北师版九上数学1.3 正方形的性质与判定（第二课时） 课件

第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定（第二课时）数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01课前预习判定正方形的基本思路.已知先证明再证明最后证明四边形平行四边形邻边相等一个直角矩形一组邻边相等对角线互相垂直菱形一个直角对角线相等数学九年级上册BS版02典例讲练

在四边形

ABCD

中，已知

AC

与

BD

相交于点

O

，那么下列条件

中能判定这个四边形是正方形的是（

C

）A.

AC

＝

BD

，

AB

∥

CD

，

AB

＝

CD

B.

AD

∥

BC

，∠

A

＝∠

C

C.

AO

＝

BO

＝

CO

＝

DO

，

AC

⊥

BD

D.

AO

＝

CO

，

BO

＝

DO

，

AB

＝

BC

【思路导航】根据正方形的判定定理进行分析从而得到答案.C【解析】A.不能判定这个四边形是正方形，只能判定这个四边

形是矩形；B.不能判定这个四边形是正方形，只能判定这个四

边形是平行四边形；C.能判定这个四边形是正方形；D.不能判

定这个四边形是正方形，只能判定这个四边形是菱形.故选C.【点拨】判定一个四边形为正方形的途径有三种：①先说明它

是平行四边形，再说明有一组邻边相等，且有一个角是直角；

②先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等，或说明对角线互

相垂直；③先说明它是菱形，再说明它有一个角是直角，或说

明对角线相等.

如图，在菱形

ABCD

中，对角线

AC

，

BD

相交于点

O

，添加下

列条件中的一个，则能使菱形

ABCD

成为正方形的是（

A

）AA.∠

ABC

＝90°B.

AC

＝

AD

C.

BD

＝

AB

D.

OD

＝

AC

如图，在△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，点

D

在

AB

边上且

AD

＝

BD

，连接

CD

，点

E

是

CD

的中点，过点

C

作

CF

∥

AB

，交

AE

的延长线于点

F

，连接

BF

.

（1）求证：

AE

＝

EF

；（2）判断四边形

BDCF

的形状，并说明理由；（3）当∠

ABC

＝45°时，直接判断四边形

BDCF

的形状.【思路导航】（1）由

CF

∥

AB

，得∠

DAE

＝∠

CFE

，证明△

ADE

≌△

FCE

，从而得到结论成立；（2）先证明四边形

BDCF

是平行四边形，再由直角三角形中斜边上的中线性质证明四边

形

BDCF

是菱形；（3）通过证得∠

BDC

＝90°得到问题的答案.

（2）解：四边形

BDCF

是菱形.理由如下：由（1）知，△

ADE

≌△

FCE

，∴

AD

＝

FC

.

∵

AD

＝

BD

，∴

FC

＝

BD

.

∵

CF

∥

BD

，∴四边形

BDCF

是平行四边形，∵∠

ACB

＝90°，

AD

＝

BD

，∴

CD

＝

BD

.

∴▱

BDCF

是菱形.（3）解：四边形

BDCF

是正方形.由（2）知，

CD

＝

BD

，且∠

ABC

＝45°，∴∠

DCB

＝∠

DBC

＝45°.∴∠

BDC

＝90°.又∵四边形

BDCF

是菱形，∴菱形

BDCF

是正方形.【点拨】正方形的判定思路通常有三个途径：（1）从定义去判

定，先证明平行四边形，再证明一组邻边相等和一个角是直

角；（2）先证明矩形，再证明一组邻边相等或对角线互相垂

直；（3）先证明菱形，再证明一个角是直角或对角线相等.另

外还要灵活运用全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质

和等腰三角形的性质等.

如图，在△

ABC

中，已知

BD

是△

ABC

的角平分线，过点

D

作

DE

∥

BC

交

AB

于点

E

，

DF

∥

AB

交

BC

于点

F

.

（1）求证：四边形

BEDF

是菱形；（1）证明：∵

DE

∥

BC

，

DF

∥

AB

，∴四边形

BEDF

是平行四边形，∠

EDB

＝∠

DBF

.

∵

BD

平分∠

ABC

，∴∠

EBD

＝∠

DBF

.

∴∠

EBD

＝∠

EDB

.

∴

EB

＝

ED

.

∴▱

BEDF

是菱形.（2）若

AB

＝

BC

且

AC

＝2

BD

，试判断四边形

BEDF

的形状并

说明理由.

∵∠

BAC

＋∠

ABD

＋∠

BCA

＋∠

CBD

＝180°，即2∠

ABD

＋2∠

CBD

＝180°.∴∠

ABD

＋∠

CBD

＝90°，即∠

ABC

＝90°.∴菱形

BEDF

是正方形.

如图，在△

ABC

中，已知

AB

＝

BC

，∠

ABC

＝90°，点

D

为边

BC

的中点，在

AC

上取一点

E

，使得∠

EDC

＝∠

ADB

，连接

BE

交

AD

于点

O

.

求证：

BE

⊥

AD

.

【思路导航】根据点

D

为边

BC

的中点及∠

EDC

＝∠

ADB

可作

FC

⊥

BC

，构建△

ABD

≌△

FCD

，从而得到四边形

ABCF

为正

方形.再根据△

ABD

≌△

FCD

得到∠

CBE

＋∠

ADB

＝90°，从而

证得结论.证明：如图，过点

C

作

BC

的垂线交

DE

的延长线于点

F

，连接

AF

.

∵点

D

为边

BC

的中点，∴

BD

＝

CD

.

又∵∠

EDC

＝∠

ADB

，∠

ABD

＝∠

FCD

＝90°，∴△

ABD

≌△

FCD

（ASA）.∴

AB

＝

FC

.

∵∠

ABD

＝∠

FCD

＝90°，∴∠

ABC

＋∠

FCD

＝180°.∴

AB

∥

CF

.

∴四边形

ABCF

是平行四边形.又∵∠

FCB

＝90°，∴▱

ABCF

是矩形.又∵

AB

＝

BC

，∴矩形

ABCF

是正方形.∴

BC

＝

CF

，∠

ACB

＝∠

ACF

＝45°.又∵

EC

＝

EC

，∴△

BCE

≌△

FCE

（SAS）.∴∠

CFE

＝∠

CBE

.

又∵△

ABD

≌△

FCD

，∴∠

BAD

＝∠

CFD

.

∴∠

BAD

＝∠

CBE

.

∵∠

BAD

＋∠

ADB

＝90°，∴∠

CBE

＋∠

ADB

＝90°.∴∠

BOD

＝90°.∴

BE

⊥

AD

.

【点拨】解决本题的关键是构建正方形

ABCF

.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，点

D

是

BC

的中点，点

E

是

AD

的中点.过点

A

作

AF

∥

BC

交

BE

的延长线于点

F

，连接

CF

.

（1）求证：△

AEF

≌△

DEB

；

（2）当△

ABC

满足什么条件时，四边形

ADCF

是正方形？请说

明理由.（2