高中数学学考复习知识点

数学学业水平考试常用公式与结论

一、集合与函数：

集合

1、集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性

2、集合相等：若：则A=B

3.元素与集合的关系：属于w不属于：任空集：。

4.集合｛4,令，%｝的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个；非空子集

有2"-1个；5.常用数集：自然数集：N正整数集：N*整数集：Z有

理数集：Q实数集：R

函数的奇偶性

1>定义：奇函数<=>,偶函数<=>f(-X)

=f(X)(留意定义域)

2、性质：(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；

(2)偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；

(3)假如一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；

(4)假如一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

函数的单调性

1、定义：对于定义域为D的函数F(X),若随意的Xi,X2GD,且XI<X2

①/(Xi)</(x2)<=>/(Xi)-f(x2)<0<=>f

(X)是增函数

②/(XI)>/(x2)<=>F(X1)-/(x2)>0<=>f

(X)是减函数

二次函数y=ax+bx+c("0)的性质

1、顶点坐标公式：，2,丝士口，对称轴：x=-2，最大(小)值：处士

[2〃4a)2a4a

2.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式/(x)=ax2+bx+c(a^O)；(2)顶点式f(x)=a(x-〃尸+我(awO);

(3)两根式/(刀)=4(%—%)。一工2)(4/0).

指数与指数函数

1、幕的运算法则：

mnnn

(1)a'"-a"=a…，(2)⑶(a)=a(4)lab)

n=an-b"

(5)f-T=—⑹a°=1(aWO)(7)a-n=—(8)/=也7(9)

1/Jb"a"

--1

a,n=.——

04〃

2、指数函数旷=ax(a>0且aWl)的性质：

(1)定义域：R；值域：(0,+8)(2)图象过定

点(0,1)

YA

J"0<a<1

—~F--------kX

--------------------0------------------►Xx

3.指数式与对数式的互化：log,,N=b^ah=N(a>0,a^l,N>0).

对数与对数函数

1.对数的运算法则：

b

(1)a=N<=>b=logaN(2)loga1=0(3)logaa-1(4)

logaab=b⑸a108aN=N

(6)loga(MN)=log&M+logN(7)log(—)=log

aaN

aM-10gaN

(8)loga/Vb=blog.N(9)换底公式：log

N=嘀N

log,,«

(10)推论log"A"=(a>0,且a>1,加,巩>0,且加w1,〃工1,N>0).

am

(11)logaN=」一(12)常用对数：1gN=log10N(13)自

log、a

然对数：InA=logeA(其中e=2.71828…)2、对数函数y=log

x(a)。且aWl)的性质:

(1)定义域：(0,+8)；值域：R(2)图象过定

点(1,0)

2.图象平移：若将函数＞=/(x)的图象右移“、上移8个单位，得到函数

y=/(x-a)+/2的图象；规律：左加右减，上加下减

平均增长率的问题

假如原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,

有y=N(l+p)".

函数的零点：1.定义:对于y=/(x),把使/。)=0的X叫y=/(x)的零点。

即

y=/(x)的图象与X轴相交时交点的横坐标。

2.函数零点存在性定理：假如函数y=/（x）在区间k,可上的图象是连绵

不断的一条

曲线，并有/（分/（。）＜0,则y=/（x）在区间（a,/?）内有零点，即存在

ce（a,b）,

使得/（c）=0,这个C就是零点。

二、圆：

1、斜率的计算公式：k=tana='-X（a#90。，xiWx2）

2、直线的方程（1）斜截式y=kx+b（k存在）；（2）点斜式y-y。

=k(x-x0)(k存在);

（3）两点式上江=三二（x产修,y尸当）；4）截距式±+上=]

必一切々一斗ab

（a#0,bw0）

（5）一般式Ax+By+c=O（A,B不同时为0）

3、两条直线的位置关系:

7i：y=k,x+bi7i：A,x+Biy+Ci

72：y=k2x+=0

b2I2：A2x+B2y+C2

=0

重合ki=k2且b尸b2A=A=£L

A?B?C2

平行ki-k2且biW62A_0^i_

A2B2C2

垂直

kik2=~1AIA2+BiB2=0

4、两点间距离公式：设Pi(x1,y।)、P2(x2,y2),则IPiP2

I=J(x、-/>+(%一')2

5、点P(x。，丫。)到直线1：Ax+By+C=0的距离：公仆二竺^

VA2+B2

6、圆的方程

圆的方程圆心半径

2,2_2

x+y-r(0,0)r

标准方程(X-a)2+(y-

(a,b)r

b)2=r2

x2+y2+Dx+Ey

一般方程-VD2+E2-4F

+F=0府用2

7.点与圆的位置关系

点P(X0,%)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种若

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d=yj(a-x0)+(b-y0),贝U4>rO点P在圆外u>(3一。尸+(y-b)2>/

4=r=点/>在圆上01—4)2+(旷一/?)2=，

4<ro点P在圆内=(x-a)2+(y-b)2</

8.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)

直线Ax+3y+C=0与圆(x-a)2+(y-与2=/的位置关系有三种：

①d>r=相离oA<0②”=r=相切=△=()③d<r=相交<=>A>0.

9.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为0”02,半径分别为r”r2,\OxO^d

d〉q+々o外离o4条公切线；

d=rt+r2o外切o3条公切线；

\rt-r2\<d<rt+r2=相交<=>2条公切线；

d=|r,-r2\=内切ol条公切线;

0<d<h-胃o内含o无公切线.

三、立体几何：

（一）、线线平行判定定理：

1、平行于同一条直线的两条直线相互平行。

2、垂直于同一平面的两直线平行。

3、假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,

则这条直线和交线平行。

4、假如两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。

（二）、线面平行判定定理

1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面

平行。

2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面

平行。

（三）、面面平行判定定理：

假如一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平

行。

（四）、线线垂直判定定理：

若始终线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的全部直线。

（五）、线面垂直判定定理

1、假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直

于这个平面。

2、假如两个平面相互垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直

于另一个平面。

(六)、面面垂直判定定理

假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面相互垂直。

四、三角函数：

1、同角三角函数公式sin2a+cos2a=1tana="3tana

costz

cota=1

2、二倍角的三角函数公式

sin2a-2sinacosacos2a=2cosaT-1-2sirra

-2tana

tan2a=--------

1-tarra

3、两角和差的三角函数公式

sin(a±B)-sinacosB±cosasinBcos(a±B)-

cosacos8干sinasin8

tan(a土⑶=,ana土tan尸

1+tanatan/?

4、三角函数的诱导公式“奇变偶不变，符号看象限」

5、三角函数的周期公式

函数.v=sin(3+°),XWR与函数y=cos(/x+0),X@R(A,3,。为常数,

且A7^0,3>0)的周期7=—;函数y=tan(ox+o),%乃+生，攵£Z(A,3,卬

0)2

为常数，且AW0,3>0)的周期7=工.

co

五、平面对量:

1、向量的模计算公式：(1)向量法：I，=*=厅；

(2)坐标法：设屋(x,y),则

2、平行向量

规定：零向量与任一向量平行。设「=(Xi,y1),b=(x2,y2),人为实数

向量法：a//b(gW。)<=>a=\h

坐标法：a//b(BW。)<=>Xiy2-x2yi=0<=>a=三(y】WO,y2

必为

WO)

3、垂直向量

规定：零向量与任一向量垂直。设>=(xi,yi),b=(x2,y2)

向量法：aLb<=>a•b=0坐标法：al.b<=>XiX2+Yiy2=0

4、平面两点间的距离公式

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dAB=\AB\=』AB.AB=^X2-X^+(y2-yt)(A(%,y),B(%,%))•

5、向量的加法

(1)向量法：三角形法则(首尾相接首尾连)，平行四边形法则(起点相

同连对角)

(2)坐标法：设“二(xi,yi),b=(X2,y2)>贝!ja+B=(x,+X2,yi+y2)

6、向量的减法

(1)向量法：三角形法则(首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向

量)

(2)坐标法：设〃=(xi,yi),b=(X2,y2)>贝lja4=(Xi-x2,y「y2)

7、两个向量的夹角计算公式：(1)向量法：cos。=ft

\a\\b\

(2)坐标法：设1=(xi,yi),b=(x2>y2)>贝!jcos(9=/+产

西+力在+及

8、平面对量的数量积计算公式：(1)向量法：«-b=|«||^|cos。

(2)坐标法：设“=(xi,y)b-(X2,丫2),则a,b-XiX2+yiy2

(3)a•b的几何意义：数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向

上的投影|b|cos0的乘积.

六、解三角形:

△ABC的六个元素A,B,C,a,b,c满意下列关系:

1、角的关系：A+B+C=n,

特别地，若△ABC的三内角A,B,C成等差数列，则NB=60。，ZA+

ZC=120°

2、诱导公式的应用：sin（A+B）=sinC,cos（A+B）=-cosC,

3、边的关系：a+b>c,a-b<c（两边之和大于第三边，两边之

差小于第三边。）

4、边角关系：（1）正弦定理：—=—=—=2/?（R为AABC外接圆

sinAsinBsinC

半径）

a:b:c=sinA:sinB:sinC分体型a=2RsinA,6=2R

sinB,c=2RsinC,

(2)余弦定理：a2=b2+c2-2bc,cosA,b2=a2+c

2-2ac*cosB,

c2=a2+b2-2ab,cosC

COS」』j,c°sB=dC°sc/+"

2hclac2ah

5、面积公式:S=；ah=sinC;-besinA=-acsinB

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七、不等式:

（-）>均值定理与其变式：（l）a,b£R,a2+b22ab

(2)a,b£R+,a+b52箍(3)a,beR.，abW

(哨

以上当且仅当a=b时取“=”号。

（二）,~兀二次不等式6+版+（?>0（或<0）（々±04=。2_4〃。>0）,假如〃与

ax1+加+。同号，则其解集在两根之外；假如“与公?+"+C异号，则其解集

在两根之间.简言之：同号两根之外，异