高中数学 1-9三角函数的简单应用活页训练 北师大版必修4

【创新设计】-学年高中数学1-9三角函数的简单应用活页训练北师大版必修4双基达标限时20分钟1．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,2)))，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是()．A.eq\f(1,2)，eq\f(1,π) B．2，eq\f(1,π)C.eq\f(1,2)，π D．2，π解析t＝0时，θ＝eq\f(1,2)sineq\f(π,2)＝eq\f(1,2)，由函数解析式易知单摆周期为eq\f(2π,2)＝π，故频率为eq\f(1,π).答案A2．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y与时间x(秒)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋7，则()．A．ω＝eq\f(2π,15)，A＝10 B．ω＝eq\f(15,2π)，A＝10C．ω＝eq\f(2π,15)，A＝17 D．ω＝eq\f(15,2π)，A＝17解析T＝eq\f(60,4)＝15，ω＝eq\f(2π,15)，A＝10.答案A3．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是()．解析d＝f(l)＝2sineq\f(l,2).答案C4．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．解析T＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)(分)，f＝eq\f(1,T)＝80(次/分)．答案805．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l等于________．解析T＝eq\f(2π,\r(\f(g,l)))＝1.∴eq\r(\f(g,l))＝2π.∴l＝eq\f(g,4π2).答案eq\f(g,4π2)6．交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．解(1)t＝0时，E＝220eq\r(3)sineq\f(π,6)＝110eq\r(3)(伏)；(2)T＝eq\f(2π,100π)＝0.02(秒)；(3)电压的最大值为220eq\r(3)伏；当100πt＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，t＝eq\f(1,300)秒时，第一次取得最大值．综合提高限时25分钟7．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，在下列哪个时间段内人流量是增加的？()．A．[0,5] B．[5,10]C．[10,15] D．[15,20]解析函数F(t)的增区间为2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(t,2)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即t∈[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.答案C8．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(eq\r(2)，－eq\r(2))，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为()．解析常规解法由题意知Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(π,4)))，2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(π,4)))))，∴设P点到x轴的距离为d，则d＝|y0|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(π,4)))))，当t＝0时，d＝eq\r(2)，当t＝eq\f(π,4)时，d＝0，故选C.排除法当t＝0时，d＝eq\r(2)，排除A、D，当t＝eq\f(π,4)时，d＝0，排除B，故选C.答案C9．某正弦函数的图象如图，则它对应的解析式是________．解析设y＝Acos(ωx＋φ)，∵eq\f(T,2)＝eq\f(5π,6)，∴T＝eq\f(5π,3).∴ω＝eq\f(\f(2π,5π),3)＝eq\f(6,5).当x＝－eq\f(π,3)时，eq\f(6,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋φ＝0，∴φ＝eq\f(2π,5).又A＝eq\f(3,2)，∴y＝eq\f(3,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x＋\f(2π,5))).答案y＝eq\f(3,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x＋\f(2π,5)))10．直径为10cm的轮子上有一长为6cm的弦，P是该弦的中点，轮子以5弧度/秒的角速度旋转，则经过5秒钟后点P经过的弧长是________．解析P点到圆心的距离为4cm，角速度为5rad/s，则5s所经过的弧长为5×5×4＝100cm.答案100cm11．以一年为一个周期调查某商品的出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元；而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元．请分别建立出厂价、销售价随时间变化的函数关系式．解设出厂价波动函数为y1＝6＋Asin(ω1x＋φ1)．由题意，知A＝2，T1＝8，ω1＝eq\f(π,4).当x＝3时，eq\f(3π,4)＋φ1＝eq\f(π,2)，∴φ1＝－eq\f(π,4)，∴出厂价的函数关系为y1＝6＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4))).设销售价波动函数为y2＝8＋Bsin(ω2x＋φ2)．由题意，知B＝2，T2＝8，ω2＝eq\f(π,4).当x＝5时，有eq\f(5π,4)＋φ2＝eq\f(π,2)，∴φ2＝－eq\f(3π,4)，∴销售价的函数关系为y2＝8＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(3π,4).))12．(创新拓展)如图，有一条河MN，河岸的一侧有一很高的建筑物AB，一人位于河岸另一侧P处，手中有一个测角器(可以测仰角)和一个可以测量长度的皮尺(测量长度不超过5m)，请你设计一种测量方案(不允许过河)，并给出计算建筑物的高度AB及PA的距离公式，希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少．解设计三种常见的测量方案．方案一P位于开阔地域，则测量方案如图1所示，在PA的水平直线上选取另一测量点Q，被测量的数据为PC(测角器的高)、PQ的长度、P点和Q点的仰角α和β.图1设AB＝x，PA＝y，则计算公式为：eq\f(x－PC,y)＝tanα.eq\f(x－PC,y＋PQ)＝tanβ，解得x＝PC＋eq\f(PQtanαtanβ,tanα－tanβ)，y＝eq\f(PQtanβ,tanα－tanβ).方案二P位于开阔地域，则测量方案如图2所示，在过点P与PA垂直的直线上选取另一测量点D，被测量的数据为PC(测角器的高)、PD的长度，P点和D点的仰角α和β.图2设AB＝x，AP＝y，AD＝z，则计算公式为eq\f(x－PC,y)＝tanα，eq\f(x－PC,z)＝tanβ.y2＋PD2＝z2，解得x＝PC＋eq\f(PDtanαtanβ,\r(tan2α－tan2β))，y＝eq\f(PDtanβ,\r(tan2α－tan2β)).方案三若P处也是一可攀登建