2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第九章 第六节 第2课时 直线和双曲线含答案

14版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第九章第六节第2课时直线和双曲线第2课时直线和双曲线【核心考点·分类突破】考点一直线与双曲线的位置关系[例1](1)(一题多法)直线3x-4y=0与双曲线y29-x216=1的交点个数是A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选A.方法一:联立直线3x-4y=0与双曲线y29-x216=1的方程,y29方法二:由y29-x216=0,得3x±4y=0,所以双曲线的渐近线方程为3因为直线3x-4y=0是双曲线y29-x(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与【解析】C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),所以C结合渐近线的特点,只需0<ba≤2,即b可满足条件“直线y=2x与C无公共点”,所以e=ca=1+b2a2又因为e>1,所以1<e≤5.答案:2(答案不唯一,满足1<e≤5皆可)【解题技法】直线与双曲线位置关系的判断方法(1)联立方程,消元化为关于x(或y)的一元方程;(2)讨论最高次数项系数是否为零求解;(3)依据方程解的个数,判断交点的个数.设直线l:y=kx+m,双曲线x2a2-y2b联立解得:(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.①m=0时,-ba<k<bk≥ba,k≤-ba,或②m≠0时,若b2-a2k2=0,k=±ba若b2-a2k2≠0,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)·(-a2m2-a2b2)=4a2b2(m2+b2-a2k2),Δ>0,m2+b2-a2k2>0,直线与双曲线相交于2点;Δ=0,m2+b2-a2k2=0,直线与双曲线相切于1点;Δ<0,m2+b2-a2k2<0,直线与双曲线相离.【对点训练】1.(2024·哈尔滨模拟)双曲线x29-y24=1与直线y=-23x+m(m∈RA.0 B.1 C.0或1 D.0或1或2【解析】选C.因为双曲线x29-y24=1的渐近线方程为y=±23x,所以,当m=0时,直线l:y=-23当m≠0时,直线l与双曲线的一条渐近线平行,此时直线l与双曲线有一个交点.2.(2024·盐城模拟)定义曲线a2x2-b2y2=1为双曲线x2a2-y2b2=1的“伴随曲线”.在双曲线C1:x2-y2=1的伴随曲线C2上任取一点P,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为MA.0 B.1C.2 D.与点P的位置有关系【解析】选B.双曲线C1:x2-y2=1的伴随曲线C2为1x2-设P(m,n)为1x2-1y2=1上一点,则过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M,N,则M(m,0),N(0,n),所以直线MN:y=-nmx+n联立x2得(1-n2m2)x2+2n2所以Δ=2n2m2-4×(1-n=4n4(1+1n2)-4×1-n则直线MN与曲线C1的公共点的个数为1.3.(2024·东营模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),A为双曲线C的左顶点,B为虚轴的上顶点,直线l垂直平分线段AB,若直线l与C存在公共点,则双曲线A.(2,3) B.(2,+∞)C.(3,+∞) D.(1,2)【解析】选B.依题意,可得A(-a,0),B(0,b),则kAB=b-00+又因为直线l垂直平分线段AB,所以kl=-ab因为直线l与C存在公共点,所以-ab>-ba,即a2<b则a2<c2-a2,即2<c2a2,e2>2,解得e所以双曲线C的离心率的取值范围是(2,+∞).【加练备选】(2024·吉林模拟)已知直线L:y=12x+m与曲线C:y=12|4-x2A.(-2,2) B.(-2,2)C.(1,2) D.(1,3)【解析】选C.由题意得曲线C:y=12|4-x2|,即2y=|4-当4-x2≥0时得到4y2=4-x2即x24+y2=1(y≥0);当4-x2<0时得到x24-y由以上可得曲线C的图象如图所示,易知直线L:y=12x+m与双曲线x24-y2=1的一条渐近线y=把直线y=12x向上平移到(0,1)点时,即y=12x+1与曲线C有两个交点,此时继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点.当直线与椭圆的上半部分相切时,联立直线与椭圆的方程y=12x+mx24Δ=16m2-8(4m2-4)=0即m=2或-2(舍),由图示可得m<2;综上可知1<m<2.考点二直线与双曲线相交的有关问题【考情提示】直线与双曲线相交问题是近几年高考命题的热点,它常与函数、方程、不等式相结合考查弦长、中点弦等内容.角度1弦长问题[例2](2024·天津模拟)在平面直角坐标系xOy中,点P(23,1)在双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,C的一条渐近线的方程为x-3y=0,左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作斜率为3的直线,分别交C的两条渐近线于A,①双曲线的离心率为23②直线AB的方程为3x-y-23=0;③直线AB截双曲线所得弦长为3;④OA·OB=9.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.由题意双曲线的渐近线的方程为x-3y=0,焦点在x轴上,所以ba=13,所以双曲线的离心率为:e=ca=1+b2a2因为点P(23,1)在双曲线C上,所以(23)2a2-12b2=1⇒12a2-1b2=1,联立ba=13,解得:a=3,b=3,所以c=a2+b2=23,所以F2(23,0),所以过点F2作斜率为3的直线AB为:y=3(x-23)⇒3x-y解得:x1=93+34,x2所以直线AB截双曲线所得弦长为:1+k2|x1-x2|=1+(3)2×|由双曲线的渐近线方程为:x±3y=0,由x+3y=03x-由x-3y=03所以OA·OB=332×33+(-32)×3=9,故角度2中点弦问题[例3](多选题)(2024·南通模拟)已知曲线C:x24-y2m=1(m≠0),下列结论正确的是A.若曲线C表示椭圆,则m<0且m≠-4B.若m=-5,则以P(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程为5x-4y-1=0C.当m<-4时,F1,F2为焦点,P为曲线上一点,且△PF1F2为直角三角形,则△PF1F2的面积等于4D.若m>0,则存在四条过点(0,1)的直线l与曲线C有且只有一个公共点【解析】选ACD.对于A,若曲线C表示椭圆,则m<0且m≠-4,故A正确;对于B,m=-5时,曲线C为椭圆x24+设A(x1,y1),B(x2,y2),中点P(1,1),故x1+x2=2,y1+y2=2,又x124+y125=1x224所以AB所在的直线方程为y-1=-54(x-1),即5x+4y对于C,当m<-4时,曲线C:y2-m+x24=1表示焦点在y轴上的椭圆,则|PF1|+|PF2|=2-m,则(|PF1|+|PF2|)2=-4m,即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=-4m①,由PF1⊥PF2,得|PF1|对于D,m>0时,曲线C:x24-y2m=1表示焦点在x轴上的双曲线,由题意,过点(0,1)的直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,代入双曲线方程x24-y2m=1,消去y整理得(m-4k2)x2-8kx-4-4m=0,因为直线l与曲线C有且只有一个公共点,当m-4k2≠0时,Δ=64k2-4(m-4k2)(-4-4m)=0,即4k2=当m-4k2=0时,k=±m2,直线l与渐近线平行,符合题意.故m>0时,存在四条过点(0,1)的直线l与曲线C有且只有一个公共点,故D正确【解题技法】1.解决直线与双曲线相交有关问题的解题策略(1)解决弦长问题,可联立直线与双曲线方程,消元转化为关于x(或y)的一元方程,利用弦长公式即可求解;(2)解决中点弦问题,常常采用点差法求解,但一定要注意直线是否与双曲线相交的判断.2.相交弦AB的弦长公式AB=1+k2x或AB=1+1k2【对点训练】1.(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是 (A.(1,1) B.(-1,2)C.(1,3) D.(-1,-4)【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点M(x1+x22,y1+y22),可得k因为A,B在双曲线上,则x1两式相减得(x12-x2所以kAB·k=y12对于选项A:可得k=1,kAB=9,则AB:y=9x-8,联立方程y=9消去y得72x2-2×72x+73=0,此时Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288<0,所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误;对于选项B:可得k=-2,kAB=-92则AB:y=-92x-52,联立得方程组消去y得45x2+2×45x+61=0,此时Δ=(2×45)2-4×45×61=-2880<0,所以直线AB与双曲线没有交点,故B错误;对于选项C:可得k=3,kAB=3,则AB:y=3x,由双曲线方程可得a=1,b=3,则AB:y=3x为双曲线的渐近线,所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误;对于选项D:k=4,kAB=94,则AB:y=94x-联立得方程组y=94x-74x2-y29=1,消去2.已知焦点在x轴上的双曲线Γ经过点M(6,2),N(-23,-6).(1)求双曲线Γ的离心率e;【解析】(1)设双曲线Γ的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,所以c2=a2+b2=5,e=ca=152.已知焦点在x轴上的双曲线Γ经过点M(6,2),N(-23,-6).(2)若直线l:y=33x-1与双曲线Γ交于A,B两点,求弦长|AB|【解析】(2)由(1)得双曲线Γ的方程为x23-设A(x1,y1),B(x2,y2),由x23-y22=1y=33x-1,得x2+23x-9=0,|AB|=(=(1+1故弦长|AB|为8.【加练备选】(2024·宝鸡模拟)设动点P(x,y)与点F(10,0)之间的距离和点P到直线l:x=102的距离的比值为2,记点P的轨迹为曲线(1)求曲线C的方程;【解析】(1)由动点P(x,y)与点F(10,0)之间的距离和到直线l:x=102的距离的比值为2可得(x-10)2+y2|x-102|=2(2024·宝鸡模拟)设动点P(x,y)与点F(10,0)之间的距离和点P到直线l:x=102的距离的比值为2,记点P的轨迹为曲线(2)若O为坐标原点,直线y=12x+1交曲线C于A,B两点,求△OAB的面积【解析】(2)联立方程组y=12x+1x设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=43,x1x2所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+14×又由点O到直线y=12x+1的距离d=11+1所以△OAB的面积S=12|AB|·d=12×2953×考点三双曲线的综合问题[例4](1)(多选题)(2024·南昌模拟)已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以F2为圆心,4为半径的圆与C的一条渐近线切于点P,过F1的直线l与C交于A,B两个不同的点,若C的离心率e=A.|PF1|=213B.|AB|的最小值为32C.若|AF2|=7,则|AF1|=13D.若A,B同在C的左支上,则直线l的斜率k∈(-∞,-43)∪(4【解析】选ACD.对于A选项,设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=b则F2(c,0)到直线bx-ay=0的距离为|bc|b因为以F2为圆心的圆与l相切于点P,所以|PF2|=b=4,因为e=53,即ca=53,则c=53a,又a2+b2=c2,即a2+16=259a2,所以在Rt△PF2O中,cos∠PF2F1=bc=4在△PF2F1中,|F1F2|=2c=10,|PF2|=4,|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2-2|所以|PF1|=213,故A正确;对于B选项,当直线l的斜率为0时,A,B两点分别为双曲线的顶点,则|AB|=2a=6,又因为6<323,即|AB|的最小值不可能为32对于C选项,因为|AF2|=7,又a+c=8,且|AF2|<a+c,所以A在C的右支上,所以|AF1|-|AF2|=2a=6,所以|AF1|=|AF2|+6=7+6=13,故C正确;对于D选项,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+5),设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=k(x+5)x29-y216=1,可得(16-9k2)所以16-解得k<-43或k>43(2)(2024·郑州模拟)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点A(-3,0)作两条渐近线的垂线,垂足分别为D,B,且|①求双曲线C的方程.【解析】①双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0,双曲线C上一点(x0,y0)到渐近线距离之积为|bx0+ay0由题知a2=3,a2b2c2=32.因为c2=a2+b2,所以a=b=3,故双曲线C(2)(2024·郑州模拟)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点A(-3,0)作两条渐近线的垂线,垂足分别为D,B,且|②已知点P(2,-1),两个不重合的动点M,N在双曲线C上,直线PM,PN分别与y轴交于点E,F,点Q在直线MN上,OE+OF=0且PQ⊥MN,试问是否存在定点T,使得|QT|为定值?若存在,求出点T的坐标和|QT|;若不存在,请说明理由.【解析】②显然直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程得y=kx+m,x2-y2=3,整理得(1-k2)x2-2kmx-m2-3=0,则1-k2≠0,Δ=4(m2+3-3k2)>0,x1+直线PM的方程为y=y1+1x令x=0,则y=x1+2y12-x1,得E(0,x1+2y12-x所以x1+2(所以[(2k+1)x1+2m](2-x2)+[(2k+1)x2+2m](2-x1)=(4k+2-2m)(x1+x2)-(4k+2)x1x2+8m=(4k-2m+2)×2km1-k2-(4k整理得m2+(2k+4)m+6k+3=(m+3)(m+2k+1)=0.当m+2k+1=0,即m=-2k-1时,直线MN的方程为y=k(x-2)-1,过点P(2,-1),与PQ⊥MN矛盾,舍去;当m=-3时,直线MN的方程为y=kx-3,恒过点G(0,-3),设PG的中点为T,则T(1,-2),因为PQ⊥MN,所以|QT|=12|PG|=2,为定值故存在T(1,-2),使|QT|为定值2.【解题技法】双曲线的综合问题(1)当与圆、椭圆有关时,常常结合圆、椭圆的方程或性质,构造函数解决问题;(2)当与直线有关时,常常联立直线与双曲线的方程,消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解;(3)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量间的关系转化为点的坐标问题,再根据根与系数的关系,将所求问题与条件建立联系求解.【对点训练】(多选题)(2024·玉溪模拟)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x29+y25=1的焦点相同,双曲线E的左右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线E的右支交于P,Q两点,PF1与y轴相交于点A,△PAF2的内切圆与边AFA.双曲线E的离心率为2B.双曲线E的方程为x2-y2C.若PF1⊥PF2,则△PAF2的内切圆面积为3πD.过点(1,1)与双曲线E有且仅有一个交点的直线有3条【解析】选ACD.如图,设PF1,PF2与△PAF2的内切圆分别相切于M,N两点,所以|PM|=|PN|,|AM|=|AB|=1,|F2N|=|F2B|,且|AF1|=|AF2|,因为2a=|PF1|-|PF2|=|PM|+|AM|+|AB|+|F2B|-|PN|-|F2N|=2,可得a=1,双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,所以c2=b2+a2=9-5=4,可得b2=3,所以双曲线E的离心率为ca所以双曲线E的方程为x2-y2对于C,若PF1⊥PF2,设|PF2|=m,则|PF1|=m+2,|F1F2|=4,由|PF1|2+|PF2|2=|F1可得|PA|=|PM|+1,|AF2|=1+|F2B|=1+|F2N|=1+7-1-|PN|=7-|PN|,由|PA|2+|PF2|2=|AF2|2得(|解得|PM|=4-73,即内切圆的半径为r则△PAF2的内切圆面积为4-对于D,当过点(1,1)的直线与x轴垂直时,其方程为x=1,与双曲线方程联立得x2可得y=0,即直线x=1与双曲线E有一个交点;当过点(1,1)的直线与x轴不垂直时,设其方程为y-1=k(x-1),与双曲线方程联立得x2可得(3-k2)x2+(2k2-2k)x+2k-4-k2=0,当k=±3时,此时可得直线y-1=k(x-1)与双曲线E有一个交点;当3-k2≠0即k≠±3时,由(2k2-2k)2-4(3-k2)(2k-4-k2)=0得-24k+48=0,可得k=2,此时直线y综上所述,过点(1,1)与双曲线E有且仅有一个交点的直线有4条,故D错误.第七节抛物线【课程标准】1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的几何性质.(范围、对称性、顶点、离心率)2.通过抛物线与方程的学习,进一步体会数形结合思想.3.了解抛物线几何性质的简单应用.【考情分析】考点考法:抛物线的方程与性质是高考常考内容,多以选择题或填空题的形式出现,直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现,试题难度中等.核心素养:数学运算、逻辑推理、直观想象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.【微点拨】若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标F(p2,0F(-p2,0F(0,p2F(0,-p2离心率e=1准线方程x=-px=py=-py=p范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下【微点拨】四种不同抛物线方程的共同点(1)原点都在抛物线上;(2)焦点都在坐标轴上;(3)准线与焦点所在坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14,即2p4【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号13241.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.抛物线关于顶点对称B.抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心C.抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同D.抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同【解析】选BCD.抛物线是轴对称图形,不是中心对称图形,所以A错误;抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心,所以B正确;所有抛物线的离心率为1,所以抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同,所以C正确;抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,都为2,离心率也相同,所以D正确.2.(弄错焦点位置)抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为2的点到焦点的距离为5,则该抛物线的方程为 ()A.x2=12y B.x2=10yC.x2=8y D.x2=6y【解析】选A.因为抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为2的点到焦点的距离为5,则根据抛物线的定义可得2+p2=5,解得p所以抛物线的方程为x2=12y.3.(人A选择性必修第一册P138习题3.3T1变条件)抛物线x=14ay2的焦点坐标为 (A.(116a,0) B.(C.(0,116a) D.(0,【解析】选B.抛物线x=14ay2可化为y2=4ax,它的焦点坐标是(a4.(2023·全国乙卷)已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为________.

【解析】由题意可得:(5)2=2p×1,则2p=5,抛物线的方程为y2=5x,准线方程为x=-54,点A到C的准线的距离为1-(-答案:9【巧记结论·速算】【常用结论】1.焦半径:抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F(p2,0)的距离|PF|=x0+p2.通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦.【即时练】1.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于 ()A.9 B.8 C.7 D.6【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.2.设动圆圆心为P,该动圆过定点F(a,0),且与直线x=-a相切(a>0),圆心P轨迹为曲线C.过点F的直线l与x轴垂直,若直线l与曲线C交于A,B两点,则|AB|等于 ()A.a2 B.a C.2a D.4【解析】选D.设P(x,y),由题意可得|PF|=x-(-a),所以由抛物线的定义可知,曲线C的轨迹为y2=4ax,由题意知AB为抛物线的通径,故|AB|=4a.【核心考点·分类突破】考点一抛物线的定义及标准方程[例1](1)(一题多法)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|= ()A.2 B.22 C.3 D.32【解析】选B.方法一:由题意可知F(1,0),准线方程为x=-1,设A(y024,y0),由抛物线的定义可知|AF|=y由|AF|=|BF|,可得y024+1=2,解得所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2),故|AB|=(1-3方法二:由题意可知F(1,0),|BF|=2,所以|AF|=2,抛物线通径为4,所以|AF|=2为通径的一半,所以AF⊥x轴,所以|AB|=22+2(2)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为 ()A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆【解析】选A.由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.(3)(2024·包头模拟)抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线x=2交C于P,Q两点,C的准线交x轴于点R,若PR⊥QR,则C的方程为 ()A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=12x【解析】选C.由题可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则准线方程为x=-p2,当x=2时,可得y=±2p可得P(2,2p),Q(2,-2p),又R(-p2,0),PR⊥QR所以2p2+p2·-2p2+所以C的方程为y2=8x.(4)(2024·沈阳模拟)已知P为抛物线y2=4x上的任意一点,F为抛物线的焦点,点A坐标为(3,2),则|PA|+|PF|的最小值为 ()A.4 B.3 C.22 D.13【解析】选A.由拋物线y2=4x知p=2,则F(1,0),准线l方程为x=-1.如图所示,点A在抛物线内,过点P作抛物线准线l的垂线段,垂足为点P',过点A作AH⊥l于点H.由抛物线的定义得|PF|=|PP'|,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PP'|≥|AH|,当且仅当点P是线段AH与抛物线的交点(即A,P,H三点共线)时取等号.故|PA|+|PF|的最小值为|AH|=3+p2=4【解题技法】1.利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.(2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系相互转化.2.求抛物线的标准方程的方法(1)因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.(2)因为未知数只有p,所以只需利用待定系数法确定p的值.【对点训练】1.(2024·青岛模拟)设抛物线C:x2=2py的焦点为F,M(x,4)在C上,|MF|=5,则C的方程为 ()A.x2=4y B.x2=-4yC.x2=-2y D.x2=2y【解析】选A.抛物线x2=2py的开口向上,由于M(x,4)在C上,且|MF|=5,根据抛物线的定义可知4+p2=5,p所以抛物线C的方程为x2=4y.2.(2024·北京模拟)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-1的距离为3,则|MF|= ()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选A.如图所示:根据题意可得抛物线的准线方程为x=-2,若M到直线x=-1的距离为MM2=3,则M到抛物线的准线x=-2的距离为MM1=4,利用抛物线定义可知MF=MM1=4.3.(2023·岳阳模拟)已知抛物线y=14x2的焦点为F,P为抛物线上一动点,点Q(1,1),当△PQF的周长最小时,点P的坐标为________【解析】如图,设l:y=-1是抛物线的准线,过P作PH⊥l于H,作QN⊥l于N,则PF=PH,F(0,1),FQ=1,PF+PQ=PQ+PH,易知当Q,P,H三点共线时,PQ+PH的值最小,且最小值为1+1=2,所以△PQF的周长最小值为3,此时xP=1,yP=14,即P(1,14答案:(1,14【加练备选】1.(2024·杭州模拟)顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线,过点(-1,2),则它的方程是 ()A.x2=12y或y2=-4x B.y2=-4x或x2=2C.x2=-12y D.y2=-4【解析】选A.当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=-2px(p>0).因为抛物线过点(-1,2),记为点P,如图,所以22=-2p·(-1),所以p=2,所以抛物线的方程为y2=-4x;当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=2py(p>0).因为抛物线过点(-1,2),所以(-1)2=2p·2,所以p=14所以抛物线的方程为x2=122.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________.【解析】方法一:依题意可知,抛物线的焦点F(2,0),设N(0,t),由中点坐标公式得M(1,t2),|MF所以|FN|=2|MF|=6.方法二:如图,过M,N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1,N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6.答案:6

考点二抛物线的几何性质[例2](1)已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为22,则该抛物线的准线方程为()A.x=-12 B.xC.x=-2 D.x=-4【解析】选B.抛物线y2=2px(p>0)的焦点F(p2由y2=16p,可得y=±4p,不妨令P(8,4p),则S△OFP=12×p2×4p=pp=22,解得p=2,则抛物线方程为y2=4x,其准线方程为x(2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点.抛物线上有M,N两点,若△MON为正三角形,则△MON的边长为________.

【解析】因为△MON为正三角形,所以|OM|=|ON|=|MN|,由抛物线对称性可知MN⊥x轴,设MN:x=t,则y2=2pt,解得y1=2pt,y2=-2pt.所以|MN|=2所以tan30°=12|MN|t解得t=6p.所以|MN|=43p.答案:43p(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为______________.

【解析】由题易得|OF|=p2,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF所以|OF||PF|=|PF|所以C的准线方程为x=-32答案:x=-3【解题技法】应用抛物线几何性质的技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合的思想.【对点训练】1.已知点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F,则直线AB的方程是 ()A.x-p=0 B.4x-3p=0C.2x-5p=0 D.2x-3p=0【解析】选C.如图所示,因为F为△AOB的垂心,F为焦点,|OA|=|OB|,所以OF垂直平分线段AB,所以由抛物线的对称性可知直线AB垂直于x轴.设A(2pt2,2pt),B(2pt2,-2pt),其中t>0.因为F为垂心,所以OB⊥AF,所以kOB·kAF=-1,即-2pt2pt2·2所以直线AB的方程为x=2pt2=52p,即2x-5p=02.设点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过抛物线上一点P作其准线的垂线,垂足为Q,已知直线FQ交y轴于点A(0,2),且△PQF的面积为10,则该抛物线的方程为____________.

【解析】根据题意作出满足题意的几何图形如图所示.其中,F(p2,0),直线QE为抛物线的准线,且准线方程为x=-p2,PQ⊥QE,A设P(x0,y0),则Q(-p2,y0),|PQ|=x0+p在△QEF中,O为EF的中点,则A为QF的中点,即|QE|=4,y0=4.因为△PQF的面积为10,所以12(x0+p即x0=5-p2.因为y02=2px0,所以42=2p即p2-10p+16=0.所以p=2或p=8.所以该抛物线的方程为y2=4x或y2=16x.答案:y2=4x或y2=16x【加练备选】1.(2021·新高考Ⅱ卷)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2,则p= ()A.1 B.2 C.22 D.4【解析】选B.抛物线的焦点坐标为p2,0,其到直线xd=p2-0+1解得p=2(p=-6舍去).2.(多选题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,若∠ABD=90°,且△ABF的面积为93,则下列选项正确的是 ()A.|BF|=3B.△ABF是等边三角形C.点F到准线的距离为3D.抛物线C的方程为y2=12x【解析】选BC.根据题意,作出满足题意的几何图形如图所示,由抛物线及圆的定义可得|AB|=|AF|=|BF|,所以△ABF是等边三角形,故B正确;由△ABF的面积为34|BF|2=93可知|BF|=6.故A错误;∠FBD=30°,又点F到准线的距离为|BF|sin30°=3=p,故C正确;该抛物线的方程为y2=6x.故D错误.考点三抛物线的综合问题【考情提示】抛物线的综合问题一直是高考命题的热点,重点考查直线与抛物线的位置关系,常与函数、方程、不等式等内容相结合.角度1焦点弦问题[例3](2024·贵阳模拟)直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则|AB|= ()A.4 B.92 C.8 D.【解析】选C.抛物线的焦点坐标为(32,0),准线方程为x=-32,设A(x1,y1),B(x2,y2),y12=6x1,y因为|AF|=3|BF|,所以x1+32=3(x2+32),得x1=3x2因为|AF|=3|BF|,所以|y1|=3|y2|,即x1=9x2,②由方程①②可得x1=92,x2=1所以|AB|=x1+32+x2+32=x1+x2【解题技法】关于焦点弦的几个常用技巧(1)过抛物线y2=2px的焦点的直线方程常设为x=my+p2(2)抛物线的焦点弦长为2psin2(3)过抛物线的焦点弦的两个端点作抛物线的切线,两条切线的交点在准线上.角度2直线与抛物线的相交问题[例4](1)(多选题)(2024·朔州模拟)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线C:y=14x2上异于坐标原点O的两个动点,且以AB为直径的圆过点O,过点O作OM⊥AB于点M,则 (A.直线AB的斜率为xB.直线AB过定点(0,4)C.点M的轨迹方程为x2+(y-2)2=4D.△ABO的重心G的轨迹为抛物线【解析】选ABD.因为y1=14x12,y2=14x22,两式相减,得y1-y2=14(x1-x2)(x因为以AB为直径的圆过原点O,所以OA⊥OB,即OA·OB=0,所以x1x2+y1y2=0,又y1y2=(x1x2)216,所以x1x2+(x1x2因为直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,由y=14x2y=kx+m,消去y所以x1x2=-4m,故-4m=-16,即m=4,所以直线AB的方程为y=kx+4,所以直线AB过定点(0,4),所以B正确;因为OM⊥AB于M,直线AB过定点D(0,4),所以点M的轨迹是以OD为直径的圆(除去原点O),其方程为x2+(y-2)2=4(y≠0),所以C不正确;设△ABO的重心为G(x,y),则x=x1+x23由方程(*)可知,x1+x2=4k,y1+y2=k(x1+x2)+8=4k2+8,所以x=4k3y=4k2+83因为k∈R,所以△ABO的重心G的轨迹为抛物线,所以D正确.(2)(2024·潍坊模拟)倾斜角为60°的直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点.①求抛物线的准线方程;【解析】①由已知可得,p=2,焦点在x轴上,所以,抛物线的准线方程为x=-1.(2)(2024·潍坊模拟)倾斜角为60°的直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点.②求△OAB的面积(O为坐标原点).【解析】②因为抛物线的方程为y2=4x,所以抛物线的焦点坐标为F(1,0).又因为倾斜角为60°的直线l,所以斜率为3,所以直线AB的方程为y=3(x-1).代入抛物线方程消去y并化简得3x2-10x+3=0.方法一:解得x1=13,x2所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+3×|3-13|又点O到直线3x-y-3=0的距离为d=32所以S△OAB=12|AB|·d=12×163×3方法二:Δ=100-36=64>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=103过A,B分别作准线x=-1的垂线,设垂足分别为E,D如图所示.|AB|=|AF|+|BF|=|AE|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=163点O到直线3x-y-3=0的距离为d=32所以S△OAB=12|AB|·d=12×163×3【解题技法】(1)直线与抛物线的弦长问题注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.角度3与抛物线有关的最值问题[例5](1)(多选题)(2024·泉州模拟)已知A(a,0),M(3,-2),点P在抛物线y2=4x上,则下列选项正确的是 ()A.当a=1时,|PA|的最小值为1B.当a=3时,|PA|的最小值为3C.当a=1时,|PA|+|PM|的最小值为4D.当a=3时,|PA|-|PM|的最大值为2【解析】选ACD.当a=1时,A(1,0)为抛物线的焦点,设P(x0,y0),x0≥0,则|PA|=x0+1≥1,故|PA|的最小值为1,A正确;当a=1时,设抛物线的准线为l:x=-1,如图(1),过点P作PN⊥l于点N,此时|PA|+|PM|=|PN|+|PM|,故当N,P,M三点共线时,|PA|+|PM|取得最小值,此时(|PA|+|PM|)min=3+1=4,C正确;当a=3时,A(3,0),如图(2),连接AM,并延长AM交抛物线于点P'.当P在P'位置时,此时|P'A|-|P'M|=|AM|为最大值,当P在其他位置时,根据三角形两边之差小于第三边,可知均小于|AM|,因为|AM|=(3-3)2+(-2-当x0=1时,|PA|min=22,B错误.(2)抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是________.

【解析】方法一:设与y=4x-5平行的直线y=4x+b与y=4x2相切,将y=4x+b代入y=4x2,得4x2-4x-b=0.①由Δ=16+16b=0得b=-1,代入①得x=12所以所求点的坐标为(12,1)方法二:设该点坐标为A(x0,y0),那么有y0=4x0设点A到直线y=4x-5的距离为d,则d=|4x0-y0-5=117|4x02-4x0+5|=117|4(x0-1当且仅当x0=12时,d将x0=12代入y=4x2解得y0=1故点A的坐标为(12,1)答案:(12【解题技法】与抛物线有关的最值问题的求解策略(1)求解抛物线上的点到焦点与到定点(或定直线)距离的和、差最值问题,常利用定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,再结合图形及平面几何的有关性质求解.(2)涉及抛物线上的点的坐标有关的最值问题,可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解,但要注意抛物线上的点的坐标的取值范围.【对点训练】1.(多选题)(2024·惠州模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=k(x-1)(k≠0)与抛物线C交于A,B两点,下面说法正确的是 ()A.抛物线C的准线方程为x=-2B.∠AOB>πC.k=1时,|AB|=42D.1|AF|【解析】选BD.由题意,可得F(1,0),p=2,准线为x=-1,故A错误;设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,y2=4xy=k(x-1)⇒k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=2+4k2,x1x2=1,根据抛物线的定义可得|AB|=x1+1+x21|AF|+1|BF|=1x取AB的中点M,则M为以AB为直径的圆的圆心,设|AB|=2r,过M作MN⊥准线a于N,过A作AA1⊥准线a于A1,过B作BB1⊥准线a于B1,根据梯形的性质和抛物线的定义可得|MN|=|AA1|+|B即以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切,则O在以AB为直径的圆的内部,故∠AOB>π2,故B正确2.已知抛物线方程为y2=4x,直线l:x+y+2=0,抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为________.

【解析】设与直线l平行且与抛物线相切的直线方程为x+y+m=0,由x+y+m=0y2=4则Δ=16-16m=0,得m=1,所以切线方程为x+y+1=0,所以抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为d=2-12答案:2【加练备选】(2024·西安模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=-12(1)求抛物线的方程;【解析】(1)因为抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,所以-p2=-12所以抛物线的方程为y2=2x.(2024·西安模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=-12(2)设直线y=k(x-2)(k≠0)与抛物线相交于M,N两点,若|MN|=210,求实数k的值.【解析】(2)如图,设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=k(x-2)代入y2=2x,消去y整理得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0.当Δ=4(2k2+1)2-4x1+x2=2(2k2+1)k2=|MN|=1+k2|x1-x=1+=1+k2(化简得:(1+k2)(16k2+4)=40k4,解得k2=1,经检验,此时Δ>0,故k=±1.【重难突破】抛物线的结论及其应用【考情分析】(1)过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重点,这是因为在这一关系中具有很多性质,并通过这些性质及运算推导出很多有用的结论,常常是高考命题的切入点.(2)熟悉并记住抛物线焦点弦的结论,在解选择题、填空题时可直接运用,减少运算量;在做解答题时也可迅速打开解题思路.【常用结论】我们以抛物线y2=2px(p>0)为例来研究【探究】已知AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为直线AB与x轴正半轴的夹角,若A(x1,y1),B(x2,y2),则有下列结论:结论1:y1y2=-p2,x1x2=p2结论2:|AB|=x1+x2+p=2p结论3:1|AF|+1结论4:|AF|=x1+p2=p|BF|=x2+p2=p结论5:S△AOB=12|OF|·|y1-y2|=p【结论证明】通常在证明上述结论时,设出直线的方程与抛物线方程联立,利用根与系数关系求解,特别地,还要讨论斜率存在与否的情况,过程烦琐,运算量大.下面我们提供比较简单的证明结论的方法:【证明】由图可知|AF|-|AF|cosα=p,得|AF|=p1同理可得|BF|=p1+cosα1|AF|+1|BF|=1|AB|=|AF|+|BF|=p1-cosα+p由图可知y1=|AF|sinα,y2=-|BF|sinα,则y1y2=-|AF||BF|sin2α=-p1-