高中数学 2-3-2事件的独立性规范训练 苏教版选修2-3

2.3.2事件的独立性eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1．已知A、B是相互独立事件，且P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，则P(Aeq\x\to(B))＝________；P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝________.解析P(A)＝eq\f(1,2)，∴P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝eq\f(1,3).∵A、B相互独立，∴A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也相互独立，∴P(Aeq\x\to(B))＝P(A)·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,6)，∴P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)eq\f(1,6)2．下列事件A、B是相互独立事件的是________．①一枚硬币掷两次，事件A表示“第一次为正面”，事件B表示“第二次为反面”②袋中有2白，2黑的小球，不放回的摸两球，事件A表示“第一次摸到白球”，事件B表示“第二次摸到白球”③掷一枚骰子，事件A表示“出现的点数为奇数”，事件B表示“出现的点数为偶数”④事件A表示“人能活到20岁”，事件B表示“人能活到50岁”答案①3．将一枚硬币连续抛掷5次，5次都出现正面朝上的概率是________．解析每一次出现正面朝上的概率为eq\f(1,2)，且它们相互独立，所以P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝eq\f(1,32).答案eq\f(1,32)4．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为eq\f(16,25)，则该队员每次罚球的命中率为________．解析设该队员每次罚球的命中率为p(其中0＜p＜1)，则依题意有1－p2＝eq\f(16,25)，p2＝eq\f(9,25).又0＜p＜1，因此有p＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)5．有一道数学难题，在半小时内甲能解决的概率是eq\f(1,2)，乙能解决的概率为eq\f(1,3)，两人试图独立地在半小时解决，则两人都未解决的概率为________．解析都未解决的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)6．设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率．解设Ak表示“第k人命中目标”，k＝1,2,3.这里，A1，A2，A3独立，且P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5.从而，至少有一人命中目标的概率为1－P(eq\x\to(A)1·eq\x\to(A)2·eq\x\to(A)3)＝1－P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2)P(eq\x\to(A)3)＝1－0.3×0.4×0.5＝0.94.恰有两人命中目标的概率为P(A1·A2·eq\x\to(A)3＋A1·eq\x\to(A)2·A3＋eq\x\to(A)1·A2·A3)＝P(A1·A2·eq\x\to(A)3)＋P(A1·eq\x\to(A)2·A3)＋P(eq\x\to(A)1·A2·A3)＝P(A1)P(A2)P(eq\x\to(A)3)＋P(A1)P(eq\x\to(A)2)P(A3)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(A3)＝0.7×0.6×0.5＋0.7×0.4×0.5＋0.3×0.6×0.5＝0.44.∴至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为eq\f(1,2).则其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率为________．解析设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB＋eq\x\to(A)eq\x\to(B)”，且事件A、B相互独立∴P(AB＋eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(A)P(B)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,2).∴甲、乙两名学生选做同一道题的概率为eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)8．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率为________，三人中至少有一人达标的概率为________．解析每个人是否达标是相互独立的，“三人中至少有一人达标”的对立事件为“三人均未达标”，设三人都达标为事件A，三人中至少有一人达标为事件B，则P(A)＝0.8×0.6×0.5＝0.24，P(B)＝1－0.2×0.4×0.5＝0.96.答案0.240.969．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.答案0.12810．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为eq\f(1,5)，身体关节构造合格的概率为eq\f(1,4)，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是________(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)．解析两项都不合格的概率为P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(3,5)，∴至少有一项合格的概率是1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5).答案eq\f(2,5)11．某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7，在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；(2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)．解记“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3，记事件eq\x\to(A)i为Ai的对立事件，i＝1,2,3.记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记eq\x\to(C)为事件C的对立事件，P(C)＝P(A1A2A3＋A1A2eq\x\to(A3)＋A1eq\x\to(A2)A3＋eq\x\to(A1)A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2eq\x\to(A3))＋P(A1eq\x\to(A2)A3)＋P(eq\x\to(A1)＝0.9×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＝0.902.所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902.(2)记“三个人该课程考核都合格”为事件D.P(D)＝P[(A1·B1)·(A2·B2)·(A3·B3)]＝P(A1·B1)·P(A2·B2)·P(A3·B3)＝P(A1)·P(B1)·P(A2)·P(B2)·P(A3)·P(B3)＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9≈0.254.所以，这三个人该课程考核都合格的概率为0.254.12．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p；(2)求电流能在M与N之间通过的概率．解记Ai表示事件：电流能通过Ti，i＝1,2,3,4.A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流．B表示事件：电流能在M与N之间通过．(1)eq\x\to(A)＝eq\x\to(A)1·eq\x\to(A)2·eq\x\to(A)3，A1，A2，A3相互独立，P(eq\x\to(A))＝P(eq\x\to(A)1·eq\x\to(A)2·eq\x\to(A)3)＝P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2)P(eq\x\to(A)3)＝(1－p)3，又P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.(2)B＝A4＋(eq\x\to(A)4·A1·A3)∪(eq\x\to(A)4·eq\x\to(A)1·A2·A3)P(B)＝P(A4)＋P(eq\x\to(A)4·A1·A3＋eq\x\to(A)4·eq\x\to(A)1·A2·A3)，＝P(A4)＋P(eq\x\to(A)4)P(A1)P(A3)＋P(eq\x\to(A)4)P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891.13．(创新拓展)甲、乙两人破译一密码，它们能破译的概率分别为eq\f(1,3)和eq\f(1,4)，试求：(1)两人都能破译的概率；(2)两人都不能破译的概率；(3)恰有一人能破译的概率；(4)至多有一人能破译的概率；(5)若要使破译的概率为99%，至少需要多少乙这样的人？解设事件A为“甲能译出”，事件B为“乙能译出”，则A、B相互独立，从而A与eq\x\to(B)、eq\x\to(A)与B、eq\x\to(A)与eq\x\to(B)均相互独立．(1)“两人都能译出”为事件AB，则P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12).(2)“两人都不能译出”为事件eq\x\to(A)eq\x\to(B)，则P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,2).(3)“恰有一人能译出”为事件Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B，又Aeq\x\to(B)与eq\x\to(A)B互斥，则P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).(4)“至多一人能译出”为事件Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B＋eq\x\to(A)eq\x\to(B)，且Aeq\x\to(B)、eq\x\to(A)B、eq\x\to(A)eq\x\to(B)互斥，故P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B＋eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(