别为方程x2-4ax+3a=0(a>0)的两个实数根，

所以xi+x2=4a,xiX2=3a,

所以X1+X2+—=4a4-#之2萼=

xtx23QY3a3

当且仅当4a亭,即a=当时取等号，

3a3

所以XI+X2+2的最小值为竽.

x±x23

故选D.

3.D•.•正数x,y满足.X?”玲2=1,

.,.2x2+y2=2,

xg1号x缶x^x的）斗严）、苧x空等=苧,

2X-V-3

2x+y2=2,2

当且仅当g=E即时取等号,

y-VT2

.•.xJIT了的最大值为苧.

4.B*.*2a+b=1,/.4a2+4ab+b2=1,

A4a2+b2=l-4ab,

2y/ab—4a2—b2=2y[ab—(4a2+b2)=2y[ab—(1—4ab)=2y[ab+4ab-1=y/2X

V2^b+2x2axb-l<V2x等+2x(等7-l=¥+2x»l=亨弓当且仅当2a=b,

且2a+b=1,即a=],b=g时取等号，

：.2痼-4a2-b2的最大值为芋一

由题意得t-

5.答案8

解析因为x>y>0,

所以x-y>0,

所以0<y(x-y)斗号邛=9,

所以x2+$Nx2+i1N2”1=8,

y(x-y)xz7xz

cy=x-y,_

当且仅当卜2=抵即时，等号成立，

lx>y>0,

故的最小值为8.

y(x-y)

6.答案|

解析因为《y+输『2,

所以x+y=x+1+y+1-2=；x2(x+l+y+l)—2=gx(x+l+y+1)—2=-x

[5+冲+巧_2芸[5+2但第可-2=1,

Lx+ly+lj2[qx+1y+1]2

当且仅当x=2,y=g时取等号，

故x+y的最小值是|.

7.证明(1)(V«+Vc)2=a+c+2VHF42(a+c),当且仅当a=c时取等号.

因为a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=3,

所以+&*2(a+c)=J2(3.Z?),当且仅当a=c时取等号，

所以+Vbc=Vb(V«+所以J2b(3.b)W、(b+3-b)=言,当且仅当b=|,a=c=

时取等号.

⑵冬+华22叵二孕二a,当且仅当2a=b+c时取等号，

b+c4y]b+c4

同理,可得与+半？b,当且仅当2b=a+c时取等号，

C+Q4

二+空Nc,当且仅当2c=b+a时取等号，

a+b4

上面三式左右分别相加并化简可得HF+二？中=:，当且仅当a=b=c=l时取等号.

b+cc+aa+b22

8.解析⑴证明:•.•a>0,b>0,

,a,bzf-,k、ax[a+by/b-aVb-bxfa

,_+__(VH+VF)=--------—

2

_(x^a-Vd)(a-b)_(Va-Vd)(Va+x^)>n

=~~

•,*+*迎+倔

(2)①证明:•••b+1N2a,当且仅当a=b时，等号成立,c+^Z2b,当且仅当b=c时，等号成立,a+《？2c,

Dca

当且仅当a=c时，等号成立,，b咛+c+g+a+：N2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时，等号成立，

2人2b2一

n--1—Na+b+c,当且仅当a=b=c时，等号成立.

oca

②将上述不等式推广如下：

—+—a+…+aaa1+a2+...+3n-1+an.

。23nl

证明：,•■生+a2+—+a3+…+—+an+—+ai—2ai+2a2+...+2an-i+2an,^-&>(X

ai=a2=...=an.i=an时，等号成立，

+%■+■•・+—+^Nai+a2+…+an/+an,当且仅当ai=a2=...=a-i=a时，等号成立.

aaann

。23nl

9.C设GF=x步,EF=y步，由△BEF~FGA得黑=詈，所以驷=志，所以y=驷”，

bruA