二轮复习导数经典技巧与方法第27讲导函数的混合还原学案

27讲导函数的混合还原

知识与方法对于一个含有函数fx与其导函数f'xfx与f'x混合的不等式,构造新函数的类型可分成如下几类:

(1)对于结构f'x+g'x,构造函数Fx=fx+gx;

(2)对于结构f'x-g'x,构造函数Fx=fx-gx;

(3)对于结构式f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,构造函数Fx=fxgx;

(4)对于结构f'xgx-fxg'x,构造函数Fx=fxgxgx≠0

(1)函数fx与x乘除组合:

(1)对于xf'x+fx,构造函数hx=xfx;

(2)对于xf'x-fx,构造函数hx=fxx.

(3)一般地,对于mf'x+mfx,够着函数hx=xmfx(m为常数)

(2)函数fx与ex

【答案】A

【解析】设hx=fxgx,因为当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<0

所以当x<0时,h'(x)<0,即函数y=hx在-∞0单调递减,

又因为fx,g

所以等式f(x)g(x)<0的解集为-10∪1+∞,故选A.

【例2】(多选)定义在0+∞上的函数fx的导函数为f'x且f'(x)<f(x)x,则对任意x1,x2∈0+∞,其中x1≠x2,则下列不等式中一定成立的有（）

A.f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)

B.f(x1)+f(x2)<x2x1f(x1)+x1x2f(x2)

C.f(2x1)<2x1f(1)

D.f(x1x2)<f(x1)f(x2)

【答案】ABC

【解析】构造函数g(x)=f(x)x(x>0),则g(x)=xf'(x)-f(x)x2<0,

所以gx在0+∞单调递減,故(x1-x2)[g(x1)-g(x2【答案】-2022-2019

【解析】根据题意,令gx=x3fx,

所以g'x=3x2fx+x3f'x=x23fx+xf'x

因为x∈-∞0时,3f(x)+xf'(x)>0,所以g'(x)>0,

所以gx在-∞A.0+∞ B.-∞-1∪0+∞

C.-∞0∪1+∞ D.-1+∞

【答案】A

【解析】由f(x)>1-f'(x)知f(x)+f'(x)>1,exf(x)+exf'(x)A.-∞1 B.1+∞ C.1e D.e+∞

【答案】A

【解析】令gx=2fxex+1-1,则g'(x)=2(f'(x)-f(x))ex+1>0,故gx在R上单调递增,而g1=A.0+∞ B.-1+∞ C.-∞0 D.-∞-1

【答案】

【解析】设Fx=fx+2e2x,则F'x=f'x-2fx-4e2x,因为f(x)-2f'(x)-4>0,所以F'(x)>0,

即函数FA.e2021 B.2021+∞ C.e+∞ D.ee+1

【答案】A

【解析】因为定义在e,+∞上的函数fx满足f(x)+xln⁡xf'(x)<0,设gx=fxlnx,

则g'(x)=f'(x)ln⁡x+f(x)x=f'(x)xln⁡x+f(x)x<0在e,+∞恒成立,

所以gx在e,+∞单调递减,又f2021=0

所以g2021=f2021ln2021=0,

要求f(x)>0,因为ln⁡x>0,所以只需g(x)>0即可,即g(x)>0=g(2021),

所以e⩽x<2021,

故选:A.

【点睛】本题由已知条件构造函数gx=fxlnx,求导,根据已知求得函数的单调区间,

结合原函数的性质和函数值,即可f(x)>0的解集.

【例9】设函数fx是定义在区间12+∞上的函数,f'x是函数fx的导函数,且xf'(x)ln⁡2x>f(x)(x>12),f(e2)=1A.f(5π6)C.f(-5π6)<f(-4π3) D.f(-π4)<f(-π)

【答案】C

【解析】令gx=fx+12cos2x,所以g'x=f'x-sin2x,

当x∈0+∞时,g'(x)=f'(x)-sin⁡2x<0,所以gx在0+∞上单调递减;f-x+fx=2sin2x

所以gx-12cos2x+g-x-12cos2x=2sin2x

所以gx+g-x=1

所以g-x=1-gx

所以f-5π6=g-5π6-12cos-5π3=1-g5π6-14=34-g5π6,f-4π3=g-4π3-12cos-4π3=1-g4π3+14=54-g4π3,

又g(4π3)<g(5π6)所以f(-5π6)=34-g(5π6)<f(-4π3)=54-g(4π3),

所以答案为:C.

综合应用型

【例11】设函数fx满足x2f'x+2xfx=exx,f2=e28,则x>0时,fx

A.有极大值,无极小值

B.有极小值,无极大值

【答案】D

【解析】x2f1.设fx,gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,fx满足f-3=0,且f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是

A.-30∪3+∞

B.-30∪03

C.-∞-3∪03

D.-∞-3∪3+∞

【答案】C

【解析】令hx=fxgx,则h-x=f-xg-x=-fxgx=-hx,因此hx是

奇函数.(1)因为当x<0时,h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,所以hx在-∞0h-3=f-3g-3=0,所以不等式f(x)g(x)<0等价于h(x)<h-3,所以x<-3.(2)当x>0时,函数hx在R上是奇函数,可知hx在0+∞上

单调递增,且h3=-h-3=0,所以h(x)<0解集为03.综上所述,不等式fxg(x)<0的解集是-∞-3∪03.

故选:C.

2.已知fx是定义在-∞+∞上的函数,f'x为fx的导函数,且满足fx+(x-1)f'(x)>0,则下列结论中正确的是

A.f(x)>0恒成立

B.f(x)<0恒成立

C.f1=0x∈-∞1时,f(x)<0;当x∈1+∞时,f(x)>0

【答案】A

【解析】设gx=x-1fx,所以g'(x)=f(x)+(x-1)f'(x)【答案】0+∞

【解析】构造函数gx=ex⋅fx-ex,因为g'x=ex⋅fx+ex⋅f'x-ex=ex[f(x)+f'(x)]-ex>ex-ex=0,所以gx为Rg0=1,所以原不等式转化为g(x)>g(0),解得x>0.

6.定义在R上的函数fx的导函数为f'x,f0=0,若对任意x∈R,都有f(x)>f'(x)+1,则使得f(x)+ex<1成立的x的取值范围为

A.-∞1 B.-∞0 C.-1+∞ D.0+∞

【答案】

【解析】构造函数:gx=fx-1ex,g0=f0-1e0=-1.

因为对任意x∈R,都有f(x)>f'(x)+1,

所以g'(x)=f'(x)ex-[f(x)-1]ex(ex)2=f'(x)-f(x)+1ex<0,

所以函数gx在R单调递减,

由f(x)+ex<A.-π2π4 B.-π4π4

C.π4π2 D.-π2π4∪π4π2

【答案】C

【解析】构造函数gx=fxcosx,因为f'(x)cos⁡x+f(x)sin⁡x<0,所以gx在-π2π2单调递减,f(x)<2f(π4)cos⁡x,即f(x)cos⁡x<f(π4)22=f(π4)cos⁡π4,

即A.-∞2 B.12+∞ C.-∞12 D.2+∞

【答案】B

【解析】令Fx=fx-x3由，可得，故为偶函数，不等式化为，所以，所以由函数单调性可知：，解得，故选：．12.设是定义在上的函数，对任意的，恒有成立，函数满足，则是_______(选填：“奇函数”、偶函数”、“非奇非偶函数”、“既奇又偶