高中数学 2.1.1椭圆的定义与标准方程(二)活页训练 湘教版选修1-1

【创新设计】-学年高中数学2.1.1椭圆的定义与标准方程(二)活页训练湘教版选修1-1eq\a\vs4\al\co1(基础达标（限时20分钟）)1．已知定点F1、F2，且|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是 A．椭圆 B．圆C．直线 D．线段答案D2．如果方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 ()．A．a>3 B．a<－2C．a>3或a<－2 D．a>3或－6<a<－2解析由题意知a2>a＋6解得a>3或a<－2，且x2，y2项的分母应分别大于0，综上a>3或－6<a<－2.答案D3．已知△ABC的顶点是B、C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边BC上，则△ABC的周长是 ()．A．2eq\r(3) B．6C．4eq\r(3) D．12解析设椭圆的另一焦点为F，则△ABC的周长为(|AB|＋|BF|)＋(|CA|＋|CF|)＝2a＋2a＝4a，而a2＝3，a＝eq\r(3)，∴4a＝4eq\r(3)，即△ABC的周长为4eq\r(3).答案C4．过(－3，2)点且与eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆方程为________．解析与eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆可设为eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,4－k)＝1且k＜4，将(－3，2)代入得：k＝－6.答案eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝15．已知椭圆的两个焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是__________．解析如图所示，因为P是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知：|PF1|＋|PF2|＝2a又因为|PQ|＝|PF2|，所以|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a为常数．即动点Q到定点F1的距离为定值，所以动点Q的轨迹是以F1为圆心，以2a答案圆6．已知点A(0，eq\r(3))和圆O1：x2＋(y＋eq\r(3))2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．解∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，∴|PO1|＋|PA|＝4，又∵|O1A|＝2eq\r(3)＜4，∴点P的轨迹是以A、O1为焦点的椭圆，∴c＝eq\r(3)，a＝2，b＝1，∴动点P的轨迹方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.eq\a\vs4\al\co1(综合提高（限时25分钟）)7．椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为 ()．A．20 B．22C．28 D．24解析由|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，得2|PF1|·|PF2|＝142又因PF1⊥PF2，所以S＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24.答案D8．曲线eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0＜k＜9)的关系是 ()．A．有相等的焦距，相同的焦点B．有相等的焦距，不同的焦点C．有不等的焦距，不同的焦点D．以上都不对解析曲线eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦点在x轴，且c2＝16，而eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1中显然25－k＞9－k，即焦点在y轴，且c2＝16.答案B9．椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．解析如图，∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(16＋4－28,2×4×2)＝－eq\f(1,2)，∴∠F1PF2＝120°.答案2120°10．椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1的焦距是________，焦点坐标是______；若AB为过椭圆的一个焦点F1的一条弦，F2为另一个焦点，则△ABF2的周长是________．解析由椭圆方程eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1，可知a2＝100，b2＝36，c2＝a2－b2＝64，∴c＝8，焦距2c＝16.两焦点为F1(－8，0)，F2(8，0)．由椭圆的定义可知，△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝答案16(－8，0)，(8，0)4011．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(3，4)，若PF1⊥PF2，求椭圆的方程．解椭圆经过点P(3，4)，则eq\f(9,a2)＋eq\f(16,b2)＝1(a>b>0)．①又a2＝b2＋c2.②设F1(－c，0)，F2(c，0)，则eq\o(PF,\s\up6(→))1＝(－c－3，－4)，eq\o(PF,\s\up6(→))2＝(c－3，－4)．由eq\o(PF,\s\up6(→))1⊥eq\o(PF,\s\up6(→))2，则eq\o(PF,\s\up6(→))1·eq\o(PF,\s\up6(→))2＝0，可得c2＝25③由①②③可得a2＝45，b2＝20，故所求椭圆方程为eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1.12．(创新拓展)已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．(1)若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，求△PF1F2的面积；(2)求|PF1|·|PF2|的最大值．解(1)由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝20，①在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2，即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2①2－②，并整理，得|PF1||PF2|＝eq\f(256,3).∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sineq\f(π,3)＝eq\f(64,3)eq\r(3).(2)由eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1