山东省德州市名校2025届高三数学上学期第一次联考试题含解析

PAGE20-山东省德州市名校2025届高三数学上学期第一次联考试题（含解析）一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知角的终边过点，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的定义可得出关于的方程，解出的值，再利用三角函数的定义可求得的值.【详解】由题得，解得，所以点，所以．故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平．2.等差数列中，，，则数列的公差为（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】设数列的公差为，则由题意可得，，由此解得的值．【详解】解：设数列的公差为，则由，，可得，，解得.故选：B．【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用，由已知条件求基本量．3.已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得.结合余弦定理，可求角.【详解】，且，，整理得.又..故选：B.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.4.已知，则的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由，得，则，利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，因为，则，所以，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为5，故选：C.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的运用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．5.在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O𝑥为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.A选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.6.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据平面对量的三角形法则和共线定理即可得答案.【详解】解：故选：C.【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.7.函数是偶函数的充要条件是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函数是偶函数，等价于，即；故选A.8.设函数，若对于随意的x∈{x|1≤x≤3}，恒成立，则实数m的取值范围为（）A.m≤0 B.0≤m<C.m<0或0<m< D.m<【答案】D【解析】【分析】将恒成立转化为g(x)=mx2－mx＋m－5<0恒成立，分类探讨m并利用一元二次不等式的解法，求m的范围【详解】若对于随意的x∈{x|1≤x≤3}，恒成立即可知：mx2－mx＋m－5<0在x∈{x|1≤x≤3}上恒成立令g(x)＝mx2－mx＋m－5，对称轴为当m＝0时，－5<0恒成立当m<0时，有g(x)开口向下且在[1,3]上单调递减∴[1,3]上，得m<5，故有m<0当m>0时，有g(x)开口向上且在[1,3]上单调递增∴在[1,3]上，得综上，实数m的取值范围为故选：D【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，将不等式恒成立等价转化为一元二次不等式在某一区间内恒成立问题，结合一元二次不等式解法，应用分类探讨的思想求参数范围二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.）9.若，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】对A，利用指数函数的单调性；对B，利用基本不等式；对C，利用不等式的性质；对D，利用基本不等式.进行推断即可.【详解】对A，由指数函数的单调性可知，当，有，故A正确；对B，当时，不成立，故B错误；对C，当时，不成立，故C错误；对D，成立，从而有成立，故D正确；故选：AD.【点睛】本题考查利用已知函数及基本不等式的应用，求解时留意基本不等式成立的条件，考查分类探讨思想的应用，属于基础试题．10.在中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（）A.若，则 B.若则C.若，则 D.若则【答案】ABD【解析】分析】利用，再结合正弦定理即可推断A、B选项，C选项举反例，D选项可由A选项和推断.【详解】由大角对大边知，若，则，由正弦定理得，所以，故A正确；同理B正确；当，时，，，故C错误；若，则，，即，所以，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查正弦定理在比较大小中的应用，涉及到了大角对大边这一结论，在否定一个命题是假命题时，只需举出反例即可，本题是一道基础题.11.下列说法错误的是（）A.若B若，且，则C.在中，若，则是直角三角形D.已知，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】由向量的数乘的运算和向量的概念，可判定A不正确；由向量的数量积的公式，可判定B不肯定正确；依据向量的数量积和模的计算公式，可判定C正确的；依据向量的夹角公式和共线向量定理，可判定D不正确.【详解】对于A中，由向量的数乘的运算和向量的概念，可得和，以及和不肯定相等，所以不正确；对于B中，由向量的数量积的公式，可得，依据，且，即，所以不肯定正确；对于C中，在中，由，可得，整理得，即，所以是直角三角形，所以是正确的；对于D中，由，若与的夹角为锐角，则满意，即，解得且，所以不正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了平面对量的概念及平面对量的数量积的应用，同时考查了命题的真假判定，着重考查了推理与运算实力，属于中档试题.12.函数在一个周期内的图象如图所示,则()A.该函数的解析式为B.该函数的对称中心为C.该函数的单调递增区间是D.把函数的图象上全部点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得到该函数图象【答案】ACD【解析】【分析】依据三角函数图像得出振幅,再求解函数的周期,再代入最高点求解函数解析式.再分别求解函数的对称中心与单调增区间,并依据三角函数图像伸缩与平移的方法推断即可.【详解】由图可知,函数的周期为,故.即,代入最高点有.因为.故.故A正确.对B,的对称中心：.故该函数的对称中心为.故B错误.对C,单调递增区间为,解得.故C正确.对D,把函数的图象上全部点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得到.故D正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查了依据三角函数图像求解解析式以及性质的问题,须要先依据周期,代入最值求解解析式,进而代入单调区间与对称中心求解即可.属于中档题.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若三点共线，则实数x的值等于_____．【答案】【解析】【分析】依据题中所给的点的坐标，求得向量的坐标，之后应用向量共线的坐标表示，求得结果.【详解】由已知得，因为A，B，C三点共线，所以，因此，解得．故答案为：.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的学问点有向量共线的坐标表示，属于基础题目.14.已知，则向量在方向上的投影为_________.【答案】【解析】【分析】依据向量的数量积的坐标运算，求得，结合向量的投影的概念，即可求解.【详解】由向量，可得，所以向量在方向上的投影数列为.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的概念，其中解答中熟记向量的投影的概念，以及向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解实力.15.若，则___________.【答案】【解析】【分析】由，结合诱导公式，倍角公式求解即可.【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了诱导公式和倍角公式化简求值，属于中档题.16.设的内角的对边长成等比数列，，延长至，若，则面积的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】由，可得，由成等比数列，结合正弦定理可得，两式相减，可求得，从而得为正三角形，设正三角形边长为，，利用基本不等式可得结果.【详解】，，①又成等比数列，，由正弦定理可得，②①-②得，，解得，由，得，，正三角形，设正三角形边长为，则，，时等号成立．即面积的最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查对比中项的应用、正弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，肯定要正确理解和驾驭“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要推断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最终肯定要验证等号能否成立（主要留意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知.（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为，求.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设，依据题意，得到，利用向量的坐标运算，求得，再依据，即可求解；（2）设，依据向量的数量积运算，列出方程求得，再结合，求得向量，即可求解.【详解】（1）设，因为与同向，所以存在实数，使得，即，可得，又因为，可得，解得或（舍，所以.（2）设，所以，因为，故，即，因，所以，可得故，当，时，，当，时，.【点睛】向量的数量积的两种运算方法：1、当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即；2、已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若，则向量的数量积为.18.在①，，②，，③，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，______，求的面积S.【答案】答案不唯一，详细见解析【解析】【分析】若选①，首先依据同角三角函数的基本关系求出，，再依据两角和的正弦公式求出，由正弦定理求出边，最终由面积公式求出三角形的面积.若选②，由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边，最终由面积公式求出三角形的面积.若选③，由余弦定理求出边，由同角三角函数的基本关系求出，最终由面积公式求出三角形的面积.【详解】解：选①∵，，∴，，∴，由正弦定理得，∴.选②∵，∴由正弦定理得.∵，∴.又∵，∴，∴，∴.选③∵，，∴由余弦定理得，即，解得或（舍去）.，∴的面积.故答案为：选①为；选②为；选③为.【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形，属于基础题.19.已知函数的最大值为3.（1）求的值；（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先化简函数，再依据函数的最值求的值；（2）首先求角，再依据三角形时锐角三角形，确定角的范围，再依据正弦定理用角表示，并求范围.【详解】，当时，函数取得最大值；（2），，即,，，，得，，又为锐角，所以，，,其中,,即，综上可知的取值范围是.【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦定理边角互化，三角函数的性质的综合应用，重点考查转化与变形，计算实力，本题的易错点是简单忽视锐角三角形这个条件.20.己知．（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角，，的对边为，，，且满意且，若方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）用降幂公式、两角和与差的正弦公式化函数的一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的单调性求解；（2）由正弦定理化边为角，然后求出角，得出角的一个范围，再由方程有两个不同的解结合正弦函数性质得出范围．【详解】（1），，，所以增区间是；（2）因为，由正弦定理得，是三角形内角，，，所以，又，所以．所以，，结合（1）知在上递增，在上递减，，，，所以要使得有两个不等实解，则，．【点睛】本题考查求三角函数的单调区间，考查由方程解的个数求参数范围，解题方法是利用二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求解．21.某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）L(x)＝；（2）100千件.【解析】【分析】（1）依据题意，分段求得函数的解析式，即可求得；（2）依据（1）中所求，结合基本不等式，求得的最大值即可.【详解】（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，依题意得：当0<x<80时，L(x)＝(0.05×1000x)