人教版高中数学选修1第二章《圆锥曲线与方程》师用

选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》

§2.1.1椭圆及其标准方程

【知识要点】

•椭圆的定义：到两个定点尸|、尸2的距离之和等于定长的点的轨迹.

22________

•标准方程:(1)5+齐=l(a>Z?>0),c=da1-b2)焦点是FiC-c,0),Fi(c,0)；

22________

22

(2)^+~=\(a>b>Q),c=y]a-b,焦点是F,(0,-c),F2(0,c).

【例题精讲】

【例J1]两个焦点坐标分别是(一4,0)、(4,0),椭圆上一点尸到两焦点的距离之和等于10,写出椭圆的

标准方程.

解：因为椭圆的焦点在x轴匕所以设它的标准方程为£+g=l

v2n=10.2e=8.a=5.c=4.

：.b2=a2-c2=52-42=9.

所以所求椭圆标准方程为二+二=1.

259

点评：写椭圆的标准方程的条件是：一是焦点位更，二是『和/的值.

(35、

【例2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2)且过-二,一，求椭圆的标准方程.

I22)

解：因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为£+£=1(«>i>0).

a"廿

2

由椭圆的定义知，2a小勾+(1-2)=l^yio+y>Ao=2^10,:.a=M.

22

又c=2,:.b"=a2-c2=10—4=6»所以所求标准方程为—n—=1•

106

另法:,:=n"-c2=a"-4»

二可设所求方程E+f—=1，后将点(-上，-)的坐标代入可求出a,从而求出椭圆方电

a'—422

点评：题(1)根据定义求.若将焦点改为(0,—4)、(0,4)其结果如何；题(2)由学生的思考

与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距,

求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程.

【例J3]判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出“，江c的值.

①二+二=1；②工+工=1：③三-二=1：④4/+9x?=36.

2242-42

解：①表示圆；②表不椭圆；a=2,b=y[2,c=y/l：

③不是椭圆（是双曲线）；

22

④4）广+9戈2=36可以表布为*+g=l,是椭圆，a=3,6=2,c=>/5•

【例4】己知"8C的一边BC的长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程.

解法一：以边为x轴，线段的中垂线为），轴建立直角坐标系，则4点的轨迹是椭圆，

22

其方程为：—+--=1（1yH0）.

2516

解法二：以5C边为），轴，线段的中垂线为x轴建立直角坐标系，则/点的轨迹是椭圆，

22

其方程为：—+^-=1（x*0）.

1625

点评：1.要明确建立坐标系，这是解析几何的重要特征，如何建系将关系到结果的繁与简.

2.要熟悉椭圆的定义.

【基础达标】

1.椭圆二+±=1上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为（）

259

A.5B.6C.4D.10

X2y2

2.椭圆一+乙=1上任一点P到两个焦点的距离的和为（）

1312

4.26B.24C.2D.25/13

22

3.已知工，心是椭圆全+方=1的两个焦点，过£的直线交椭圆于M，N两点，则周长为

（）

A.10B.16C.20D.32

4.椭圆的两个焦点分别是弱（一8,0）和心（8,0）,且椭圆上一点到两个焦点距离之和为20,则此椭

圆的标准方程为（)

2222,2

xy1厂xy1

B.-------F--二1Cr.-------J1-,11D.------F——二I

5.椭圆三+二=1的焦距是2,则机的值为（）

m4

A.5或3B.8C.5D.16

6.椭圆工+匕=1的焦距是，焦点坐标为.

169

7.焦点为（0,4）和（0,—4）,且过点（6,-3石）的椭圆方程是

6.2c=2了;耳(-",0),月(6,0)7.三+5=1

1〜5ADCCA-0

【能力提高】

8.如果方程/+A）a=2表示焦点在y轴上的椭圆，求实数人的取值范围.

0<x<1.

9.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

(I)a=4,b=3,焦点在x轴:(2)a=5,c=2,焦点在y轴上.

（1）答案:-厂--1--广--1,；(/一2、)-K--1—厂=,1

1692521

10.求到定点（2,0）与到定直线48的距离之比为J的动点的轨迹方程.

2

x2+2y2+8x-56=0

§2.1.2椭圆的简单几何性质（一）

【知识要点】

•熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等简单几何性质.

•掌握标准方程中a,b,c的几何意义，以及a,b,c,e的相互关系.

•理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法.

【例题精讲】

【例1】已知椭圆的中心在坐标原点0,焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正

方形，且离心率为红，求椭圆的方程.

2

22

解：设椭圆方程为

由已知得」二==1...所求椭圆方程为千+)2=1.

a2

C2=1

=lr+u

［例2］已知X轴上的一定点A(1,0),。为椭圆上+>2=1上的动点，求AQ中点M的轨迹方程.

4

解：设动点M的坐标为(x,y),则。的坐标为(2x-1.2y).

2

因为点0为椭圆L+.d=1上的点，

4

所以有I'+(2l，)2=l,即(工一人)2+4］，2=1

42

所以点M的轨迹方程是(x—g)2+4丫2=1,

点评：求点的轨迹方程时，常用坐标转换的方法.

【例3】椭圆工+二=1上有一点P,它到椭圆的左焦点K的距离为8,求△PFF，的面积.

100361,2

解：由椭圆的定义，得|「石|+「其|=2。=20,所以PF2\=11

又cosZ^PF,=1叫『+也『-苞刀=82+12。=」

2x|PJ］'xPF212x8x124

:.sin4F［PFA=..则S亚百R=7x8xl2x4：.—12y/15.

点评：1.善于运用椭圆的定义求解焦半径问题.

2.要善于作图分析，这是解题的关键.

2

【例4］设尸是椭圆,+y2=i(a>i)短轴的一个端点，°为椭圆上的一个动点，求|p0|的最大

值.

解：依题意可设P((U).O(XJ，),则TOIRF+ID2,又因为。在椭圆上，

所以，淬七2(1一力,

甲0|2=J(1一/力,2_2rH=(1_2y+l+J=(l-J)®)2_y^+i+J

因为|y|WLa>L若心R则2日,当>=i_2时,甲。|取最大值Y_；;

【a11aai

若l<a<®则当产一1吐|P0|取最大值2.

【基础达标】

1.已知P是椭圆工+二=1上的一点，若P到椭圆右焦点的距离是则P点到椭圆左焦点的

100365

距离是()

1666八7577

A.—B.—C.—D.—

5588

22

2.若焦点在x轴上的椭圆二+=1的离心率为则m二()

2m2

382

A.\/3B.-C.一D.-

233

O

4.设定点K(0,一3)、F2(0,3),动点P满足条件|PK|+|P段=a+—(a>0),则点尸的轨迹

是()

A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段

5.若椭圆短轴长等于焦距的G倍，则这个椭圆的离心率为()

\_旦6

A.C.D.

42

6.已知椭圆C的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆C的离心率等于

7.离心率e=L，一个焦点是尸(0,—3)的椭圆标准方程为.

2

4V2x2

6、-7.^―+—=1

1~5BBDDD53627

【能力提高】

22

8.求过点A(—1,-2)且与椭圆匕+2=1的两个焦点相同的椭圆标准方程.

69

22

工-匚=1

36

9.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e=2,短轴长为8行，求椭圆的方程.

3

b=4yf5

.c24=12V"y"工2

解:由^=—=—=段一.•椭圆的方程为：示+范=1或力+而4

a3

J-b2=c2

10.设有一颗卫星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于桶圆轨道的焦点处，当此卫星离地球相

距加万千米和一根万千米时，经过地球和卫星的直线与椭圆的长轴夹角分别为2和2,求该卫星与

323

地球的最近距离.

/.a-c=^-m,即卫星与地球的最近距离为三用万千米.

33

§2.1.2椭圆的简单几何性质(二)

【知识要点】

•掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质.

•能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题.

【例题精讲】

【例1】已知椭圆C的焦点2夜,0）和母（2夜,0）,长轴长6,设直线y=x+2交椭圆C于A、

B两点,求线段AB的中点坐标.

解：由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中c=2&,。=3,从而6=1,所以其标准方程是：

2

2fX2_

二+/=1.联立方程组,；互一】=1,消去），得，10X2+36X+27=0.

［y=x+2

设4（再,弘），B（9,”），*8线段的中点为M（而,北）

=_

那么：xx~•Xo='；%='，所以％=与+2=2.

也就是说线段43中点坐标为（-91，I1）.

【例2】椭圆的中心为点E（—1,0）,它的一个焦点为尸（-3,0）,且椭圆的离心率6=飞一，求

这个椭圆的方程.

解：椭圆的中心为点工（一1.0）.它的一个焦点为广（一3.0）.半焦距c=2,

又£=芷.二/=5.9=1,则这个椭圆的方程是上上+12=1.

。55

Y~2

【例3］已知椭圆一+>2=1的左焦点为凡o为坐标原点，求过点。、F,并且与直线/：户一2

2

相切的圆的方程.

解Iva'=2.b~=1.c-1./"（—1.0）.

•.•圆过点O,F,圆心M在直线x=

设M.r）.则一半径r=（・；）-（-2）

由=,•.得’（-!）,+户=；.解得r

..所求圆的方程为（x++（y±、万）：

?2

［例4］如图，把椭圆二+2v-=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半

2516

部分于6P2,P3,P4,P5,Pb,鸟七个点，尸是椭圆的一个焦点,则出目+后月+区川+区目+区产|+

区q+阳村=-

22

解：如图,把椭圆工+二=1的长轴分成8等份，过每个分点作X

2516

轴的垂线交椭圆的上半部分于&月2.月・月.月.日七个点，石是椭圆的一个焦点，

则根据椭圆的对称性知，6月1+15石R与初+月月|=2。，

同理其余两对的和也是2〃，

又出耳|=a,

；•出产|+归产|+|亭1+归产1+1学1+即1+区尸1=7”35.

【基础达标】

22

1.椭圆工+匕=1上的点P到它的左焦点的距离是12,那么点P到它的右焦点的距离是（）

10036

A.15B.12C.10D.8

元22

2.已知椭圆一7+左=•。*）的两个焦点为K、F2,且尸闾=8，弦4B过点尸］,则△48尸2的周长

为（）

A.10B.20C.2历D.4741

22

3.椭圆会+乙=1的焦点K、FvP为椭圆上的一点，已知PK_LPF2,则△F］P%的面积为（）

A・9B.12C.10D.8

22

4.椭圆工+乙=1上的点到直线x+2y-y/2=0的最大距离是（）

164

A.3B.拒C.20D.Vi（j

22

5.如果椭圆二+上•=1的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）

369

A.x—2y=0B.x+2y—4=0C.2x+3y_12=0D.x+2y—8=0

22

6.与椭圆二+2-=1具有相同的离心率且过点（2,一百）的椭圆的标准方程是.

43

7.离心率6=^，一个焦点的坐标为［-［，。］的椭圆的标准方程是.

ux2y1,p3y24x2,_x29y2,

6.—+■：—=1或一;―+——=17、一+-^-=1

1~5DDBAD862523’20

【能力提高】

22

8.已知椭圆三+二=1上的点P到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求P点坐

94

标.

(0,2)或(0,-2)

X2y2

9.过椭圆一+上-=1内一点。（1,0）引动弦AB,求弦4B的中点M的轨迹方程.

94

9.提示：设4(X1，“)，Ba”%)，-铝的中点M(x.y),则x='；J,y=且4x：+9y：=36

①4xJ+9W=36②，①•②得夫再-x1(xi+工2)+9(”-心心+必)=。

.Mf4(.+x?)4x乂一外..，.4xy

x「x「9($+川-%乂x-x「*”0M-x-l9<x-l

即所求的轨迹方程为4(x-g)2+9/=1

221

10.椭圆器+?=1上有两点尸、Q,。是原点，若OP、OQ斜率之积为-求证|OP『+|O。『为

定值.

10.提示：设直线。尸的方程为y=Ax,则直线。。的方程为y=-*x

y=kx2_16

'一行IJ216+16好

由,x2y2，得，，八,•/0尸=x+y=—72—

----1-----=1,16左4A-+1

164y

一4二+1

64P.sm2八〜216+16*64无、4”

同理可求得Q。'•.OP+OQ=-------------1------------=20

4二+11v4k-+14A-2+l

§2.2.1双曲线及其标准方程

【知识要点】

•掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程；

•掌握双曲线标准方程的推导，会求动点轨迹方程;

•会按V特定条件求双曲线的标准方程;

•理解双曲线与椭圆的联系与区别.

【例题精讲】

【例1】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量。，h,c的值.

③?”1④4),2-9x2=36

①+万②沁=1

解］①是双曲线，a=2,b=J5,c=遍:②是双曲线，a—＞/2,b=-J2,c=2：

③是双曲线a=0,b=2,c=逐：④是双曲线，a=3,b=2,c=\fl3,

点评：双曲线标准方程的格式：平方差，x*项的系数是正的，那么焦点在x轴上，x?项的分母是一;

丁项的系数是正的，那么焦点在「轴上，项的分母是

【例2】己知双曲线的焦点在），轴上，中心在原点，且点［（3,—仪乙）、41*5］在此双曲

线上，求双曲线的标准方程.

解：设所求双曲线的标准方程为［-［=1（a＞0.i＞0）,

ab-

,解之得：-4=—A=-«所以，所求双曲线的标准方程为^-―=i.

则有,

a16b29169

【例3】点A位于双曲线*•一方=1（。＞0力＞0）上，B，尺是它的两个焦点，求△AQB的重心

G的轨迹方程.

解：设入巧后的重心G的坐标为（x.r）,则点A的坐标为（3.V.3.V）,

22

因为点d位于双曲线二-三=1（。＞0力＞0）上，

a

22

所以，AlFjE的重心G的轨迹方程为----i------r—-=1（1*0）♦

（a/3y（b/3y

点评：求轨迹方程，常用的方法是直接求法和间接求法两种.讲解本题有利于培养学生数学思维的

缜密性，养成严谨细致的学习品质.

【例4］已知三点P(5,2)、Fi(-6,0)、F2(6,0).

（1）求以E、凡为焦点且过点P的椭圆的标准方程;

（2）设点P、Fl、尸2关于直线y=x的对称点分别为p'、F；、",求以"、工为焦点且过点户的双曲线

的标准方程.

22

xy22

解：（1）设所求椭圆方程为=1(Qb>0)淇半焦距c=6,为=|两|+|理|=711+2+V?+F=4

22

。=36.b2=a2-c2=9,所以所求椭圆的标准方程为二+二=1.

459

（2）点尸（5.2）、下1（-6.0）、巴（6.0）关于直线），=x的对称点分别为点尸（2,5）、F/（0,-6）,F,'（0.6）.

设所求双曲线的标准方程为二-三=1（6>0.4>0），由题意知，半焦距ci=6,

ai牛

2q=卜居［-，石］=|>/112+22-V12+22=4>/5,q=2后.br=ci2-ai2=36-20=16.

22

所以，所求双曲线的标准方程为工-二=1.

2016

【基础达标】

X2

双曲线=1的焦距是)

川+124-m2

A.4B.272C.8D.与机有关

2.椭圆工+二=1和双曲线二一匕=1有相同的焦点，则实数〃的值是（）

34n2n216

A.±5B.±3C.5D.9

2222

3.若0<Z<a,双曲线-----J=1与双曲线三一当=1有（）

a--kb+ka'b-

A.相同的虚轴B.相同的实轴C.相同的渐近线D.相同的焦点

4.过双曲线亮一5=1左焦点K的弦A3长为6,则△ABB（B为右焦点）的周长是（）

A.28B.22C.14D.12

XC

5.设居，尸2是双曲线——y=1的焦点，点P在双曲线上，且/尸尸尸2=90°,则点尸到X轴的距离

4

为（)

A.1B.§C.2D.,x/5

6.到两定点F]（-3,0）、Fi（3,0）的距离之差的绝对值等于6的点m的轨迹是.

22

7.方程J+\=l表示双曲线，则k的取值范围是.

1-5CBDAB6.两条射线7,上＞1或无＜-1

【能力提高】

8.求与双曲线土-工=1有公共焦点，且过点（3&,2）的双曲线方程.

164

8.解法一：设双曲线方程为二二=1.由题意易求c=2JT

又双曲线过点（3无，2）,二凸妤—-三=1.

a'O

22

又・・・J+b2=（2V5）2,・・.J=12,d2=8.故所求双曲线的方程为二一二=1.

128

•＞2

解法二：设双曲线方程为三一一二一=1,

16—上4+方

22

将点（38，2）代入得I,所以双曲线方程为二二=1.

128

9.如图，某农场在尸处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路B4或P8送到庄稼地ABCC中去，已知24=100

m,PB=l50m,ZAPB=60°.能否在田地A8C£＞中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路外送

肥较近；而另一侧的点，沿道路P8送肥较近？如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其

方程.

9.解：设M是这种界线上的点，则必有陛4|+日|=幽Bj+iPA,即四4|一幽=50.

这种界线是以4、3为焦点的双曲线靠近B点的一支.建立以AB为x轴，4中点。为原点的直

角坐标系，则曲线为、■—3=1,其中0=25,c=^'iAB\.分

AB=V1002+1502-2x100x150xcos600=50"../\

:・c=25币,a2=3750.------------

.•.所求曲线方程为「二一工-KxeZS,ye0）.\/

6253750\/

10.已知点4卜①。）和8便,0）,动点C到4、8两点的距离之差的绝对值力2后、匕刑机迹与

直线尸一2交于。、E两点,求线段QE的长.

10.解：设点C（2），则陀川-|CB||=2.根据双曲线定义，可知C的轨迹是双曲线*-3=L由

2

2a=2,2c=|^1B|=2^3,得『=1,6>=2,故点C的轨迹方程是x?-L=l.

2

由2，消y得Y+dx-GnO,

1=x-2

VA>0,二直线与双曲线有两个交点，设2?（再,.》）,Ee、心）•则内+工2=7，AIX2=-6.

故|Z）E|=J1+后2.区-引=&-。（再+看>=4我

§2.2.2双曲线的简单几何性质（一）

【知识要点】

•掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质.

•掌握等轴双曲线，共轨双曲线等概念.

【例题精讲】

2

【例1】求双曲线/一二=1的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程.

4

解：把方程化为标准方程£-E=i,

I222

由此可知，实半轴长a=L虚半轴长6=2,半焦距长,3+〃=#+22=6,

所以，顶点坐标是（一1,0）,（1,0）,

焦点的坐标是（一石，0）,（V?,0）.

渐近线方程为±±2=0,即）,=±2x.

12

【例2］求一条渐近线方程是3x+4产0,一个焦点是（4,0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离

心率.

解：设双曲线方程为：9x2-16v2=/i,

,••双曲线有一个焦点为（4,0）,..2>0,

双曲线方程化为：二-二=1=4+二=16=d=空~,

x291625

?16

...双曲线方程为：4-与=1，/.«=4=--

256144164

石方T

22

【例3］求与双曲线土-工=1共渐近线且过A（36,-3）的双曲线的方程.

169

解：设所求双曲线的方程为

则丝匚-丝1=2,从而有2=U.

433’16

所求双曲线的方程为三-鱼=1.

1199

点评：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，即可求得.

【例4】已知△ABC的底边BC长为12,且底边固定，顶点A是动点，使sinB-sinC=—sinA,求

2

点A的轨迹.

分析；首先建立坐标系，可利用正弦定理将其化为边的关系.

解：以底边BC为x轴，底边BC的中点为原点建立坐标系，这时次-6.0）,C（6.0）,

由sinB—sinC=：sin4得b-c=：a=6,即|ACi-1.IB|=6*

所以，点d的轨迹是以B（-6,0）.C（6.0）为焦点，2。=6的双曲线的左支.

2j

其方程为：—-=l（x<-3）»

点评；求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出（或联想到）轨迹上的动点所满足的几何

条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些凯迹上的动点满足的

几何条件可能比较隐蔽和复杂.

【基础达标】

1.下列方程中，以x±2），=0为渐近线的双曲线方程是（）

2222

XV1xy1y2V]

A.-------=1B.-------=1C.--/=1D.x--------=1

16441622

2.已知双曲线的离心率为2,焦点是（一4,0）,（4,0）,则双曲线方程为（)

22222222

Aryv.xy1xy1工上=1

A.-------=1B.———=1C.-------二1D.

412124106610

3.过点（3,0）的直线/与双曲线只有一个公共点，则直线/共有（）

A.1条B.2条C3条O.4条

4.方程/加+町^+相片。（m<〃<0）所表示的曲线的焦点坐标是（）

A.(0,±B.(0,±C.（±>/，〃一刀,0）D.(±>/〃-〃7,0)

5.与双曲线方-a=1有共同的渐近线，且经过点4（-3,26）的双曲线的一个焦点到一条渐近

线的距离是（)

A.8B.4C.2D.1

6.双曲线9尸一4f=36的渐近线方程是.

7.经过点M(3,-1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是

6.二x7.X2—J2=8

\-5AACBC'3

【能力提高】

8.求一条渐近线方程是3x+4)=0,一个焦点是(5,0)的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率.

8.解：设双曲线方程为：9.v2-16y2=/l,•.•双曲线有一个焦点为(5,0),A2>0.

双曲线方程化为：二一二=1=4+上=25=2=144,

Xx916

716

22

...双曲线方程为：二-二=1,e=:

1694

9.求以椭圆匕+L=1的顶点为焦点，且一条渐近线的倾斜角为出的双曲线方程.

64166

9.解:椭恻的顶点坐标为(±8,0)、(0.±4).

22

,/双曲线渐近线方程为x士JJ.y=0,则可设双曲线方程为x?-3/水上K0),即二一二=1一

kk(3

,22

若以(±8.0)为焦点，则—£=64,得18,双曲线方程为二二-=1：

34816

,22

若以(0,±4)为焦点,则9k=16,k=12,双曲线方程为亍p7=l.

10.已知双曲线的方程是161-9)2=144.

(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程：

(2)设居和尸2是双曲线的左、右焦点，点尸在双曲线上，且|PF4|P&|=32,求/居PF?的大小•

Y*V

解：(1)由16戈9j「=144得:——2—=1,

916

.*.o=3,b=4,c=5.焦点坐标尸1(—5,0).尸j(5,0),离心率e=工，渐近线方程为j=±±x.

33

i2

PF।iPrnA厂\PFl^\PF2\-\FXF21

(2)IpFil一匹上6,cosNQ"尸-----2即|百|-----

_(］明H尸玛|)、2两口尸取寸_36+64-100

------------------------------------------------------------------------------------------------U.

2\PFl\\PF2\64

/.ZFIPF2=90".

§2.2.2双曲线的简单几何性质（二）

【例题精讲】

【例J1］如果双曲线的两个焦点分别为6（一3,0）、&（3,0）,一条渐近线方程为了=瓜，那么

它的离心率是（）

A.66B.4C.2D.73

解:如果双曲线的两个焦点分别为尸1（-3.0）、5（3.0）,一条渐近线方程为丁=

a2+从=9

/=33

b，解得）9所以它离心率。=—=-产=,选D.

一=Vr2b2=6

a

【例2】过双曲线5-亮=1的左焦点K，作倾斜角为a=?的直线与双曲线交于两点48,求|4邳

的长.

22

解：双曲线二一二=1的左焦点B（5.0）.出线的斜率为bl.

916

22

设直线的方程是y=x+5,与双曲线三一■^■=1联立，消去y得7x2-90r—369=0.

代入弦长公式得明三学

［例3］已知动点P与双曲线/一丁=1的两个焦点尸I，尸2的距离之和为定值，且COS/F/F2的最小

值为-1.求动点P的轨迹方程.

3

22

解：（1）Vx—>>=1>."=啦.设0尸1+尸尸2|=2。（常数。>0）,2a>2C=RL；.a>质.

电1F+愿24岛［（出+质）22斤/咋尸内［2/4

由余弦定理有。8/尸1尸尸2=21PBl小一27尸L一的？尸2厂

•••解飞尸尸2区（―2=J，.•.当且仅当"1尸照书时，平打甲尸2|取得最大值决

2z?"-"4—41、

此时cosNFiPF?取得最小值一^--1,由题意=k7=一了解得厂=3,

2=a2-?=3-2=l

:.b2

:.P点的轨迹方程为

点评：涉及余弦值，就要联想余弦定理.

【例4］己知不论6取何实数，直线产自+6与双曲线，-2y2=1总有公共点，试求实数上的取值范围.

v=kx+b

解：联立方程组＜.,,消去y得(2k1—1)x2+4tox+(2i'+l)=0,

X2-2V2=1

2h"+1

当1一2二=0,即k=士=时，若i=0.则若X=x=士下，不合题氤

当1-2好H0,即k=士土时,依题意有△=（4