2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版五十一　两条直线的位置关系含答案

10版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版五十一两条直线的位置关系五十一两条直线的位置关系(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2024·潍坊模拟)已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,-6),C(5,2),则BC边上中线的长为()A.210 B.10 C.112 D.310【解析】选A.设BC的中点为D(x,y),由中点坐标公式得x=3+52所以AD=(4-2)22.(5分)已知直线l1:2x-y+1=0,l2:x+ay-1=0,且l1⊥l2,则点P(1,2)到直线l2的距离d等于()A.55 B.255 C.35【解析】选D.由l1⊥l2可得2×1-1·a=0,即a=2,故d=|1+2×2-1【加练备选】(2024·深圳模拟)直线l1:mx-y+1=0,l2:(3m-2)x+my-2=0,若l1⊥l2,则实数m的值为()A.0 B.1C.0或1 D.13【解析】选C.l1⊥l2⇔m(3m-2)-m=0,即m2-m=0,解得m=0或m=1.3.(5分)(2024·南昌模拟)已知直线l1:x+ay-2=0,l2:(a+1)x-ay+1=0,若p:l1∥l2;q:a=-2,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若l1∥l2,则1×(-a)-a(a+1)=0,解得a=0或a=-2,经检验,符合题意.所以pq,q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.4.(5分)直线ax+y+3a-1=0恒过定点N,则直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为()A.2x+3y-12=0 B.2x+3y+12=0C.2x-3y+12=0 D.2x-3y-12=0【解析】选B.由ax+y+3a-1=0可得a(x+3)+y-1=0.令x+3=0,y-1=0所以N(-3,1).设直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为2x+3y+c=0(c≠-6),则|-6+3-6解得c=12或c=-6(舍去).故所求直线方程为2x+3y+12=0.5.(5分)(多选题)已知A(2,4)与B(3,3)到直线l的距离相等,则直线l的方程为()A.x+y=0 B.x-y=0C.x+y-6=0 D.x-y+1=0【解析】选ACD.因为A(2,4)与B(3,3)的中点为(52,72),且kAB=4-32-3一类是过A,B的中点的直线,另一类是与AB平行的直线,显然x+y-6=0、x-y+1=0过点(52,7直线x+y=0的斜率为-1与AB平行,故A正确;直线x-y=0的斜率为1与AB垂直,且不过点(52,726.(5分)(多选题)已知直线l1:4x-3y+4=0,l2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m∈R),则()A.直线l2过定点(-3,-1)B.当m=1时,l1⊥l2C.当m=2时,l1∥l2D.当l1∥l2时,两直线l1,l2之间的距离为1【解析】选ACD.因为(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0,所以2x-y+5+m(x-y+2)=0,所以2x-所以直线l2过定点(-3,-1),选项A正确;当m=1时,直线l2:3x-2y+7=0,k2=32又因为l1:4x-3y+4=0,所以k1=43,k1k2当m=2时,直线l2:4x-3y+9=0,而l1:4x-3y+4=0,所以两直线斜率相等,在y轴上的截距不等,所以两直线平行,此时两直线之间的距离d=|9-7.(5分)已知两条直线2x+3y-k=0和x-6y+12=0的交点在y轴上,那么k的值是6.

【解析】由x-6y+12=0可得直线与y轴的交点坐标为(0,2),将点(0,2)代入2x+3y-k=0可得k=6.8.(5分)(2024·扬州模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中,设军营所在平面区域为{(x,y)|x2+y2≤1},河岸线所在直线方程为2x+2y-5=0,假定将军从点P(1,12)处出发,只要到达军营所在区域即回到军营,当将军选择最短路程时,饮马点A的纵坐标为1514,最短总路程为【解析】设点P(1,12)关于直线2x+2y-5=0的对称点P'(a,b则b-12所以P'2,32,将军从P出发到达直线上点A再到营区,因为PA=P'A,所以本题问题转化为求点P'2,32到营区的最短距离,根据圆的几何特征可知最短距离为|P'O|-1=22+322-1=3由3x-4y=0故A点的纵坐标为15149.(10分)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程.(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.【解析】(1)经过两条已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.所以|10+5λ即2λ2-5λ+2=0,所以λ=2或12所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.(2)由2x+y-5=0,x设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立,其余距离d与PA构成直角三角形,PA为它们的斜边),所以dmax=|PA|=10.【能力提升练】10.(5分)(2024·福州模拟)已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,l2:y=-2x+1,l3:y=-1nx-1n.若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为(A.-10 B.-2 C.0 D.8【解析】选A.因为l1∥l2,所以kAB=4-mm+2=-2,解得m=-8,又l2⊥l解得n=-2.所以m+n=-10.11.(5分)美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭:将整个脸部按照发际线至眉骨,眉骨至鼻底,鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭,各占脸长的13,五眼:指脸的宽度比例,以眼形长度为单位,把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图,假设三庭中一庭的高度为2cm,五眼中一眼的宽度为1cm,若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘,且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点,则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为(A.524cm B.C.924cm D.【解析】选B.如图,以鼻尖所在位置为原点O,中庭下边界为x轴,垂直中庭下边界且过鼻尖的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(12,4),B(-3直线AB的方程:y-42整理为x-y+72原点O到直线距离为721+1=712.(5分)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,1),且|AC|=|BC|,则△ABC的欧拉线的方程为()A.2x+4y-3=0 B.x-2y-3=0C.2x-y-3=0 D.4x-2y-3=0【解析】选D.由|AC|=|BC|及题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线,因为AB的中点为M(1,12),斜率kAB=-12,所以AB垂直平分线的斜率k因此△ABC的欧拉线的方程为y-12=2(x-1),即4x-2y-3=013.(5分)在△ABC中,点A(2,-1),AB边上中线所在的直线方程为x+3y-6=0,∠ABC的内角平分线所在的直线方程为x-y+1=0,则点B的坐标为(52,72),△ABC的边BC所在直线的方程为x-9y【解析】设点B(x,y),则x-y+1=0,x+22+3×y-设点A(2,-1)关于x-y+1=0的对称点A'(m,n),则AA'的中点坐标为(m+22,n-12),于是n+1m则A'(-2,3),所以kA'B=72-3所以直线BC的方程为y-72=19(x-即x-9y+29=0.14.(10分)(2024·宁波模拟)已知两条直线l1:ax+y+a+1=0,l2:2x+(a-1)y+3=0.(1)若l1,l2不重合,且垂直于同一条直线,求a的值.(2)从①直线l过坐标原点,②直线l在y轴上的截距为2,③直线l与坐标轴形成的三角形的面积为1.这三个条件中选择一个补充在下面问题中,并作答.若a=0,直线l与l2垂直,且__________,求直线l的方程.

【解析】(1)因为l1,l2不重合,且垂直于同一条直线,所以l1∥l2,所以a(a-1(2)因为a=0,直线l2:2x-y+3=0,其斜率为2,又直线l与l2垂直,所以直线l的斜率为-12选条件①.由直线l过坐标原点,则直线l的方程为y=-12x,即x+2y=0选条件②.由题意设直线l的方程为x+2y+c=0,令x=0,则y=-c2,则-c2=2,即所以直线l的方程为x+2y-4=0.选条件③.由题意设直线l的方程为x+2y+c=0,令x=0,则y=-c2,令y=0,则x=-c所以12×|-c2|×-c=1,解得c=±2,直线l的方程为x+215.(10分)已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,若坐标平面内存在一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,求点P的坐标.【解析】设点P的坐标为(a,b),因为A(4,-3),B(2,-1),所以线段AB的中点M的坐标为(3,-2).而AB所在直线的斜率kAB=-3+14-2=-1,所以线段AB的垂直平分线方程为即x-y-5=0.因为点P(a,b)在直线x-y-5=0上,所以a-b-5=0①;又点P(a,b)到直线4x+3y-2=0的距离为2,所以|4即4a+3b-2=±10②.联立①②,解得a=1,故所求点P的坐标为(1,-4)或(277,-87【素养创新练】16.(5分)已知M(-1,3),N(2,1),点P在x轴上,且使PM+PN取得最小值,则最小值为5,此时点P的坐标为(54,0)【解析】如图所示:点N关于x轴的对称点为Q(2,-1),由对称性可知PN=PQ,所以,PM+PN=PM+PQ≥MQ=(-1当且仅当M,P,Q三点共线时,等号成立,直线MQ的斜率为kMQ=3+1-1-2=-43,直线MQ的方程为y+1=-43(联立4x+3y即点P(54故当点P的坐标为(54,0)时,PM+PN取得最小值5核心素养测评·拓展拔高练一集合(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=()A.{-1,2} B.{1,2}C.{1,4} D.{-1,4}【解析】选B.B={x|0≤x≤2},故A∩B={1,2}.2.(5分)(2024·大连模拟)已知集合A={1,a2+4a,a-2},-3∈A,则a= ()A.-1 B.-3C.-3或-1 D.3【解析】选B.因为-3∈A,所以-3=a2+4a或-3=a-2,若-3=a2+4a,解得a=-1或a=-3,当a=-1时,a2+4a=a-2=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a=-3时,集合A={1,-3,-5},满足题意,故a=-3成立,若-3=a-2,解得a=-1,由上述讨论可知,不满足题意,故舍去,综上所述,a=-3.3.(5分)(2024·成都模拟)定义:若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身,则称这个数是自恋数.已知集合A={4,26,81,153,370},B={x∈A|x是自恋数},则B的子集个数为 ()A.16 B.8 C.4 D.2【解析】选B.因为41=4,所以4是自恋数,因为22+62=40≠26,所以26不是自恋数;因为82+12=65≠81,所以81不是自恋数;因为13+53+33=153,所以153是自恋数;因为33+73+03=370,所以370是自恋数;所以B={4,153,370},则子集个数为23=8.4.(5分)(2024·沈阳模拟)设集合A={x|x(4-x)≥3},B={x|x>a},若A∩B=A,则a的取值范围是 ()A.(-∞,1] B.(-∞,1)C.(-∞,3] D.(-∞,3)【解析】选B.解不等式x(4-x)≥3,即x2-4x+3≤0,解得1≤x≤3,即A={x|1≤x≤3},因为A∩B=A,且B={x|x>a},则A⊆B,所以a<1.5.(5分)(多选题)方程组x+y=3x-y=A.(B.(C.{1,2}D.{(1,2)}【解析】选ABD.方程组x+y=3x-y=-1的解为x=1y=2,所以方程组6.(5分)(多选题)(2024·佛山模拟)已知集合A={x|x2-2x-3<0},集合B={x|2x-4<0},则下列关系式正确的是 ()A.A∩B={x|-1<x<2}B.A∪B={x|x≤3}C.A∪(∁RB)={x|x>-1}D.A∩(∁RB)={x|2≤x<3}【解析】选ACD.由x2-2x-3<0,(x-3)(x+1)<0,解得-1<x<3,所以A={x|-1<x<3};由2x-4<0,解得x<2,所以B={x|x<2}.对于A,A∩B={x|-1<x<2},故A正确;对于B,A∪B={x|x<3},故B错误;对于C,∁RB={x|x≥2},A∪(∁RB)={x|x>-1},故C正确;对于D,由选项C可知∁RB={x|x≥2},A∩(∁RB)={x|2≤x<3},故D正确.7.(5分)(2024·运城模拟)若集合A={-1,1},B={x|ax=1},且B⊆A,则实数a取值的集合为__________.

【解析】由B⊆A,所以集合B可以是{-1},{1},⌀,当B={-1}时,则-a=1,解得a=-1;当B={1}时,可得a=1;当B=⌀时,可得a=0;所以a的取值的集合为{-1,1,0}.答案:{-1,0,1}8.(5分)设集合A={-1,1,2},B={a+1,a2-2},若A∩B={-1,2},则a的值为________.

【解析】由题知a+1=a+1=2,a2-2=经检验,a=-2和a=1均满足题意.答案:-2或19.(10分)(2024·徐州模拟)已知a为实数,A={x|9-x3≥8},B={x|2-a≤x≤2a-1}(1)若a=2,求A∩B,∁AB;(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为a=2,由9-x3≥8,得x所以A={x|x≤3},B={x|0≤x≤3},所以A∩B={x|x≤3}∩{x|0≤x≤3}=[0,3],∁AB=(-∞,0).(2)因为A∩B=B,所以B⊆A,由(1)知,A={x|x≤3},当B=⌀时,2a-1<2-a,解得a<1;当B≠⌀时,2a-1≥2综上所述:实数a的取值范围是(-∞,2].【能力提升练】10.(5分)(多选题)设集合M={x|x=(a+1)2+2,a∈Z},P={y|y=b2-4b+6,b∈N*},则 ()A.P⊂M B.1∉PC.M=P D.M∩P=⌀【解析】选BC.因为a∈Z,所以a+1∈Z,且(a+1)2+2≥2,即M={x∈N*|x≥2},因为b∈N*,b2-4b+6=(b-2)2+2≥2,所以P={y∈N*|y≥2},所以1∉P且M=P.【误区警示】解答本题的关键是对集合P中的元素满足的等式进行配方变形,否则,不易判断两个集合之间的关系,耽误时间.11.(5分)(多选题)(2024·南充模拟)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1≤x≤2m-1},则使A⊆∁UB成立的实数m的取值范围可能是()A.{m|6≤m≤10}B.{m|-2<m<2}C.{m|-2<m<-12D.{m|5<m≤8}【解析】选BC.①当B=⌀时,令m+1>2m-1,得m<2,此时∁UB=R符合题意;②当B≠⌀时,m+1≤2m-1,得m≥2,则∁UB={x|x<m+1或x>2m-1},因为A⊆∁UB,所以m+1>7或2m-1<-2,解得m>6或m<-12因为m≥2,所以m>6.综上,m的取值范围为{m|m<2或m>6}.12.(5分)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,2,4,5},集合B={2,3,4,6},用如图所示的阴影部分表示的集合为__________.

【解析】因为全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,2,4,5},集合B={2,3,4,6},所以A∩B={2,4},A∪B={0,2,3,4,5,6},所以阴影部分的集合为∁(A∪B)(A∩B)={0,3,5,6}.答案:{0,3,5,6}13.(5分)已知M,N为R的子集,若M∩(∁RN)=⌀,N={1,2},则满足题意的M的个数为________.

【解析】因为M∩(∁RN)=⌀,所以M⊆N,又N={1,2},所以M={1}或M={2}或M=⌀或M={1,2},故满足题意的M的个数为4.答案:414.(10分)(2024·深圳模拟)已知A={x|x2-x-6≤0},B={x|a-2<x<3a},全集U=R.(1)若a=2,求A∩(∁UB);(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为A={x|x2-x-6≤0},所以(x-3)(x+2)≤0,解得-2≤x≤3,所以A=[-2,3],当a=2时,B=(0,6),∁UB=(-∞,0]∪[6,+∞),所以A∩(∁UB)=[-2,0];(2)因为B⊆A,所以当B=⌀时,a-2≥3a,解得a≤-1,当B≠⌀时,a-2≥-所以实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[0,1].15.(10分)已知集合A={x∈N|3x2-13x+4<0},B={x|ax-1≥0}.(1)当a=12时,求A∩B(2)若__________,求实数a的取值范围.

请从①A∪B=B,②A∩B=⌀,③A∩(∁RB)≠⌀,这三个条件中选一个填入(2)中横线处,并完成第(2)问的解答.【解析】(1)由题意得,A={x∈N13<x当a=12时,B=x12x-1≥0={x|x(2)选择①:因为A∪B=B,所以A⊆B.当a=0时,B=⌀,不满足A⊆B,舍去;当a>0时,B=xx≥1a,要使则1a≤1,解得a≥1;当a<0时,B=xx≤1a,此时1a<0,A∩B选择②:当a=0时,B=⌀,满足A∩B=⌀;当a>0时,B=xx≥1a,要使A∩B=⌀,则1a>3,解得0<a<13;当a<0时,B=xx≤1综上,实数a的取值范围为(-∞,13)选择③:当a=0时,B=⌀,A∩(∁RB)=A≠⌀,满足题意;当a>0时,B=xx≥1a,∁RB=xx<1a,要使则1a>1,解得0<a当a<0时,B=xx∁RB=xx此时A∩(∁RB)=A≠⌀,满足题意,综上,实数a的取值范围为(-∞,1).【加练备选】(2024·葫芦岛模拟)已知集合A={x|x<-3或x>7},B={x|m+1≤x≤2m-1}.(1)若(∁RA)∪B=∁RA,求m的取值范围;(2)若(∁RA)∩B={x|a≤x≤b},且b-a≥1,求m的取值范围.【解析】(1)由题意知,∁RA={x|-3≤x≤7};因为(∁RA)∪B=∁RA,所以B⊆(∁RA);①当B=⌀,即m+1>2m-1时,满足B⊆(∁RA),此时m<2;②当B≠⌀时,若B⊆(∁RA),则m+1≤2m-综上所述,m的取值范围为{m|m≤4}.(2)因为(∁RA)∩B={x|a≤x≤b},b-a≥1,所以B≠⌀,即m+1≤2m-1,解得:m≥2,所以m+1≥3,2m-1≥3;①当2m-1≤7,即m≤4时,(∁RA)∩B=B={x|m+1≤x≤2m-1},所以2m-1-(m+1)≥1,解得:3≤m≤4;②当2m-1>7m+1≤7,即4<m≤6时,(∁RA)∩B={x所以7-(m+1)≥1,解