江西省上饶市六校2021-2022学年高二下学期期末联考数学（文）试题

上饶市20212022学年度第二学期六校高二期末联考数学（文科）试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟命题学校：上饶一中一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.若复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意整理得，利用复数的除法运算可得，再根据共轭复数的概念理解判断．【详解】由题意可得：∴z的共轭复数为故选：B．2.若，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】解对数不等式、一元二次不等式求、对应的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】已知：，解得，而：，可得，∴是的必要不充分条件，故选：C.3.已知，且与共线，则（）A.1 B.3 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可【详解】因为与共线，故，解得故选：C4.已知，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的性质可判断a,b的大小范围，根据指数函数的性质判断c的大小范围，比较可得答案.【详解】由题意可得：，故，故选：A5.在区间上任取一个数x，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据几何概型的方法，求得区间在内的长度与区间的长度比即可【详解】由题意，在区间上任取一个数x，则的概率为故选：B6.设实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）A.1 B.4 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】画出可行域，再分析目标函数截距最大时的情况即可【详解】画出可行域如图，联立可得，故目标函数在处取得最大值故选：D7.已知圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形，则该圆锥表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴截面，可得底面圆半径和圆锥母线，进而可求表面积.【详解】由圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形可知：圆锥的底面圆半径，母线长，所以圆锥的表面积为故选：D8.已知为等差数列的前n项和，若，则该数列的公差为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质结合基本量法求解即可【详解】设该数列的公差为，则，故，所以，即，解得故选：B9.已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于半径求解即可【详解】由题意，圆心到直线的距离，即，解得故选：D10.已知正数m，n满足，则的最小值为（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简，再利用基本不等式得解.【详解】解：由题得.（当且仅当等号成立）.故选：B11.已知双曲线的焦距为为其左右两个焦点，直线l经过点且与渐近线平行，若l上存在第一象限的点P满足，则双曲线C离心率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意分析满足的点的轨迹，再根据此轨迹与直线l有交点，结合渐近线的性质求解即可；【详解】因为满足的所有点在以为焦点，长轴长为，短轴长为的双曲线，即上.故若l上存在第一象限的点P满足，则双曲线与直线l有交点即可.又直线，数形结合可得，当或的经过一象限的渐近线的斜率即可，两种情况均有，故，故离心率故选：A12.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将所求不等式变形为，构造函数，分析出函数在上为增函数，可得出，利用导数求出函数的最小值，可得出关于的不等式，即可求得实数的最大值.【详解】由已知可得，，由可得，所以，，构造函数，其中，则，故函数在上为增函数，由可得，所以，，即，令，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则，，解得，故实数的最大值为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键就是将所求不等式进行变形，利用指对同构的思想通过构造新函数，转化为关于、的不等式，再利用参变量分离法求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知角的终边经过点，则________．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式与三角函数的定义可求得所求代数式的值.【详解】由已知可得.故答案为：.14.曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，根据椭圆性质列出不等式组，解出即可.【详解】由题意可得，解得.故答案为：.15.在正项等比数列中，已知，则________．【答案】##【解析】【分析】利用等比数列中项的性质结合对数的运算性质可求得结果.【详解】由等比中项的性质可得，则，因此，.故答案为：.16.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，面，，，，M为线段的中点，下面结论正确的是________．①；②直线和底面所成的角为；③过点M且与平面平行的平面截该四棱锥所得截面的面积为；④四棱锥外接球的表面积为．【答案】①③④【解析】【分析】①由题意可知，求出梯形的高为，证明即可判断；②由题意可得是和底面所成的角，求出大小即可判断；③作再出截面，再计算即可面积即可判断；④将四棱锥补成以为长、宽、高的长方体，即可求出球的表面积，从而判断即可.【详解】解：因为面，所以，又因为底面为等腰梯形，，，所以梯形的高为，所以，因为,所以，又因为，所以平面，所以，故①正确；由①可知是和底面所成的角，又因为,又因为，所以＝，即和底面所成的角为，故②错误；如图所示：取中点，中点,中点，依次连接，则平面与平面平行且截该四棱锥所得截面，由题闱可知平面是梯形，，且，如图所示：则有，解得，所以梯形的高为，所以面积为，故③正确；将四棱锥补成以为长、宽、高的长方体，则此长方体的八个顶点在球面上，所以,所以，所以四棱锥外接球的表面积为，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：17.足球运动是一项古老的体育活动，源远流长，最早起源于我国古代的一种球类游戏蹴鞠，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球．为了解某社区足球爱好者的年龄分布情况，从该社区随机抽取50名足球爱好者，将这50人的年龄按分成5组，得到了如下的频率分布直方图．（1）求样本的平均数及中位数；（2）从年龄段和中按分层抽样的方法随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这两人的年龄都落在的概率．【答案】（1）平均数25.5；中位数23.75（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图平均值的计算方法求解平均值，再根据中位数左边的面积为0.5计算中位数即可；（2）根据分层抽样可得应从中抽取3人，从中抽取1人，再利用古典概型的方法列举求解即可【小问1详解】平均值为因为，，故中位数位于区间，假设中位数为m则，解得【小问2详解】易知应从中抽取3人，设分别为，从中抽取1人为.则从这4人中随机抽取2人，所有可能的情况有共6种，其中满足条件的有共三种，故从这4人中随机抽取2人，求这两人的年龄都落在的概率18.内角、、所对的边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）若外接圆的半径为，角的平分线与线段交于点，且，求、的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理可得出关于、的方程组，即可解得、的值.【小问1详解】解：由及正弦定理可得，在中，，所以，，代入上式得，、，则，，则，故.【小问2详解】解：外接圆的半径为，，，为角的平分线，所以，，又，，即，可得，①由余弦定理，可得，②由①②得．19.如图，四边形是边长为2正方形，为等腰直角三角形，，点E在线段上，且二面角为直二面角．（1）证明：平面平面；（2）当平面时，求点E到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可证明线线垂直，通过线线垂直可证明线面垂直.（2）根据线面平行的性质可判断点E为中点，进而根据等体积法可求.【小问1详解】∵四边形是正方形，∴；又∵二面角直二面角，平面平面，∴平面∵平面，∴；又∵；∴平面∵平面∴平面平面小问2详解】连接交于点O，连接，∵平面，又∵平面，平面平面∴由线面平行的性质定理可得，又∵O是中点，∴E为中点．取中点F，连接，则平面，且，∴，∴因为E为中点，所以,故四面体的体积设点E到平面的距离为，由等体积法可知，所以，故点E到平面的距离为．20.已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若对一切恒成立，求m的取值范围．【答案】（1）的单调增区间为和，单调减区间为（2）【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断单调区间；（2）根据题意利用参变分离可得，利用导数求，注意零点代换的运用．【小问1详解】∵∴，由得或，且当或时，，当时，，∴的单调增区间为和，单调减区间为【小问2详解】依题意可得在上恒成立，令，则，令，易知在上单调递增，∵，∴，又∵，∴，使得，即有，且在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，即m的取值范围为．21.已知抛物线上任意一点到的距离比到x轴的距离大1．（1）求抛物线的方程；（2）若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求重心G的轨迹方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可；（2）设直线的方程为，再联立抛物线的方程，利用韦达定理结合切线方程可得，再根据重心的坐标公式，代入韦达定理可得轨迹【小问1详解】由抛物线的定义可得，∴抛物线的方程为；【小问2详解】由题意可得直线的斜率存在，设其为k，设，则直线的方程为；代入抛物线方程得，则有，∵，∴，∴，即①同理可得②，①②有，得，∴．∴又，设，则，消k得，所以G的轨迹方程为．（二）选做题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分．22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线交于A，B两点，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用消参法可得曲线：，由可得曲线：；（2）根据直线参数方程的理解可得，把曲线的参数方程代入曲线的普通方程整理，结合韦达定理求解．【小问1详解】消去参数t得曲线的普通方程为由可得曲线的直角坐标方程为；【小问2详解】易知P的直角坐标为，将曲线的参数方程（t为参数）代入的直角坐标方程，化简得，设