高中数学 1-1-2第2课时充要条件规范训练 苏教版选修2-1

第2课时充要条件双基达标限时15分钟1．若命题“若p，则q”为真，则下列说法正确的有______(填序号)．①p是q的充分条件②p是q的必要条件③q是p的充分条件④q是p的必要条件解析由充分条件的定义可知①、④正确．答案①④2．“x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的____________条件．解析由x＝2kπ＋eq\f(π,4)可得tanx＝1，反之tanx＝1还可得x＝2kπ＋eq\f(5,4)π，所以“x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的充分不必要条件．答案充分不必要3．“m<eq\f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．解析一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解⇔Δ＝1－4m≥0⇔m≤eq\f(1,4).当m<eq\f(1,4)时，m≤eq\f(1,4)成立；但当m≤eq\f(1,4)时，m<eq\f(1,4)不一定成立，故为充分不必要条件．答案充分不必要4．若向量a＝(x，3)，(x∈R)，则“x＝4”是|a解析当x＝4时，a＝(4，3)，则|a|＝5；若|a|＝5，则x＝±4.故“x＝4”是“|a|＝5”立的充分而不必要条件．答案充分不必要5．“a>0”是“|a|>0”解析因为|a|>0⇔a>0或a<0，所以a>0⇒|a|>0，但|a|>0a>0，所以“a>0”是“|a|>分非必要条件．答案充分不必要6．已知命题p：(4x－3)2≤1，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的充分条件，求实数a解p：由(4x－3)2≤1，得－1≤4x－3≤1，即eq\f(1,2)≤x≤1.q：由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤(x－a)(x－a－1)≤0，即a≤x≤a＋1.因为p是q的充分条件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1≥1，))解得0≤a≤eq\f(1,2).综合提高限时30分钟7．已知A、B是两个集合；给出下列三个命题：①AB是A∩B≠A的充分条件；②AB是A⊇B的必要条件；③AB是“存在x∈A，使x∉B”的充要条件．其中真命题的序号是________．解析①A∩B＝A是A⊆B的充分条件．②取A＝B，则B⊆A⇒A⊆B，②不正确．③中原命题与逆否命题都是真命题．答案①③8．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的________________条件．解析充分性易证：∵h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)对x∈R恒成立，∴h(x)是偶函数．但h(x)为偶函数，推不出f(x)，g(x)均为偶函数，反例如f(x)＝x，g(x)＝－x，h(x)＝0.虽然h(x)＝0为偶函数，但f(x)、g(x)却都不是偶函数．答案充分不必要9．方程ax2＋2x－1＝0至少有一个正实根的充要条件是__________．解析当a＝0时，2x－1＝0，即x＝eq\f(1,2)，即方程有一个正根；当a≠0时，要使方程至少有一个正根，须满足Δ＝4＋4a≥即a≥－1，且当a>0时，令f(x)＝ax2＋2x－1，∵f(0)＝－1，∴方程一定有正根，当a<0时，－eq\f(2,2a)>0，即a<0.综上，所求a的取值范围是a≥－1.答案a≥－110．若a，b∈R，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)成立的一个充分不必要条件是________．解析由eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，得eq\f(b－a,ab)>0，从而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b－a>0,ab>0))⇒b>a>0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b－a<0,ab<0))⇒b<0<a.所以可填b>a>0或b<0<a.答案b>a>0(答案不唯一，还可以是b<0<a等)11．求证：函数f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数的充要条件是a＝0.证明充分性：若a＝0，则函数f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数．因为a＝0，所以f(x)＝x2＋|x|＋1(x∈R)，又因为f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1，所以f(x)是偶函数．必要性：若f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数，则a＝0.因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)2＋|－x＋a|＋1＝x2＋|x＋a|＋1，所以x2＋|x－a|＋1＝x2＋|x＋a|＋1，从而|x－a|＝|x＋a|，因此(x－a)2＝(x＋a)2，展开整理，得ax＝0.因为x∈R，所以a＝0.12．已知函数f(x)＝4sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))－2eq\r(3)cos2x－1且给定条件p：“eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,2)”．(1)在条件p下求f(x)的最大值及最小值；(2)若又给条件q：“|f(x)－m|＜2”且p是q的充分条件，求实数m解(1)∵f(x)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))))－2eq\r(3)cos2x－1＝2sin2x－2eq\r(3)cos2x＋1＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋1.又∵eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，即3≤4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋1≤5，∴ymax＝5，ymin＝3.(2)∵|f(x)－m|＜2，∴m－2＜f(x)＜m＋2.又∵p为q的充分条件，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2＜3，,m＋2＞5，))解得3＜m＜5.13．(创新拓展)在下列电路图中，分别指出开关A闭合是灯泡B亮的什么条件：①中，开关A闭合是灯泡B亮的____________条件；②中，开关A闭合是灯泡B亮的____________条件；③中，开关A闭合是灯泡B亮的____________条件；④中，开关A闭合是灯泡B亮的____________条件．解析①开关A闭合，灯泡B灯；反之，灯泡B亮，开关A闭合，故开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；②仅当开关A、C都闭合时，灯泡B才