北师版九上数学1.1菱形的性质与判定（第一课时） 课件

第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定（第一课时）数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版课前预习011.菱形的定义.有一组邻边

的平行四边形叫做菱形.相等

2.菱形的性质定理.（1）菱形的四条边

⁠；（2）菱形的对角线

⁠；（3）菱形的两条对角线互相

，并且每一条对角

线

一组对角；（4）菱形是

，它的

⁠是它

的对称轴；菱形也是

，对称中心是

⁠

⁠.注：菱形具有一般平行四边形的所有性质.相等

互相垂直

垂直平分

平分

轴对称图形

对角线所在的直线

中心对称图形

对角线

的交点

数学九年级上册BS版典例讲练02

（1）如图，在菱形

ABC

D中，对角线

AC

，

B

D相交于点O.下列

说法：①

A

D∥

BC

；②O

A

＝O

C

；③

AC

⊥

B

D；④

AC

＝

B

D.

其中正确的是

（填序号）.①②③

【思路导航】利用菱形的性质依次判断即可.【解析】∵四边形

ABCD

为菱形，∴

AD

∥

BC

，

OA

＝

OC

，

AC

⊥

BD

.

∴①②③的说法正确，④的说法错误.故答案为①②③.【点拨】（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边

形的一切特征.具体特征如下：①边：对边平行且四条边相等；

②角：对角相等，邻角互补；③对角线：互相垂直，互相平

分，每一条对角线都平分一组对角；④对称性：菱形既是中心

对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是对角线的交点，

它的对称轴是对角线所在的直线.（2）菱形的周长等于边长的4

倍.（3）如果菱形的一个内角为60°，那么这个菱形的两边与较

短的对角线可构成等边三角形.（2）菱形的两条对角线把菱形分成

个全等的

⁠三

角形.【思路导航】设四边形

ABC

D为菱形，由菱形的性质结合全等

三角形的判定方法证明△

A

O

B

≌△

C

O

B

≌△

C

OD≌△

A

OD，

即可得出结论.四

直角

【解析】如图，设四边形

ABCD

为菱形.∵四边形

ABCD

是菱形，∴

AB

＝

BC

＝

CD

＝

DA

，

OA

＝

OC

，

OB

＝

OD

，

AC

⊥

BD

.

∴∠

AOB

＝∠

BOC

＝∠

COD

＝∠

DOA

＝90°.

∴△

AOB

≌△

COB

（SSS）.同理，得△

COB

≌△

COD

，△

COD

≌△

AOD

.

∴△

AOB

≌△

COB

≌△

COD

≌△

AOD

.

故答案为四，直角.【点拨】菱形是特殊的平行四边形，它的“特殊”主要体现在

它的“轴对称性”.

1.下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是

（

C

）A.对边平行且相等B.对角线互相平分C.每条对角线平分一组对角D.对角互补C2.如图，在菱形

ABC

D中，已知∠D＝130°，则∠1的度数

为

⁠.25°

如图，已知四边形

ABC

D是菱形，周长为20cm

，点O是两条对

角线的交点，

A

O＝3cm

，求菱形两条对角线的长.【思路导航】由菱形对角线互相垂直平分和勾股定理可以计算

出

B

O的长，继而得到对角线

B

D的长.

【点拨】菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角

形，通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中

相关线段的长，再利用勾股定理计算.

如图，在菱形

ABC

D中，已知点E是

AB

的中点，且DE⊥

AB

于点

E，

AB

＝4cm

，求对角线

AC

的长.解：如答图，连接

BD

，与

AC

交于点

O

.

∵四边形

ABCD

是菱形，∴

AD

＝

AB

，

BD

⊥

AC

，

AO

＝

CO

，

DO

＝

BO

.

∵点

E

是

AB

的中点，∴

AE

＝

BE

.

又∵

DE

⊥

AB

，∴

AD

＝

BD

.

∴

AD

＝

BD

＝

AB

＝4cm

.答图

在Rt△

AOB

中，由勾股定理，得

答图答图

如图，已知菱形

ABC

D的边长为6，∠

B

＝60°，点E，F分别是

边

BC

，

C

D上的动点（不与端点重合），且∠E

A

F＝60°.（1）求证：△

A

EF是等边三角形.（2）在点E，F的运动过程中，四边形

A

E

C

F的面积是否变

化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出四边形

A

E

C

F的面积.【思路导航】（1）连接

AC

，证明△

BA

E≌△

CA

F（

ASA

），

推出

A

E＝

A

F，即可得出结论；（2）根据△

BA

E≌△

CA

F，将

四边形

A

E

C

F的面积转化为△

ABC

的面积，从而计算出面积为

定值.（1）证明：如图，连接

AC

.

∵四边形

ABCD

是菱形，∴∠

D

＝∠

B

＝60°，

AB

＝

BC

＝

CD

＝

AD

.

∴△

ABC

，△

ACD

都是等边三角形.∴

AB

＝

AC

，∠

B

＝∠

BAC

＝∠

ACD

＝∠

EAF

＝60°.∴∠

BAE

＝∠

CAF

.

∴△

BAE

≌△

CAF

（

A

S

A

）.∴

AE

＝

AF

.

又∵∠

EAF

＝60°，∴△

AEF

是等边三角形.（2）解：四边形

AECF

的面积不发生变化.理由如下：由（1）

知，△

BAE

≌△

CAF

，

如图，过点

A

作

AH

⊥

BC

于点

H

.

∵菱形

ABCD

的边长为6，∠

B

＝60°，∴

BH

＝3.

【点拨】（1）菱形的对角线把菱形分成两个全等的等腰三角

形.当菱形中出现60°或120°的角时，常常需要连接较短的对角线

构造等边三角形，进而利用全等三角形的性质解决问题.（2）

对于动态非特殊四边形

AECF

的面积，常常连接对角线，利用

等面积法转化为固定图形的面积求解.

已知四边形

ABC

D是菱形，

AB

＝4，∠

ABC

＝60°，∠

MAN

的两

边分别与射线

CB

，D

C

相交于点E，F，且∠

MAN

＝60°.（1）如图1，当点E是线段

CB

的中点时