沪教版九年级上册数学专题训练专题06同角三角函数关系重难点专练(原卷版+解析)

专题06同角三角函数关系重难点专练（原卷版）第I卷（选择题）一、单选题1．(2023·上海九年级专题练习）对于锐角，下列等式中成立的是（）A． B．C． D．2．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如果是锐角，则下列成立的是（）A． B． C．D．3．(2023·上海市静安区实验中学）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（）A． B． C． D．4．(2023·上海普陀区·九年级期末）已知在中，，，那么下列说法中正确的是（）A． B． C． D．5．(2023·上海普陀区·九年级一模）在中，，，下列结论中，正确的是（）A． B．C． D．6．(2023·上海九年级期中）在中，，下列等式中正确的是()A． B． C． D．7．(2023·上海九年级课时练习）如图，直径为10的⊙A山经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为()A． B． C． D．8．(2023·上海九年级专题练习）已知在RtABC中，C90°，AC8,BC15，那么下列等式正确的是（）A． B．cosA= C．tanA= D．cotA=第II卷（非选择题）二、解答题9．(2023·上海浦东新区·九年级其他模拟）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，顶点B在第二象限内，AP⊥AB，交x轴于点P，tan∠APB＝2，点P的横坐标为m．（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m＝2时，求抛物线的表达式；（3）如果抛物线的对称轴与x轴相交于点C，且四边形ACBP是梯形，求m的值．10．(2023·上海青浦区·九年级二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO＋∠PEO）＝时，求OE的长．11．(2023·上海崇明区·九年级二模）如图1，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，点F在边AD上，EF⊥BD，垂足为G．（1）如图2，当矩形ABCD为正方形时，求的值；（2）如果＝，AF＝x，AB＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）如果AB＝4cm，以点A为圆心，3cm长为半径的⊙A与以点B为圆心的⊙B外切．以点F为圆心的⊙F与⊙A、⊙B都内切．求的值．12．(2023·全国九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．（1）求，的值；（2）求直线的函数解析式；（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．13．(2023·全国九年级专题练习）在中，，，点为中点，点为边上不与端点重合的一动点，将沿折叠得，点的对应点为点，若，则的长为__________．14．(2023·全国九年级单元测试）观察发现：如图（1），是的外接圆，点是边上的一点，且是等边三角形．与交于点，以为圆心、为半径的圆交于点，连接．（1）_____；（2）线段、有何大小关系？证明你的猜想．拓展应用：如图（2），是等边三角形，点是延长线上的一点．点是的外接圆圆心，与相交于点．如果等边三角形的边长为2,请直接写出的最小值和此时的度数．15．(2023·全国九年级专题练习）数学活动﹣旋转变换（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）三、填空题16．(2023·上海黄浦区·）已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是，则这个锐角的正切值为________．17．(2023·全国）如图，在矩形中，，，对角线，交于点，点是边上一动点．将沿翻折得到，交于点，且点在下方，连接．当是直角三角形时，的周长为_______________________．18．(2023·全国九年级单元测试）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=6，AF=4，cos∠EAF=，则CF=______．19．(2023·全国九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，，，P为对角线AC上一动点，过线段BP上的点M作，交AB边于点E，交BC边于点F，点N为线段EF的中点，若四边形BEPF的面积为18，则线段BN的最大值为________．20．(2023·全国九年级专题练习）已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是________．专题06同角三角函数关系重难点专练（解析版）第I卷（选择题）一、单选题1．(2023·上海九年级专题练习）对于锐角，下列等式中成立的是（）A． B．C． D．答案:A分析：根据同角的三角函数关系逐一判断即可．【详解】解：A．，故本选项正确；B．，故本选项错误；C．，故本选项错误；D．，故本选项错误．故选A．【点睛】此题考查的是同角的三角函数关系，掌握同角的三角函数关系是解题关键．2．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如果是锐角，则下列成立的是（）A． B． C． D．答案:B分析：根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，三角形的两边之和大于第三边，可得答案.【详解】解：∵a、b是直角边，c是斜边，∴sin+cos=+=，∵a+b>c，∴>1，∴.故选B.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边是解题关键.3．(2023·上海市静安区实验中学）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（）A． B． C． D．答案:D分析：根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论．【详解】解：如下图所示在Rt中，=，故A不符合题意；在Rt中，=，故B不符合题意；∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°∴∠A=∠BCD∴=tan∠BCD=，故C不符合题意；≠，故D符合题意．故选D．【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键．4．(2023·上海普陀区·九年级期末）已知在中，，，那么下列说法中正确的是（）A． B． C． D．答案:A分析：利用同角三角函数的关系解答．【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，，则cosA=

A、cosB=sinA=，故本选项符合题意．

B、cotA=．故本选项不符合题意．

C、tanA=．故本选项不符合题意．

D、cotB=tanA=．故本选项不符合题意．

故选：A．【点睛】此题考查同角三角函数关系，解题关键在于掌握（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比.5．(2023·上海普陀区·九年级一模）在中，，，下列结论中，正确的是（）A． B．C． D．答案:C分析：直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【详解】∵，，∴，∴，故选项A，B错误，∵，∴，故选项C正确；选项D错误．故选C．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键．6．(2023·上海九年级期中）在中，，下列等式中正确的是()A． B． C． D．答案:C分析：根据勾股定理可以将直角三角形的第三边求出来，然后再根据三角函数的求法根据每个选项进行一一验证即可得出答案.【详解】如图，根据中，，，可得：，A.,故A错误；B.，故B错误；C.，故C正确；D.，故D错误.故答案选C.【点睛】本题考查利用勾股定理以及三角函数解直角三角形，熟记各个三角函数的求值方法，并区分是解题关键，在做题时最好画一个直角三角形进行辅助.7．(2023·上海九年级课时练习）如图，直径为10的⊙A山经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为()A． B． C． D．答案:C分析：连接CD，由直径所对的圆周角是直角，可得CD是直径；由同弧所对的圆周角相等可得∠OBC=∠ODC，在Rt△OCD中，由OC和CD的长可求出sin∠ODC.【详解】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，∵∠COD=90°，∴CD为直径，∵直径为10，∴CD=10，∵点C（0，5）和点O（0，0），∴OC=5，∴sin∠ODC==，∴∠ODC=30°，∴∠OBC=∠ODC=30°，∴cos∠OBC=cos30°=．故选C.【点睛】此题考查了圆周角定理、锐角三角函数的知识.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.8．(2023·上海九年级专题练习）已知在RtABC中，C90°，AC8,BC15，那么下列等式正确的是（）A． B．cosA= C．tanA= D．cotA=答案:D分析：根据锐角三角函数的定义进行作答.【详解】由勾股定理知，AB=17；A.,所以A错误；B.，所以，B错误；C.，所以，C错误；D.=，所以选D.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键.第II卷（非选择题）二、解答题9．(2023·上海浦东新区·九年级其他模拟）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，顶点B在第二象限内，AP⊥AB，交x轴于点P，tan∠APB＝2，点P的横坐标为m．（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m＝2时，求抛物线的表达式；（3）如果抛物线的对称轴与x轴相交于点C，且四边形ACBP是梯形，求m的值．答案:（1）点B的坐标为（﹣4，2m﹣2）；（2）y＝﹣x2﹣2x﹣2；（3）m＝．分析：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，可得A（0，-2），过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点P与y轴的平行线于点N，证Rt△BMA∽Rt△ANP，结合tan∠APB＝2，可得BM和AM的长，即可求得B点坐标；（2）当m＝2时，则顶点B的坐标为（﹣4，2），设抛物线的表达式为y＝a（x+4）2+2，将A点代入，即可求得抛物线的表达式；（3）利用待定系数法求直线AC的表达式，利用四边形ACBP是梯形，AC∥BP，求直线BP的表达式，代入B点和P点的坐标求解m．【详解】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，∴A（0，-2）过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点P与y轴的平行线于点N，∵∠BAM+∠PAN＝90°，∠PAN+∠APN＝90°，∴∠BAM＝∠APN，∴Rt△BMA∽Rt△ANP，∵tan∠APB＝2，∴两个三角形相似比为2，则BM＝2AN＝2m，AM＝2PN＝2OA＝4，则点B的坐标为（﹣4，2m﹣2）；（2）当m＝2时，则顶点B的坐标为（﹣4，2）设抛物线的表达式为y＝a（x+4）2+2，将点A的坐标代入上式得：﹣2＝a（0+4）2+2，解得a＝，故抛物线的表达式为y＝（x+4）2+2＝x2﹣2x﹣2；（3）如上图，点C的坐标为（﹣4，0）设直线AC的表达式为y＝sx+t，则，解得故直线AC的表达式为y＝x﹣2，∵四边形ACBP是梯形，故直线AC∥BP，故设直线BP的表达式为y＝x+p，将点P的坐标代入上式得：0＝m+p，将点B的坐标代入上式得：2m﹣2＝，解得m＝．【点睛】本题是二次函数与几何综合．涉及相似三角形的性质和证明、三角函数、梯形的性质以及一次函数等相关知识．是一道综合性较强的大题．10．(2023·上海青浦区·九年级二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO＋∠PEO）＝时，求OE的长．答案:（1）y＝﹣（x﹣1）2＋4，（1，4）；（2）（﹣2，﹣5）；（3）分析：（1）把A（﹣1，0）代入抛物线的解析式，再由对称轴x＝＝1，列方程组求出a、b的值；（2）四边形PBDC为梯形时，则PB∥CD；先求CD所在直线的解析式，再根据两个一次函数一般式中的k值相等求直线PB的解析式且与抛物线的解析式组成方程，解方程组求出点P的坐标；（3）过点P作x轴的垂线，构造以P为顶点且一个锐角的正切值为的直角三角形，再利用相似三角形的性质求OE的长．【详解】解：（1）根据题意，得，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x﹣1）2＋4，∴该抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．（2）如图1，由y＝﹣x2＋2x＋3，得C（0，3），B（3，0）．设直线CD的解析式为y＝kx＋3，则k＋3＝4，解得k＝1，∴y＝x＋3；当四边形PBDC是梯形时，则PB∥CD，设直线PB的解析式为y＝x＋m，则3＋m＝0，解得m＝﹣3，∴y＝x﹣3．由，得，，∴P（﹣2，﹣5）．（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，在x轴正半轴上取一点F，使＝tan∠HPF＝，连接PF．由（2）得，直线PB的解析式为y＝x﹣3，则G（0，﹣3），∴OB＝OG＝3．∵PH∥OG，∴∠BPH＝∠BGO＝∠PBO＝45°，∴∠HPF＝45°＋∠FPB；∵tan（∠PBO＋∠PEO）＝，∴45°＋∠PEO＝45°＋∠FPB，∴∠PEO＝∠FPB，又∵∠PBE＝∠FBP（公共角），∴△PBE∽△FBP，∴，BE•BF＝PB2，∵HF＝PH＝×5＝，∴BF＝﹣2﹣3＝，又∵PH＝BH＝5，∴PB2＝52＋52＝50，∴BE＝50，解得BE＝，∴OE＝3＋＝．【点睛】本题考查二次函数解析式、一次函数、锐角三角函数、相似三角形的判定．利用同角锐角三角函数转换角的关系是解题的关键，11．(2023·上海崇明区·九年级二模）如图1，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，点F在边AD上，EF⊥BD，垂足为G．（1）如图2，当矩形ABCD为正方形时，求的值；（2）如果＝，AF＝x，AB＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）如果AB＝4cm，以点A为圆心，3cm长为半径的⊙A与以点B为圆心的⊙B外切．以点F为圆心的⊙F与⊙A、⊙B都内切．求的值．答案:（1）；（2）y与x的函数关系式为，函数定义域为：x＞0；（3）分析：（1）延长FE交BC的延长线于点M，设正方形ABCD的边长为k，根据即可得到答案；（2）延长FE交BC的延长线于M，根据tan∠ADB＝tan∠DEF即可以得到答案；（3）设⊙F的半径为rcm，根据⊙A与⊙B的位置关系以及⊙F与⊙A、⊙B的位置关系，可以用含r的式子表示出AF和BF的长度，再根据勾股定理可以求得r的值，最后根据tan∠ADB＝tan∠DEF建立方程即可得到答案．【详解】解：（1）如图，延长FE交BC的延长线于点M，设正方形ABCD的边长为k，则AB＝BC＝CD＝AD＝k，∵E为CD中点，∴DE＝CE＝k，∵正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∠BDC＝∠ADC，∴∠BDC＝45°，∵EF⊥BD，∴∠DEF＝45°，∴∠DFE＝45°，∴DF＝DE＝k，∵正方形ABCD中，AD∥BC，∴，∴，∵AD∥BC，∴；（2）如图，延长FE交BC的延长线于M，设DF＝a，则CM＝a，∵，，∴BM＝5a，BC＝4a，∴AF＝x＝3a，∴a＝，∴DF＝，∵AB＝y，∴DE＝，∵∠ADC＝90°，EF⊥BD，∴∠ADB＝∠DEF，∴tan∠ADB＝tan∠DEF，∴∴∴∵x＞0，y＞0，∴y与x的函数关系式为，函数定义域为：x＞0；（3）设⊙F的半径为rcm，则根据题意得：⊙B的半径为1cm，AF＝cm，BF＝cm，∵矩形ABCD中，∠A＝90°，∴AF2+AB2＝BF2，∴（r﹣3）2+42＝（r﹣1）2，∴r＝6，即⊙F的半径为6cm，∴AF＝3cm，∵tan∠ADB＝tan∠DEF，∴∴AD2﹣3AD﹣8＝0，∴或（舍去），∴【点睛】本题考查锐角三角函数、相似三角形、圆与圆的位置关系，利用锐角三角函数找比例线段是常用的方法，发现相等的角证明三角形相似是难点．利用相似模型添加辅助线是关键．12．(2023·全国九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．（1）求，的值；（2）求直线的函数解析式；（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．答案:（1）；（2）（3），，，分析：（1）根据，得出，，将A，B代入得出关于b，c的二元一次方程组求解即可；（2）根据二次函数是，，，得出的横坐标为，代入抛物线解析式求出，设得解析式为：，将B，D代入求解即可；（3）由题意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n<0，Q（x，0）且x<3，分①当△PBQ∽△ABD时，②当△PQB∽△ABD时，③当△PQB∽△DAB时，④当△PQB∽△ABD时四种情况讨论即可．【详解】解：（1）∵，∴，，∴将A，B代入得，解得，∴，；（2）∵二次函数是，，，∴的横坐标为，代入抛物线解析式得∴，设得解析式为：将B，D代入得，解得，∴直线的解析式为；（3）由题意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n<0，Q（x，0）且x<3，①当△PBQ∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，解得n=，tan∠PQB=tan∠ADB即，解得x=1-，此时Q的坐标为（1-，0）；②当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ADB即=1，解得n=-2，tan∠QPB=tan∠ABD即=，解得x=1-，此时Q的坐标为（1-，0）；③当△PQB∽△DAB时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，解得n=，tan∠PQB=tan∠DAB即，解得x=-1，此时Q的坐标为（-1，0）；④当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=1，解得n=-2，tan∠PQB=tan∠DAB即，解得x=5-，Q的坐标为（5-，0）；综上：Q的坐标可能为，，，．【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点灵活运用是解题关键．13．(2023·全国九年级专题练习）在中，，，点为中点，点为边上不与端点重合的一动点，将沿折叠得，点的对应点为点，若，则的长为__________．答案:或．分析：分两种情况讨论，延长交于，由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，，由锐角三角函数可求，可求的长，可得的长，再由锐角三角函数可求解．【详解】解：如图，延长交于，，，，，点为中点，，将沿折叠得，，，，，，，；如图，设与交于，将沿折叠得，，，，，，，，，，，，，故答案为：或．【点睛】本题考查了翻折变换，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．14．(2023·全国九年级单元测试）观察发现：如图（1），是的外接圆，点是边上的一点，且是等边三角形．与交于点，以为圆心、为半径的圆交于点，连接．（1）_____；（2）线段、有何大小关系？证明你的猜想．拓展应用：如图（2），是等边三角形，点是延长线上的一点．点是的外接圆圆心，与相交于点．如果等边三角形的边长为2,请直接写出的最小值和此时的度数．答案:（1）120°;（2）见解析；（3）拓展应用：的最小值为，此时.解析：分析：（1）根据△ABC是等边三角形，可得∠ACB=60°，根据圆周角定理可得∠AOD的度数.（2）根据内角和定理和等边三角形的性质可得，进而得到，根据边角边对应相等可得，则.拓展应用：以为圆心，以长为半径作圆，交于，连结，则．当时最小，时，.【详解】解：观察发现：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠AOD=2∠ACB=120°故答案为120°．（2）结论：AE=CF．理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．拓展应用：以为圆心，以长为半径作圆，交于，连结，则由以上结论可得：．当时最小，，∵，，∴∴，∴，∴的最小值为，此时．【点睛】本题综合考查了等边三角形的性质，圆周角定理，内角和定理，全等三角形的判定.（1）解题的关键是在复杂的图形中根据圆周角定理找到等量关系；（2）关键是利用各组角的等量关系，证明所求边所在的一组三角形全等.15．(2023·全国九年级专题练习）数学活动﹣旋转变换（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）答案:（1）65°；（2）切线；证明过程见解析；；（3）当α+β=180°时，直线BB′、是⊙A′的切线；解析：试题分析：（1）根据∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C，只要求出∠A′B′B即可；（2）（Ⅰ）结论：直线BB′、是⊙A′的切线．只要证明∠A′B′B=90°即可．（Ⅱ）在RT△ABB′中，利用勾股定理计算即可；（3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′、是⊙A′的切线．只要证明∠A′B′B=90°即可解决问题．在△CBB′中求出BB′，再在RT△A′B′B中利用勾股定理即可．试题解析：（1）如图①中，∵△A′B′C是由△ABC旋转得到，∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′，∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°，∴∠CBB′=∠CB′B=65°，∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°．（2）（Ⅰ）结论：直线BB′、是⊙A′的切线．理由：如图②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′，∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=60°，∴∠CBB′=∠CB′B=60°，∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°．∴AB′⊥BB′，∴直线BB′、是⊙A′的切线．（Ⅱ）∵在RT△ABB′中，∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，∴A′B==．（3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′、是⊙A′的切线．理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′，∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=2β，∴∠CBB′=∠CB′B=，∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°．∴AB′⊥BB′，∴直线BB′、是⊙A′的切线．在△CBB′中∵CB=CB′=n，∠BCB′=2β，∴BB′=2•nsinβ，在RT△A′BB′中，A′B==．考点：圆的综合题三、填空题16．(2023·上海黄浦区·）已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是，则这个锐角的正切值为________．答案:3分析：设这个锐角为α，根据题意和三角函数的性质可知：，解方程即可．【详解】解：设这个锐角为α，∴由①，得③将③代入②，得解得：或当时，∴=3＞∵α的正切值比余切值大∴此时不符合题意，舍去；当时，=＜∴此时符合题意．故答案为：．【点睛】此题考查的是锐角三角函数值的运算，掌握三角函数的性质是解题关键．17．(2023·全国）如图，在矩形中，，，对角线，交于点，点是边上一动点．将沿翻折得到，交于点，且点在下方，连接．当是直角三角形时，的周长为_______________________．答案:或分析：根据矩形和勾股定理的性质，计算得，结合等腰三角形性质，得；结合题意，根据轴对称的性质，得，，，；根据三角形内角和，推导得，结合三角形外