高中数学 2-3-1数乘向量活页训练 北师大版必修4

【创新设计】-学年高中数学2-3-1数乘向量活页训练北师大版必修4双基达标限时20分钟1．已知实数m，n和向量a，b，给出下列命题()．①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na(a≠0)，则m＝n.其中正确的命题是()．A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解析若m＝0，则ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确．答案B2．已知向量a、b且eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()．A．B、C、D B．A、B、CC．A、B、D D．A、C、D解析∵eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝2a＋4b＝2eq\o(AB,\s\up12(→))，∴A、B、D三点共线．答案C3．已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c则向量eq\o(OD,\s\up12(→))等于()．A．a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b－cD．a－b－c解析如右图，点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c.结合图形有eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝a＋c－b.答案B4．点C在线段AB上，且eq\f(AC,CB)＝eq\f(3,2)，则eq\o(AC,\s\up12(→))＝________eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))＝________eq\o(AB,\s\up12(→)).解析∵eq\f(AC,CB)＝eq\f(3,2)，∴点C为线段AB的5等分点，∴eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))＝－eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up12(→)).答案eq\f(3,5)－eq\f(2,5)5．已知点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，eq\o(AB,\s\up12(→))＝2e1，eq\o(BC,\s\up12(→))＝3e2，则eq\o(BO,\s\up12(→))＝________.解析eq\o(BO,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(3e2－2e1)＝eq\f(3,2)e2－e1.答案eq\f(3,2)e2－e16．已知点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设eq\o(BC,\s\up12(→))＝a，eq\o(DA,\s\up12(→))＝b，试用a，b表示eq\o(EF,\s\up12(→)).解如图，取AB中点P，连接EP，FP.在△ABC中，∵EP是△ABC的中位线，∴eq\o(PE,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)a.在△ABD中，∵FP是△ABD的中位线，∴eq\o(PF,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)Aeq\o(D,\s\up12(→))＝－eq\f(1,2)b.在△EFP中，eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\o(PF,\s\up12(→))－eq\o(PE,\s\up12(→))＝－eq\f(1,2)(a＋b)．综合提高限时25分钟7．已知λ、μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有()．①λ<0，a≠0，λa与a的方向一定相反；②λ>0，a≠0，λa与a的方向一定相同；③λ≠0，a≠0，λa与a是共线向量；④λμ>0，a≠0，λa与μa的方向一定相同；⑤λμ<0，a≠0，λa与μa的方向一定相反．A．2个B．3个C．4个D．5个解析由λa方向的规定，易知命题①、②、③正确．对于命题④与⑤，当λμ>0时，λ与μ同为正或同为负，所以λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，因而λa与μa同向，故命题④正确，当λμ<0时，λ与μ异号，则λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，因而λa与μa反向．故命题⑤正确．故选D.答案D8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(AD,\s\up12(→))＝2eq\o(DB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up12(→))＋λeq\o(CB,\s\up12(→))，则λ等于()．A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)解析法一由eq\o(AD,\s\up12(→))＝2eq\o(DB,\s\up12(→))，可得eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(CA,\s\up12(→))＝2(eq\o(CB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))⇒eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up12(→))，所以λ＝eq\f(2,3).法二eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up12(→))－eq\o(CA,\s\up12(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up12(→))，所以λ＝eq\f(2,3).答案A9．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且eq\o(OC,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))＋yeq\o(OB,\s\up12(→))，则x＋y＝________.解析∵A，B，C三点共线，∴存在λ∈R使eq\o(AC,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→)).∴eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→)))．∴eq\o(OC,\s\up12(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up12(→))＋λeq\o(OB,\s\up12(→)).∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.答案110．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(2,3)b))＋(2b－a)＝________.解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(2,3)b))＋(2b－a)＝eq\f(1,3)a－b－3a－2b＋2b－a＝－eq\f(11,3)a－b＝－eq\f(11,3)(3i－4j)－(5i＋4j)＝－11i＋eq\f(44,3)j－5i－4j＝－16i＋eq\f(32,3)j.答案－16i＋eq\f(32,3)j11．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝eq\f(1,3)BD.求证：M、N、C三点共线．证明设eq\o(BA,\s\up12(→))＝a，eq\o(BC,\s\up12(→))＝b，则由向量加法的三角形法则可知：eq\o(CM,\s\up12(→))＝eq\o(BM,\s\up12(→))－eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up12(→))－eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)a－b.又∵N在BD上且BD＝3BN，∴eq\o(BN,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(CN,\s\up12(→))＝eq\o(BN,\s\up12(→))－eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－b＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－b))，∴eq\o(CN,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CM,\s\up12(→))，又∵eq\o(CN,\s\up12(→))与eq\o(CM,\s\up12(→))共点C，∴C、M、N三点共线．12．(创新拓展)(1)设a、b是两不共线的非零向量，已知eq\o(AB,\s\up12(→))＝3a－2b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝－2a＋4b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝－2a－4b，试判断A、C、D三点是否共线；(1)在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝－5a－3b，证明这个四边形为梯形．(1)解∵eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝(3a－2b)＋(－2a＋4b)＝a＋2b.又eq\o(CD,\s\up12(→))＝－2a－4b＝－2(a＋2b)．∴eq\o(CD,\s\up12(→))＝－2eq\o(AC,\s\up12(→))，从而向量eq\o(CD,\s\up12(→))与eq\o(AC,\s\up12(→))共线，故A、C、D三点共线．(2)证明∵eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋e