2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第九章 第三节 圆的方程含答案

5版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第九章第三节圆的方程第三节圆的方程【课程标准】1.掌握圆的标准方程的特征,能根据所给条件求圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程,能对圆的一般方程与标准方程进行互化,了解二元二次方程表示圆的条件.【考情分析】考点考法:圆的方程高考一般不单独考查,它常与直线、平面向量及圆锥曲线相结合出现在选择题或填空题中.核心素养:数学运算、逻辑推理【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.圆的定义与方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心坐标:(a,b)半径为r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0充要条件:D2+E2-4F>0圆心坐标:(-D2,-E半径:r=1【微点拨】圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)具有以下特点:(1)x2,y2项的系数均为1;(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F>0.2.点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12341.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.圆心位置和圆的半径确定,圆就唯一确定B.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆C.圆(x+1)2+(y-1)2=2的圆心坐标是(1,-1),半径长是2D.点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外【解析】选AD.确定圆的几何要素就是圆心和半径,故A正确;当m=0时,不表示圆,故B错误;圆(x+1)2+(y-1)2=2的圆心坐标是(-1,1),半径长是2,故C错误;因为(0-1)2+(0-2)2>1,所以点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外,故D正确.2.(选择性必修第一册P88练习T1变形式)圆x2+y2-4x-1=0的圆心坐标及半径分别为 ()A.(2,0),5 B.(2,0),5C.(0,2),5 D.(2,2),5【解析】选B.依题意,圆x2+y2-4x-1=0转化为标准方程得(x-2)2+y2=5,所以圆心为(2,0),半径为5.3.(忽略D2+E2-4F>0)若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0外,则实数k的取值范围是 ()A.(-2,+∞) B.[-2,-12C.(-2,12) D.【解析】选C.由题意得1+1+1解得-2<k<124.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为____________.

【命题意图】本题主要考查求圆的标准方程的方法,关键是确定圆心和半径.【解析】因为点M在直线2x+y-1=0上,所以设点M为(a,1-2a),又因为点(3,0)和(0,1)均在☉M上,所以点M到两点的距离相等且为半径R,所以(a-3)2a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,所以M(1,-1),R=5,☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.答案:(x-1)2+(y+1)2=5【巧记结论·速算】1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.2.同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.【即时练】1.“大漠孤烟直,长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知A(1,3),B(3,-1),则以AB为直径的圆的方程为 ()A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x-2)2+(y-1)2=20C.(x+1)2+(y-2)2=5D.(x+1)2+(y-2)2=20【解析】选A.所求圆的标准方程为(x-1)(x-3)+(y-3)(y+1)=0,即(x-2)2+(y-1)2=5,即以AB为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.2.与圆(x-1)2+y2=4同圆心且经过点P(-2,4)的圆的标准方程为 ()A.(x-1)2+y2=17 B.(x+1)2+y2=25C.(x+1)2+y2=17 D.(x-1)2+y2=25【解析】选D.由圆(x-1)2+y2=4的方程可知圆心为(1,0),设所求圆的方程为(x-1)2+y2=r2(r>0),将点P(-2,4)代入得(-2-1)2+42=r2,解得r=5,所以圆的标准方程为(x-1)2+y2=25.【核心考点·分类突破】考点一求圆的方程[例1](1)(一题多法)过点A(1,-1)与B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程为 ()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4【解析】选C.方法一(待定系数法):设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则(1-故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.方法二(几何法):圆心一定在AB的中垂线上,AB的中垂线方程为y=x.由y=所以r=(1所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.(2)(2022·全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为__________.

【命题意图】考查圆的一般方程,待定系数法.【解析】依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,若过(0,0),(-1,1),(4,0),则F=016+4D所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13;若过(0,0),(4,0),(4,2),则F=016+4D所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5;若过(0,0),(-1,1),(4,2),则F=01+1-所以圆的方程为x2+y2-83x-143y=0,即(x-4若过(-1,1),(4,0),(4,2),则1+1-D+所以圆的方程为x2+y2-165x-2y-165=0,即(x-85)答案:(x-2)2+(y-3)2=13(或(x-2)2+(y-1)2=5或(x-43)2+(y-73)【误区警示】选取不共线的三点求解即可.若考虑三点共线,既耽误时间又无解.【解题技法】求圆的方程的两种方法几何法根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程待定系数法①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值.②若已知条件中涉及圆上的点的坐标,常选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值提醒:解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.【对点训练】1.(2024·许昌模拟)以点A(3,4)为圆心,且与y轴相切的圆的标准方程为 ()A.(x+3)2+(y-4)2=16B.(x-3)2+(y+4)2=16C.(x-3)2+(y-4)2=9D.(x-3)2+(y+4)2=9【解析】选C.以点A(3,4)为圆心,且与y轴相切的圆的半径为3,故圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=9.2.在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为______________.

【解析】方法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则F=0,故圆的方程为x2+y2-2x=0.方法二:设O(0,0),A(1,1),B(2,0),则kOA=1,kAB=-1,所以kOA·kAB=-1,即OA⊥AB,所以△OAB是以∠A为直角的直角三角形,则线段BO是所求圆的直径,则圆心为(1,0),半径r=12|OB|=1,圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0答案:x2+y2-2x=0【加练备选】若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,当半径最小时,圆的方程为__________.

【解析】设圆心坐标为(a,-2a+3),则圆的半径r=(a-=5(当a=65时,rmin=3故所求圆的方程为(x-65)答案:(x-65考点二与圆有关的轨迹问题教考衔接类题串串联题号类题说明(1)源自第89页综合运用·T8.此题为定义圆(2)源自第87页例5.此题为圆的伴生圆(3)源自第89页拓广探索·T9.此题为比例圆(阿氏圆)(4)源自第89页拓广探索·T10.此题为圆的参数方程[例2](1)长为2a的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则线段AB的中点的轨迹方程为__________.

【解析】(1)如图,设线段AB的中点为M(x,y),点M运动时,它到原点O的距离为定长,即Rt△AOB的斜边上的中线长为定长.因为AB=2a,即点M∈M|OM=a,点M的轨迹方程为x2+y2答案:x2+y2=a2(2)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程为__________.

【解析】(2)如图,设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是x0由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以x=x0+42,y于是有x0=2x-4,y0=2y-3,①因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,所以点A的坐标满足方程,即(x0+1)把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得x-322答案:x-32(3)已知动点M到两定点O(0,0),A(3,0)的距离比为12,则动点M的轨迹方程为__________【解析】(3)如图,设点M的坐标为(x,y),根据题设有M∈M|MO||MA化简,得点M的轨迹方程为x2+y2+2x-3=0.轨迹是圆心为-1,答案:x2+y2+2x-3=0(4)在平面直角坐标系中,如果点P的坐标(x,y)满足x=a+rcosθ,【解析】(4)由于点P的坐标(x,y)满足x=a+rcosθ,y=b+rsinθ,其中θ为参数,所以x-a=rcosθ,y-b=rsinθ,可得(x-a)2+(y-b)2=(rcos答案:(x-a)2+(y-b)2=r2【解题技法】求与圆有关轨迹问题的两种方法(1)直接法:当题目条件中含有与该点有关的等式时,可设出该点的坐标,用坐标表示等式,直接求解轨迹方程.(2)代入法:当题目条件中已知某动点的轨迹方程,而要求的点与该动点有关时,常找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求轨迹方程.【对点训练】(2024·宜昌模拟)已知定点M(1,0),N(2,0),动点P满足|PN|=2|PM|.(1)求动点P的轨迹C的方程;【解析】(1)设动点P的坐标为(x,y),因为M(1,0),N(2,0),且|PN|=2|PM|,所以(x-2)2整理得x2+y2=2,所以动点P的轨迹C的方程为x2+y2=2.(2024·宜昌模拟)已知定点M(1,0),N(2,0),动点P满足|PN|=2|PM|.(2)已知点B(6,0),点A在轨迹C上运动,求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.【解析】(2)设点Q的坐标为(m,n),点A的坐标为(xA,yA),因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点,所以AQ=2QB,即(m-xA,n-yA)=2(6-m,-n),解得xA又点A在轨迹C上运动,由(1)有(3m-12)2+(3n)2=2,化简得(m-4)2+n2=29即点Q的轨迹方程为(x-4)2+y2=29【加练备选】1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A0,-2,若动点M满足MAMO=2,则点M的轨迹方程是 A.x2+(y+2)2=22B.x2+(y-2)2=22C.x2+(y+2)2=8D.x2+(y-2)2=8【解析】选D.设M(x,y),因为MAMO=2,A(0,-2),所以x2+所以x2+(y+2)2=2(x2+y2),所以x2+(y-2)2=8为点M的轨迹方程.2.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),则底边另一个端点C的轨迹方程是______________.

【解析】设C(x,y).由题意知,|AB|=(3-4因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形,所以|CA|=|AB|=10,即点C的轨迹是以点A为圆心,10为半径的圆.又点A,B,C构成三角形,所以三点不可共线,所以轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5,-1),所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点).答案:(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点)考点三圆的对称性问题[例3](1)(2022·北京高考)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a= ()A.12 B.-12 C.1 D【命题意图】考查直线与圆的位置关系,基础题.【解析】选A.因为直线是圆的对称轴,所以直线过圆心.又因为圆心坐标为(a,0),所以由2a+0-1=0,解得a=12(2)(多选题)圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆的半径为5,则圆的方程可能是 ()A.x2+y2=5B.(x-1)2+y2=5C.x2+(y+1)2=5D.(x-1)2+(y+1)2=5【解析】选AD.因为圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在这个圆上,所以圆心在直线x+y=0上,因此设圆心坐标为(a,-a),则由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.【解题技法】圆的对称性的两点推广由于圆既是轴对称图形又是中心对称图形,因此过圆心的直线必定平分圆的周长,且圆上的点关于过圆心直线的对称点也在圆上.【对点训练】(多选题)关于圆(x-2)2+y2=5,下列说法正确的是 ()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x-y+2=0对称D.关于直线x+3y-2=0对称【解析】选ABD.由题意知圆心的坐标为(2,0).圆是关于圆心对称的中心对称图形,所以A正确;圆是关于直径对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,所以B正确;直线x-y+2=0不过圆心,所以C不正确;直线x+3y-2=0过圆心,所以D正确.【加练备选】(2024·沈阳模拟)已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,则m的值为 ()A.1 B.-1 C.2 D.3【解析】选A.由圆C方程得:圆心C(2,-1),因为直线l是圆C的对称轴,所以圆心C在直线l上,即2m-1-1=0,解得m=1.第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【课程标准】1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.【考情分析】考点考法:直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的热点内容之一,其中直线与圆相切及直线与圆相交是重点考查的内容,多以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算、逻辑推理【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ=0Δ>0几何观点d>rd=rd<r【微点拨】判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2位置关系方法公切线条数几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1+r2无解4外切d=r1+r2一组实数解3相交|r1-r2|<d<r1+r2两组不同的实数解2内切d=|r1-r2|(r1≠r2)一组实数解1内含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)无解03.直线被圆截得的弦长(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2r2(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x的一元二次方程,则|MN|=1+k(x【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12,3541.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是 ()A.若直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切B.若两圆没有公共点,则两圆一定外离C.若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立D.若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2【解析】选AD.直线与圆有一个公共点,则直线与圆相切,有两个公共点,则直线与圆相交,故A正确;两圆没有公共点,则两圆外离或内含,故B错误;若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两圆外切或内切,故C错误;若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故D正确.2.(选择性必修第一册P96例5变条件)圆O1:x2+y2-4y+3=0和圆O2:x2+y2-16y=0的位置关系是 ()A.外离 B.相交 C.相切 D.内含【解析】选D.O1:x2+(y-2)2=1,O2:x2+(y-8)2=64,所以O1(0,2),r1=1,O2(0,8),r2=8,O1O2=(0-0)2+(3.(选择性必修第一册P93练习T3变条件)直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于 ()A.62 B.3 C.23 D.【解析】选D.圆心(-2,2)到直线x-y+3=0的距离d=22,圆的半径r=2,解直角三角形得,半弦长为62,所以弦长等于4.(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sinα= ()A.1 B.154 C.104 D【解析】选B.圆C:x2+y2-4x-1=0化为标准形式得(x-2)2+y2=5,所以圆心C(2,0),半径r=5,设∠CPA=θ,则α=2θ.如图,sinθ=CACP=522=104,则cos所以sinα=sin2θ=2sinθcosθ=1545.(忽视直线斜率不存在的情形致误)过点P(2,2)的圆C:x2+(y-1)2=2的切线方程为x=2或x+22y-52=0.

【解析】由圆C方程知:圆心C(0,1),半径r=2;当过P的直线斜率不存在,即直线方程为x=2时,直线与圆C相切;设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,则圆心C到直线的距离d=1-2kk2+1=2,即k=-24,所以该切线方程为-即x+22y-52=0;综上所述:所求切线方程为x=2或x+22y-52=0.【巧记结论·速算】1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.无论两圆外切还是内切,将两圆方程(方程等号右边是0的形式)左右两边直接作差,消去x2,y2得到两圆的公切线方程.3.两圆相交时公共弦的性质圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).【即时练】1.已知过圆x2+y2=4外一点P(3,4)作圆的两条切线,切点为A,B两点,则A,B所在的直线方程为 ()A.3x+4y-4=0 B.3x+4y+4=0C.3x-4y-4=0 D.3x-4y+4=0【解析】选A.A,B所在的直线方程为3x+4y-4=0.2.圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-2)2=4的公共弦所在直线的方程为x-y=0.

【解析】根据题意(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,①x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0.②由②-①得x-y=0,即为两圆公共弦所在直线的方程.【核心考点·分类突破】考点一直线与圆的位置关系【考情提示】直线与圆相切求切线方程以及直线与圆相交求弦长是高考的重点,正确利用圆心到直线的距离与半径之间的关系是解决此类问题的关键.角度1直线与圆的位置关系的判断[例1](1)(一题多法)已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线l:kx-y+3-4k=0的位置关系是 ()A.相交、相切或相离 B.相交或相切C.相交 D.相切【解析】选C.圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=22,圆心为C(3,4),半径为r=2.方法一直线l:kx-y+3-4k=0,即k(x-4)-y+3=0,所以直线l过定点B(4,3).(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以点B(4,3)在圆C内,所以直线l与圆C相交.方法二圆心C(3,4)到直线l:kx-y+3-4k=0的距离为|3k-4+3-4k|1+所以直线与圆相交.(2)(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是 ()A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切【解析】选ABD.圆心C(0,0)到直线l的距离d=r2a2+b2,若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d=r2若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以d=r2a2+b2>若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=r2a2+b2<若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d=r2a2+b2=r【解题技法】判断直线与圆的位置关系的一般方法(1)几何法:圆心到直线的距离与圆半径比较大小,特点是计算量较小;(2)代数法:将直线方程与圆方程联立方程组,通过解的情况判断,适合于判断直线与圆的位置关系.角度2弦长问题[例2](2024·昆明模拟)已知直线y=2x与圆(x-2)2+(y-2)2=1交于A,B两点,则AB= ()A.55 B.255 C.35【解析】选B.因为圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1,所以圆心坐标为(2,2),半径r=1,则圆心(2,2)到直线y=2x的距离d=2×2-22所以弦长AB=2r2-d2=2【解题技法】直线和圆相交弦长的两种求法(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,根据弦长公式求弦长.(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2r2根据弦长求直线方程时要注意验证斜率不存在的情况.角度3切线问题[例3]已知点P(2+1,2-2),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点P的圆C的切线方程;【解析】由题意得圆心C(1,2),半径r=2.(1)因为(2+1-1)2+(2-2-2)2=4,所以点P在圆C上.又kPC=2-2-22+1所以过点P的圆C的切线方程是y-(2-2)=x-(2+1),即x-y+1-22=0.[例3]已知点P(2+1,2-2),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.【解析】(2)因为(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以点M在圆C外部.当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离d=|k-2+1-3k|所以切线方程为y-1=34(x即3x-4y-5=0.综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.因为|MC|=(3-1所以过点M的圆C的切线长为|MC|2-【解题技法】1.过一点求圆的切线方程的两种求法(1)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.注意斜率不存在的情况.(2)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.注意斜率不存在的情况.特别地,当点在圆上时,可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程.2.过圆外一点P引圆的切线,求切线长时,常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形求解.【对点训练】1.(2024·南京模拟)直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是 ()A.过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心【解析】选D.由题意知,圆(x-1)2+(y+1)2=9的圆心为(1,-1),半径r=3,则圆心到直线3x+4y+12=0的距离d=3×1+4×(-1)因为0<d<r,所以直线与圆相交但不过圆心.2.过点(-33,0)且倾斜角为π3的直线l交圆x2+y2-6y=0于A,B两点,则弦AB的长为 (A.42 B.22 C.210 D.10【解析】选A.过点(-33,0)且倾斜角为π3的直线l的方程为y=3(x+33),即3x又圆x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,所以圆心(0,3),半径r=3,则圆心(0,3)到直线l的距离d=|-3+1所以直线被圆截得的弦AB=232-13.(2024·曲靖模拟)若直线3x+4y-b=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则b的值是 ()A.-2或12 B.2或-12C.-2或-12 D.2或12【解析】选D.由(x-1)2+(y-1)2=1得圆的圆心坐标为(1,1),半径为1,因为直线3x+4y-b=0与圆相切,所以|3+4-b|32【加练备选】(2024·宜春模拟)已知圆C经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2).(1)求圆C的方程;【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由圆C经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2),得F=02+D所以圆C的方程为x2+y2-8x+6y=0.(2024·宜春模拟)已知圆C经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2).(2)经过点M(1,-4)的直线l被圆C所截得的弦长为45,求直线l的方程.【解析】(2)由(1)知圆C:(x-4)2+(y+3)2=25,即圆心C(4,-3),半径为5,由直线l被圆C所截得的弦长为45,得圆心C到直线l的距离d=52-(而直线l经过点M(1,-4),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y+4=k(x-1),即kx-y-4-k=0,于是d=4k+3-4-kk2+1所以直线l的方程为2x-y-6=0或x+2y+7=0.考点二圆与圆的位置关系[例4](1)已知圆E的圆心在y轴上,且与圆x2+y2-2x=0的公共弦所在直线的方程为x-3y=0,则圆E的方程为 ()A.x2+(y-3)2=2 B.x2+(y+3)2=2C.x2+(y-3)2=3 D.x2+(y+3)2=3【解析】选C.两圆圆心连线与公共弦垂直,不妨设所求圆心的坐标为(0,a),半径为r.又圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,故a-1×13=-1,解得a故所求圆心为(0,3).点(1,0)到直线x-3y=0的距离为11+3=1所以x2+y2-2x=0截直线x-3y=0所得弦长为212-14=3,圆心(0,3)到直线x-3y=0的距离为32,所以圆截直线x-3y=0所得弦长为2r2-故圆心坐标为(0,3),半径为3.得圆E的方程为x2+(y-3)2=3.(2)已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.①判断两圆公切线的条数;【解析】①两圆的标准方程分别为C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=52;圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=10.又|C1C2|=25,r1+r2=52+10,r1-r2=52-10,所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2,所以两圆相交,所以两圆有两条公切线.(2)已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.②求公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度.【解析】②将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0.圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d=|1-2×设公共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,得50=45+l2,解得l=5,所以公共弦长2l=25.一题多变[变式1]本例(2)中,若两圆相交于A,B两点,不求交点,则线段C1C2(C1,C2分别为两个圆的圆心)的垂直平分线所在的直线方程为x-2y-6=0.

【解析】由圆C1的圆心坐标为(1,-5),圆C2的圆心坐标为(-1,-1),可知kC1C2=-5-(-1)1-(-1因此线段C1C2的垂直平分线所在的直线方程为y+3=12x,即x-2y-6=0[变式2]本例(2)中的两圆若相交于两点A,B,则经过两点A,B且圆心在直线x+y=0上的圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.

【解析】设所求的圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),整理可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,因此圆的圆心坐标为(1-λ1+λ,-λ+51+λ),由于圆心在x解得λ=-2,因此所求的圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.【解题技法】圆与圆的位置关系问题的解题策略(1)判断两圆位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断.(2)两圆相交时,两圆的公共弦所在直线的方程,可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.(3)求两圆公共弦长,常选其中一圆,由弦心距d、半弦长l2、半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解考点三与圆有关的最值、范围问题[例5](2024·沈阳模拟)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)yx【解析】(1)由圆的一般方程可得:圆心为(2,0),半径r=3;因为02+02-4×0+1=1>0,所以原点在圆x2+y2-4x+1=0的