2022-2023学年西藏拉萨市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022.2023学年西藏拉萨市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合时={幻-3Wx<4},/V={x|x2-2x-8<0},则()

A.MUN=RB.MU/V={x|-3<x<4}

C.Mn/V={%|-2<%<4}D,MC\N={x\-2<%<4]

2.若41+i)=l-i，则z=()

A.1—iB.1+iC.-iD.i

已知函数/Q）=E+JU。'则f（3）的值是（）

3.

A.1B.2C.8D.9

已知tana=2,则/吧善竺=()

4.2cosa+3stna

1B-C-Dl

A.34J8

已知》>0,y>0,且：+g=l,则xy的最小值为（）

5.xy

A.2B.8C.16D.64

6.已知向量d=（t,i）,3=（1,2）.若ai则实数t的值为（）

A.-2B.2C.Dl

7.某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这

些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查,随机抽取2名教师做进一步数据分析，则抽取的2

名教师均为初级教师的概率为（）

A.|B.|C.1D.\

8.在AABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a-2b)cosC=c(2cosB-cos4),

△48。的面积为&2$也嘤，则C=()

A.IB.IC*D.年

6433

9.在锐角△ABC中，角4、B所对的边长分别为a、b,若2asinB=Cb，则4A等于()

A.60°B,120°C.30°D.150°

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

10.在正方形/43。。中，8。=1,点七满足屁=土配（0<<:<1），则下列说法正确的是（）

A.当t=^时，AE=1AB+ADB.当t=|时，cos〈荏,函=密

C.存在t,使得荏1,而D.|乐+曲|的最小值为2

11.已知函数f(%)=2s讥％•cos%+2V_3sin2%,贝(J()

A./(%)的最小正周期为江B.第0)是曲线/(%)的一个对称中心

C.%=需是曲线f(x)的一条对称轴D.f(x)在区间/泻)上单调递增

12.设函数f(x)=｛尊/就'<0若函数g(x)"(x)—他有四个零点分别为乙，如如

打，且“1<%2<打</，则下列结论正确的是()

A.0<m<16B.Xi+x2=—4

C.X3-X4=1D.X3+X46(2,e16+—

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量日与B的夹角为120。，且|方|=。|=4，那么九(3d+B)的值为.

14.已知x、yeR,i为虚数单位，且(久-2)+yi=-1+i,则x+y=.

15.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100、200、300、400件，

为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取50件进行检验，则应从丁

种型号的产品中抽取件.

16.如图所示，在矩形ABCD中，AB=/2BC=2，点E在边CD上,

且屁=2正，则荏•而的值是

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知复数z=(2+i)m2-3m(l+i)-2(1-i).当实数m取什么值时;复数z是：

(I)虚数；

(II)纯虚数；

(W)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.

18.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=He，cosC=|.

(I)求5讥4的值；

(II)若b=ll,求△ABC的面积.

19.(本小题12.0分)

为了解某小区7月用电量情况，通过抽样，获得了100户居民7月用电量(单位：度)，将数据按

照［50,100)、［100,150)、…、［300,350)分成六组,制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中X的值；

(2)已知该小区有1000户居民，估计该小区7月用电量不低于200度的户数；

(3)估计该小区居民7月用电量的85%分位数.

20.(本小题12.0分)

某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料

统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过

考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m、n,己知

三个社团他都能进入的概率为二，至少进入一个社团的概率为,，且

244

(Z)求m与71的值；

(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进

入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3

分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率.

21.(本小题12.0分)

已知丘=(1,—1),b=(-2,3)(c—(—6,8).

⑴设C=xd+yB，求x，y的值

(2)当(卜1+2区)与翻勺夹角为锐角时，求k的取值范围.

22.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=，1cos(2x-*)，x€R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)求函数/(x)在区间［-2为上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查交集与并集的求法，考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.

先解不等式化简集合N,由此能求出MUN和MnN.

【解答】

解：：集合M={%|—3<x<4},N={x\x2—2x—8<0}={x|—2<x<4},

•••MUW={x|—3<x<4},

M0/V={x|-2<x<4].

故选：D.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共辄复数的概念得答案.

【解答】

2

解：由5（i+i）=i-i,得3=&=（思L）=T，

*•z-i•

故选D

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查分段函数函数值的求解，属于基础试题.

结合已知函数解析式，可把x=3直接代入即可求解.

【解答】

解：由题意可得，/(3)=3-2=1.

故选：A.

4.【答案】C

【解析】解：因为tana=2,所以cosa*0.

c.^sinacosa,4-c«c

Fffb2sina-cosa=，诉一,=2,即a—l=2x2-1_3

771^2cosa+3sina~22+3陋―2+3tana-2+3x2-8,

cosacosa

故选：c.

进行弦化切，代入求解.

本题主要考查同角三角函数间的基本关系，属于基础题.

28

X>3y>3-+-=

Xy

故xy264,当且仅当[=]=/,即x=4,y=16时，等号成立，

故xy的最小值是64.

故选：

根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.

本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：•••向量2=b=(1,2).若则五4=t+2=0,

•••实数t=-2,

故选：A.

由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出t的值.

本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数为3,2,1.

在抽取到的6名教师中，3名初级教师，2名中级教师，1名高级教师，则抽取2名教师的所有可能

结果为盘=15.

从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师记为事件B,所有可能结果为废=3.

所以P(B)=U

故选：B.

先求出每位教师被抽到的概率，再用每层的教师数乘以每位教师被柚到的概率，即得应从每层教

师中抽取的人数，利用古典概型的概率公式计算，即可得到结果.

本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解:由正弦定理知,--a--=---b--=---c--,

sinA----sinB----sinC

v(a—2b)cosC=c(2cosB-cosA),

・•・(sinA-2sinB)cosC=sinC(2cosB—cosA),

^^sinAcosC+sinCcosA=2(sinBcosC+cosBsinC),

:.sin(i4+C)=2sin(B+C),即sinB=2sinA.

,*,△ABC的面积为Msin”^,

1,.2-A+B

:.Sc=-bcsinAA=azsin—,

根据正弦定理得，•sinC-sinA=s\n2A•

化简得,sinB-sin|cos=sinA-cosp

cc

6os

2-(o,2->0,

.CsinA1

•1•s,n2=^=r

%即c=*

LOJ

故选：c.

先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理,可推出s讥8=

2sinA；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解.

本题考查正弦定理的应用、三角形的面积公式、三角恒等变换，考查分析问题、解决问题的能力,

体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.

9.【答案】A

【解析】解：在锐角A/IBC中，由于2asinB=Cb,

利用正弦定理2sin4sinB=y/~3sinB>

整理得sin4=

故4=60°.

故选：A.

直接利用正弦定理的应用求出结果.

本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属

于中档题.

10.【答案】AD

【解析】解：如图,

当t=g时，DE=^DC,AE=AD+'DE=AD+^DC=^AB+AD,故A正确；

当t=|时，AE=AD+^AB,BE=BC+CE=AD-^AB,

AE-BE=(AD+触B)・(AD-=|AD『+"B•AD-^\AB\2=1-^=

I宿=J1+[=手，1^1=

...cos＜荏,而＞=部=京挚=+=甯,故B错误：

AE=AD+DE=AD+tAB，BE=BC+=AD-(1-t)AB＞

若荏1BE，则荏-BE=(AD+t)AB)

=\AD\2+^2t-l)AB-AD-t^l-t)\AB\2=1-t+t2=0,解得t60,

不存在3使得荏_L而，故C错误；

|荏+诟|2=I荏|2+|帝|2+2荏•丽=1+产+1+(1-t)2+2-2t+2t2=4t2-4t+5,

0<t<1,

•・・当t=：时，I荏+而I的最小值为Jl-4x：+5=2，故。正确.

故选：AD.

把t=：代入，利用平面向量的加法与数乘运算判断4把t=|代入，再由数量积求夹角判断8；

由向量垂直与数量积的关系列式求解3即可判断C；求出|存+而|的最小值判断D.

本题考查平面向量数量积的运算及性质，考查运算求解能力，是中档题.

11.【答案】AD

［解析］解：/(%)=sin2x+A/~~3(1—cos2x)=sin2x-y/~3cos2x+y/~~3

=2sin(2x冶)+T=y=TT,A对.

C，C)是曲线f(%)的一个对称中心，B错.

2%—~+fc7r,/=［+络kWZ,k=-1时，x=k=0时,x=Y5,

3乙1ZZ,乙1z

•••”居不是/⑴的一条对称轴，c错.

-2<2X-3<2'-6<2X<T'-n<X<n'

・・•/)在(一雪，骂)上单调递增,

故/'(X)在区间愿覆上单调递增，。对.

故选:AD.

先求出〃x)=2sin(2x-》+，耳，结合正弦函数的图象与性质对四个选项一一验证即可.

本题主要考查三角函数的恒等变换，属于基础题.

12.【答案】ACD

【解析】解：作出函数/(%)的图象如图所示:

由图象可知，要使函数g(x)=/(%)-m有四个零点，则0cmV16,故A正确；

由于当工40时，/(%)=-％2一8%对称轴为》=一4,所以汽1+%2=-8，故8错误；

当％>0时，/(X)=\lnx\f所以一仇无3="%4，所以％3-4=1，故C正确；

因为0Vm<16,所以0Vlnx4<16,故1Vx4V。m，由于％3-x4=1,

11

所以△+X4=X4+1，由对勾函数知：y=办+=在(1116)上单调递增，

XA%4

故%3+X4e(2,e।+,故£)正确.

故选:ACD.

画出函数图象，数形结合进行求解.

本题考查函数的零点与方程的根之间的关系，以及数形结合思想的应用，属于中档题.

13.【答案】-8

【解析】解：b-(3d+b)=3a-fe+b2=3x4x4xcosl20°+42=-8-

故答案为：-8.

先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解.

本题考查平面向量的数量积运算，熟练掌握数量积的定义和分配律是解题的关键，考查学生的运

算能力，属于基础题.

14.【答案】2

【解析】解：(%-2)+yi=-1+i,

••x—2=—1且y=1；

解得x=1,y=1,

•,-%+y=2,

故答案为：2.

两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部和虚部都相等，由此利用(x-2)+yi=-l+i,能

求出乂+y的值.

本题考查复数相等的充要条件的应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.

15.【答案】20

【解析】解：由题意，甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100、200、300、400件，

用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取50件进行检验，

则应从丁种型号的产品中抽取个数为100+20：着0+400x5。=20件.

故答案为：20.

根据分层抽样的方法，即可求解.

本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

16.【答案】

【解析】解：AE=AD+DE=AD+^DC

BE=BC+CE=BC-^DC=AD-^DC,

则荏-BE=(AD+|DC)•(AD-iDC)=而?-jo?2+^AD-DC=4-|x2=y,

故答案为：意

y

由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积运算求解即可.

本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积运算，属基础题.

17.【答案】解：z=(2+i)m2—3m(l+i)—2(1—i)=(2m2—3m—2)+(m2—3m+2)i.

(I)若z是虚数，则一—3M+2W0,即。1且？nH2；

2

(II)若Z是纯虚数；J|1|J(2^-3m-2=0>解得巾=一；

(m2-3m+2*02

(HI)若复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数，

则262-3m-2+m2—3m+2=0,HP3m2-6m=0,得m=。或2.

【解析】本题考查复数的基本概念，明确虚数、纯虚数等概念是解题的关键，属于基础题.

把已知复数变形为a+bi的形式.

(I)由虚部不为0求解；

(II)由实部为0且虚部不为0列方程组求解；

(III)由实部加虚部等于。求解m值.

18.【答案】解：(I)因为cosC=|>0,所以C6(0,y),且sinC=41-cos2c=

由正弦定理可得：急=枭

日n右•AasinCa.「yTS4

即另=------=-sine=--X==;

cc455

(H)因为4a=V~5c=>a=cVc，

4

所以A<C,故A€(0,今，

又因为=—，所以cos4=4W，

所以sinB=sin[7r—(A+C)]=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC=

由正弦定理可得：急=肃=白=5仁,

所以a=5y/~5sinA=5>

所以SAABC=^ccbsinC=^x5xllx|=22.

【解析】(I)根据cost:=I，确定C的范围，再求出sine,由正弦定理可求得sin4

(H)根据4,C的正、余弦值，求出sinB,再由正弦定理求出a,代入面积公式计算即可.

本题考查了解三角形中正弦定理、面积公式，属于基础题.

19.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得：(0.0024+0.0036+0.006+x+0.0024+0.0012)X

50=1,

解得：x=0.0044；

(2)由频率分布直方图可得，100户居民7月用电量不低于200度的频率为：

(0.0044+0.0024+0.0012)x50=0.4,

由此可以估计该小区有1000户居民7月用电量不低于200度的户数为1000x0.4=400；

(3)由频率分布直方图可得，7月用电量低于250度的频率为：

(0.0024+0.0036+0.006+0.0044)x50=0.82,

7月用电量低于300度的频率为0.82+0.0024x50=0.94,

所以85%分位数a一定位于区间(250,300)内，

由题意可得0.82+(a-250)X0.0024=0.85,

解得a=262.5,

所以估计该小区居民7月用电量的85%分位数为262.5.

【解析】(1)利用频率分布直方图的概率和为1求解；

(2)用样本估计总体，找到该小区7月用电量不低于200度的概率;

(3)利用百分位数的概念直接求解.

本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题.

20.【答案】解：(1)由题意列出方程组，得：

加11

l-(l-m)(l-1)(l-n)=^解得巾=展n=?

m>n

(2)由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为

获得样本等候课学分分数不低于4分为事件4

则P(X4)=；x|x[=’,

n八/1111

P(X5)=-x-x-=-)

P(X6)=ixlxl=±,

PQ4)=P(X4)+P(X5)+P(X6)+/+

【解析】(1)由相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式列出方程组，能求出结果.

(2)由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为Xf,获得样本等候课学分分数不低于

4分为事件4利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式能求出结果.

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式和互斥事件概率

计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

21.【答案】解：(1)%-a