高中数学北师大版（2019）必修第二册立体几何初步

立体几何初步

一、单选题

1.如图，己知半径为应的球0的直径AB垂直于平面a,垂足为B,△38是平面

a内的等腰直角三角形，其中8C=B/）=&,线段AC、A。分别与球面交于点M、

N,则三棱锥A-8MV的体积为（)

「2a16&

.■,11n

2525

2.在四棱锥尸-ABC。中，底面ABC£＞为等腰梯形，底面ABCD.若

PB=AB=CD=AD=1,8。=2,则这个四棱锥的外接球表面积为（）

A.3兀B.4兀C.5兀D.6n

3.如图，已知正方体A8CO-A4GA,依次连接正方体相邻面的中心，组成一个正

八面体，则该正八面体的体积与正方体的体积之比为（）

4.南北朝时期数学家，天文学家祖曜提出了著名的祖瞄原理：幕势既同，则积不容

异，其中“嘉''指截面积，“势”指几何体的高•意思是说：两个等高几何体，若在每一等

高处截面积都相等，则两个几何体体积相等，已知某不规则几何体与一个由正方体和

三棱锥组成的几何体满足“基势同”，组合体的三视图如图所示，则该不规则几何体的

体积为（)

22

正视图侧视图

N

俯视图

32

A.—B.10C.12D.—

33

5.已知加，〃是两条不重合的直线，。J夕是两个不重合的平面，下列说法正确的是

（）

A.若mlla，nJla,则mllnB.若a/甲，mLa,〃则加//〃

C.若mlla,,则D.若aJ■万，mlla,〃〃£,则团

6.如图，在棱长为1的正方体ABCO-A8CR中,M是4A的中点，则点A到平面

MB。的距离是（）

D,3

A-TB.恪c-2万76

—LnJ.

43

7.如图，四棱锥P-ABC。的外接球的球心为。，其中底面AB8为正方形，若平面

ABC。过球心0,且NPBD=45。，tanNPAC=；,

则异面直线E4,8所成角的余

弦值为（)

3710

1010

8.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的外接球的表面积（单

位：cm2）为（）

A.18%B.207rC.224D.244

二、多选题

9.正方体的任意两条不共面的面对角线所成角为（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

10.半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多

边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正

方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长

A.3尸_1_平面

B.AB与P尸所成角为45。

C.该二十四等边体的体积为2三0

D.该二十四等边体外接球的表面积为8兀

11.对于不同直线加，〃和不同平面。，夕，有如下四个命题，其中正确的是（）

A.若〃2_La,n!Ip,ml.n,则a//〃

B.若mHn,nu。，则

C.若〃J_a,nl./3,mVa,则〃z_L〃

D.若〃z_La,tn±n,则〃//a

12.（多选）已知A,B,C表示不同的点，/表示直线，。，夕表示不同的平面，则下

列推理正确的是（）

A.AG/,Awa,Bsi,BeanluaB.Awa,Aw。，Bwa,

C.Iga,AGI=>A^aD.Aea,Ael,/Can/ca=A

第n卷（非选择题）

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三、填空题

13.如图，在四棱锥P-ABC。中，△皿）是边长为4的等边三角形，四边形ABC。

是等腰梯形，AD//BC,NABC=60。，AB=AD,若四棱锥尸一ABC。的体积为

24,则四棱锥P-A88外接球的表面积是.

14.已知圆锥的底面半径为2夜，侧面积为8岳，则该圆锥的外接球的表面积为

15.已知正方体ABCC-AEGR的棱长为3,点E,£G分别是棱AB,AO,斜上靠近A

点的三等分点，若以A£FG为底面的正三棱柱的其它顶点均在正方体ABCO-ABCQI

的表面上，则此正三棱柱的外接球的表面积为.

16.如图，网格纸中小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几

何体的体积为.

四、解答题

17.如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这

个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现：

图中圆柱的体积是球体积的3;，圆柱的表面积也是球表面积的3;•他的发现是否正

确？试说明理由.

18.如图，已知A,B,C,。是空间四点，且点A,B,C在同一直线/上，点。不在

直线/上.求证：直线A。，BD,8在同一平面内.

19.如图所示，A-8CP是圆锥的一部分，。是底面圆的圆心，NBOC\,P是弧

3c上一动点(不与8、C重合)，满足NCOP=e.M是A8的中点，

OA=2OB=2.

(1)若MP〃平面AOC,求sin。的值;

⑵若四棱锥℃融的体积大于求三棱锥A-MPC体积的取值范围.

20.画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）.

21.如图，在正方体4BCO-A8CQ中，判断平面ACB与平面88ao是否垂直，并

说明你的理由.

22.求证：过已知平面外一点且平行于该平面的直线，都在过已知点且平行于该平面

的平面内.

参考答案:

1.B

【解析】

【分析】

由题可知8M_LAC,根据几何关系可求AM、长度；由题可证平面A8W,则过

N作AW垂直于AB,则M/垂直于平面A8C,则%一阚=匕一如=京,阚伊川.

【详解】

如图所示，:AB是直径，"和N在球面上，・・・ZAM8=NAN3=9(r,

即8AZ_LAC,8N_LA。，

由等面积法得M斗忸C|=\BM\-\AC\n\BM\=色鬻4=耳孚=婴

|AC|，8+23

2

•••\AN\=\AM\=^\AB^-\BM|==4^0；

BDVBC,BDA.AB,BC^AB=B,

平面ABC,

过N作NH工AB,则可”_1_平面ABC,

喘糊=1n|AW|=1也.

VA-BMN=VN-ABM=氐阚.WM

答案第1页，共16页

故选:B.

2.C

【解析】

【分析】

先求得四棱锥的外接球的半径，再去求外接球表面积即可解决.

【详解】

取BC中点E,连接£4、ED,取PC中点H,连接E”、BH,

等腰梯形ABC£>中，AB=CD=AD=\,BC=2,

则有AO//BE,AD=BE,则四边形AOEB为平行四边形，

则DE=/W=1,又CE=CD=1,则为等边三角形，

则/。CE=ZA5E=60,则△ABE为等边三角形

则£B=E4=££>=EC=1,故点E为等腰梯形ABC。的外接圆圆心,

△PBC中，PH=CH,BE=CE,则PB〃HE,HE=LPB=L

22

又尸3,底面ABC。，则HE_L底面ABC。，HP=HB=HC

又HA=y/HE2+EA2=slHE2+EB2=HB>HD=yjHE2+ED2=sjHE2+EB2=HB

即HP=HB=HC=HA=HD,

故点，为四棱锥尸-ABCD的外接球球心，

球半径HB=s]HE2+EB2=/¥

则四棱锥P-ABCD外接球表面积为47t闺=5兀

故选：C

3.C

【解析】

【分析】

答案第2页，共16页

设正方体的棱长为1,求出正八面体的棱长和高，即可求出正八面体的体积；再求出正方

体体积，即可得到答案.

【详解】

设正方体的棱长为1,则正八面体的棱长为高为1,所以正八面体的

体积为xl=1,而正方体体积为1,所以该正八面体的体积与正方体的体积

之比为!.

O

故选：C

4.A

【解析】

【分析】

根据三视图还原得该几何体为一个正方体与一个三棱锥的组合体，结合正方体和三棱锥的

体积公式计算即可.

【详解】

由三视图还原得该几何体为一个正方体与一个三棱锥的组合体，

由题意可得,

V=23+-xlx2x2xl=—

323

【解析】

【分析】

根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可;

【详解】

解：对于选项A,mHa,n//a,机与“可以平行、异面或者相交，故A错误;

答案第3页，共16页

对于选项B,因为a〃夕，加，a,所以〃夕.又“〃夕，所以初，〃，故B错误；

对于选项C,由“?〃a,则存在直线/ua,使得〃?〃/,又所以/，4，且/ua,

所以a，6.故C正确；

对于选项D,因为a_L/?,可设。口夕=/,则当机〃/,”〃/时，可得到》t〃a,nilp,

但此时机〃〃.故D错误.

故选：C

6.A

【解析】

【分析】

等体积法求解点到平面的距离.

【详解】

=：AM-AZ)=：X1=；,

连接A。，42,则9"”VB_A1DM=DM-AB=^x^xl=

ZZZ4J3V

福，由勾股定理得：BM=DM=、Q=且,BD=叵,取BO中点E,连接ME,由三

12V42

线合一得：MELBD,则ME邛」=且,故SBDV=LBD,ME='X近乂6=旦,设

V4222224

A到平面MB。的距离是〃，则匕…力=gx疝=、,解得：

h=旦,故点A到平面MBD的距离是远.

故选：A

7.B

【解析】

【分析】

根据平行关系转化为求根据条件解三角形即可求解.

答案第4页，共16页

【详解】

四边形A8CZ）为正方形，

，AB//CD,：."AB即为所求异面直线PA与CD所成角，

I4R

由PA2+pc2=4店，tanNPAC=]可得PA=忑，AB=-J1R.

又2PBD=45。,

/.PB=PD,：.POVBD,：.PB=y]2R，

2R

：..y/5M.

cosN7PDABB=-7--=---

yj2R5

故选：B

8.C

【解析】

【分析】

由三视图还原几何体为直三棱柱，将其补全为长方体，由它们的外接球相同求球体半径,

利用球体表面积公式求面积.

【详解】

由三视图知：几何体为直三棱柱，如下图示：将其补全为长方体，

所以长方体的外接球也是该几何体的外接球，故外接球半径为汽=亚亘亘=叵，

22

则几何体的外接球的表面积4万代=22人

故选：C

9.AB

【解析】

【分析】

利用正方体的结构特征，选定上底面的一条面对角线，分类探讨侧面、底面中与其不共面

答案第5页，共16页

的对角线即可判断作答.

【详解】

如图，在正方体ABC。-中，取上底面AAGQ内的面对角线BQ,

片。与正方体ABCQ-4BC。的四个侧面的面对角线43,4。，68,6。都不共面，连

BD,

则80〃用0,而AABRAGB力都是正三角形，即8a与48,40，。田,6。所成角都是

60,

显然AC_LBD,则8a与下底面对角线AC所成角为90,由正方体的结构特征知，正方体

任意一个面均可作上底面，并且形状不变，

所以正方体的任意两条不共面的面对角线所成角为60或90.

故选：AB

10.CD

【解析】

【分析】

将该二十四等边体补形为正方体，利用RS与BF是异面直线判定选项A错误，利用

小〃AH和的形状判定选项B错误，利用正方体和等二十四等边体的关系和分割法

判定选项C正确，利用该二十四等边体外接球的球心即为正方体的中心及球的表面积公式

判定选项D正确.

【详解】

将该二十四等边体补形为正方体（如图所示），

因为该二十四等边体的所有棱长都为正，所以正方体的棱长为2,

答案第6页，共16页

Q

对于A：正方体的体对角线RS_L平面E4B,而RS与班'是异面直线,

所以3尸，平面不成立，即选项A错误；

对于B：因为

所以NA8”是AB与PF所成角或其补角，

在AAB"中，AH=AB=BBH2=l2+22+l2=6,

因为A〃2+AB2M出/2，所以NAB”H45,

即选项B错误；

对于C：因为该二十四等边体的所有棱长都为近，

所以正方体的棱长为2,

170

所以该二十四等边体的体积为丫=23-qxr)x8=三,

即选项C正确；

对于D：设该二十四等边体外接球的半径为R,

该二十四等边体外接球的球心即为正方体的中心，

正方体六个表面的面积都为L

所以R2=F+产=2,

23

所以其表面积为S=4兀六=8兀，即选项D正确.

故选：CD.

11.BC

【解析】

【分析】

答案第7页，共16页

对于A,a与夕相交或平行；对于5,由面面垂直的判定定理得aJ-6；对于C,由线面

垂直的性质得a//,再由线面垂直的判定定理得mJ•尸；对于。，〃//a或"ua.

【详解】

解：由不同直线加，N和不同平面a,夕，知：

对于A,若〃nll13,mVn,则a与夕相交或平行，故A错误；

对于B,若m_La,〃”/〃，〃u/?,则由面面垂直的判定定理得a，/?,故B正确；

对于C,若“_La,…,则由线面垂直的性质得夕//月，

又“J_a,则由线面垂直的判定定理得心，/?,故C正确；

对于D,若〃z_La,mLn,则〃//a或"ua,故D错误.

故选：BC.

12.ABD

【解析】

【分析】

根据点线面的位置关系即可得到答案.

【详解】

根据公理1可知A正确；

根据公理3可知B正确；

易知D正确；

点A可以为/,a的交点，C错误.

故选：ABD.

【解析】

【分析】

根据球的截面圆圆心与球心的连线垂直截面可确定0。'垂直平面A8CD,构造直角三角形

求解球的半径即可得解.

【详解】

如图，分别取8C,4力的中点O',E,连接尸E,O'E,0A，OD.

答案第8页，共16页

因为是边长为4的等边三角形，所以PE=20.

因为四边形ABC。是等腰梯形，AB=AD=4,AD//BC,ZABC=60。,

所以O'E=2X/LBC=8.

因为四棱锥P-43co的体积为24,

所以1(4+8)x23=24,所以刀=2石.

32

因为E是A。的中点，所以PE_LAE>.

因为PE=〃=2石，所以PE_L平面ABCD

因为。4=08="=07)=4,

所以四边形ABC。外接圆的圆心为O',半径厂=4.

设四棱锥P-43C3外接球的球心为0,连接。0',OP,0B,过点。作PE,垂足

为F.

易证四边形£尸。0是矩形，则£F=OO,OF=O'E=26

设四棱锥P-ABC。外接球的半径为R，则

R2=OO'2+O'B2=OF-+PF2=O'E2+(P£-OO'^,即

R2=OO'2+42=(2厨+Q6-，解得店=,

故四棱锥P-AB8外接球的表面积是4万芯=竽.

皿2087r

故答案为：-y

14.36兀

【解析】

【分析】

根据侧面积公式计算母线长为2e，再计算圆锥的高，得到球的半径，得到外接球的表面

积.

答案第9页，共16页

【详解】

设圆锥的母线长为。，则侧面积为2立兀、“=86兀，解得a=2«,

故圆锥的高为,(2"了一(20)2=4,

设该圆锥的外接球的半径为R,由球的性质知，正=(2&『+(4_R『，解得尺=3,

故外接球的表面积为S=4K/?2=367r.

故答案为：367t.

【解析】

【分析】

连接AG,4G,ffC,,DC,，取BCVDC,,AC,，上靠近G的三等分点为g,片,G，连接

££,片耳,KG,旦区助,G&,由三角形相似可证得EE.//AC,,GG./MC,,历//AG,且有

EE}=GG=尸耳=(AC,由4G，面即。,可知AC,±面GEF,则三棱柱EFG-为直

三棱柱，计算求得半径即可得出结果.

【详解】

连接AC,AC,,BC「£>G,取8G,OG，AG，上靠近C的三等分点为0片，G，连接

E\G\,E\F\,F\G"E、E,FF\,GG,

BEBE.2

在AABG中，区国分别为三等分点，—L--,

/IDZ5C|J

EEJg,

2

同理可证GGJ/AC,,FFt//AC}，且有EE,=GG]=FFt=-AC,,

由正方体性质可知AC_L面BA。,显然，面BAQ//面GEF,所以Ag，面GEF,则三棱柱

222

EFG-月耳G1为直三棱柱，此时，AE=AG^l,ACt=A/3+3+3=3>73,

GF=GE=EF=m=O,EEi=FF[=G£=|AC,=26

设AGEF中为0,△g々G冲心为a,则圆心在。。冲点，则OG=也+COS工=逅，

答案第10页，共16页

此正三棱柱的外接球的表面积为S=4乃r=4万X言=方乃，

93

故答案为：等.

16.72

【解析】

【分析】

根据三视图，画出直观图，进而求出长方体与四棱锥体积，相减后得到结果.

【详解】

根据三视图可推理得知该几何体是一个长方体中挖去了一个正四棱锥剩下的几何体，还原

成直观图如图：

答案第11页，共16页

其中AB=BC=4,AA=5,其中EF=FG=GH=HE=2五,四边形EGH为正方形，

故该几何体的体积为^=匕88-4函。,一匕，­=4X4X5-|X8X3=72.

故答案为：72

17.正确，理由见解析

【解析】

【分析】

设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,分别求出球与圆柱的体积与表面积,

作比即可得出结论.

【详解】

解：设球的半径为R,

则圆柱的底面半径为R,高为2R,

2i

:.Vm=7TRx2R=2^R,L=g;rR3,

2+3

AV«*

3

=2TTRx2R+2xnR~=6TTR',S球=4TTR2,

.Sial。_6加R-_之

"V-MR?一/.

所以他的发现正确.

18.证明过程见解析.

【解析】

【分析】

运用平面基本事实进行证明即可.

【详解】

因为点A,B,C在同一直线/上，点。不在直线/上.

所以点A,B,。确定唯一的一个平面，设为a,

所以/ua,因为CG/,所以Cea,因为A,B,C,£>ea,

所以AOua,3£)ua,C£)ua,即直线AD,BD,CD在同一平面内.

19.⑴包

答案第12页，共16页

-f3-6疔

(2)---9—

[1212

【解析】

【分析】

TT

(1)取0B的中点N,连接MN,证明出NP〃OC,可得出NONP=§,NOPN=6,然

后在△ONP中利用正弦定理可求得sin6的值；

(2)计算得出四边形。hB的面积5=拳皿]，+总＞:，结合q0,引可求得°的取值

范围，设三棱锥A-MPC的体积为匕，三棱锥A-3PC的体积为匕，计算得出

匕=；匕=；'sin(0+*)-半，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.

(1)

解：取。8的中点N,连接MN,•.也为A8的中点，则MN//CM,

•.•班仁平面4。。，AOu平面AOC,则MN〃平面AOC,

由题设，当MP〃平面AOC时，因为MPcMN=M,所以，平面仞VP〃平面AOC,

NPu平面MNP,则NPH平面AOC,

因为NPu平面O8PC,OBPCflffiAOC=OC,则NP//OC,

所以，AONP=TT-ABOC=^,NOPN=NCOP=e,

ON__OP.£

在AOPN中，由正弦定理可得sine-.；°万，故c；