中考数学压轴大题经典模型培优胡不归问题（全国解析版）

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题9胡不归（PA+kPB）型最短问题

解题策略

__________________/

“PA+k・PB”型的最值问题，当k=l时通常为轴对称之最短路径问题，而当k>0时，若以常规的轴对称

的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路.

1.当点P在直线上

如图，直线BM,BN交于点B,P为BM上的动点，点A在射线BM,BN同侧，已知sin/MBN=k.

过点A作AC_LBN于点C,交BM于点P,此时PA+k•PB取最小值，最小值即为AC的长.

证明如图，在BM上任取一点Q,连结AQ,作QD_LBN于点D.

由sinZMBN=k,可得QD=k•QB.

所以QA+k-QB=QA+QDeAC,即得证.

2.当点P在圆上

如图，。。的半径为r,点A,B都在。0夕卜，P为。0上的动点，已知r=k-0B.

在0B上取一点C,使得0C=k・r,连结AC交。0于点P,此时PA+k・PB取最小值，最小值即为AC的长.

证明如图，在。0上任取一点Q,连结AQ,BQ,连结CQ,0Q.

则0C=k•0Q,0Q=k•OB.

而NC0Q=NQ()B,所以△COQS/\QOB,

所以QC=k-QB.

所以QA+k-QB=QA+QC>AC,即得证.

经典例题

【例1】（2021•全国•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数），=4/+公+。的图象经过点

A（-1,0）,B（0,-V3），C（2,0）,其对称轴与x轴交于点D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱

形，求点M的坐标；

（3）若P为y轴上的一个动点，连接尸力，求/8+尸£＞的最小值.

【答案】⑴2（X-；）2一鸣（1,一述案⑵弓,玄）或弓，一亚）或（；，一百妈或（；,一百一叵）

22828乙2N2N•2N2

或（；，一更）；（3）逗

264

【详解】思路引领：（1）将A、8、C三点的坐标代入+云+c,利用待定系数法即可求出二次函数的表

达式，进而得到其顶点坐标；

（2）当以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心A8为半径画弧与对称轴有

两个交点，此时AM=A8；②以8为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时8例=48；③线段48

的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时4M=BM,分别列出方程，求解即可；

（3）连接A8,作。于”，交OB于P,此时（PB+PD最小.最小值就是线段QH,求出DH即可.

a-b+c=0a=~

答案详解：（1）由题意c=-V3，解得｛b=_立，

4Q+2b+c=02

。=-V3

/.抛物线解析式为卜争2一生_6,

•.）=®_鸟一百=遗（X-i）2一%,

22228

••・顶点坐标6，一空）；

28

（2）设点M的坐标为6，y）.

（-1,0）,B（0,-V3）,

.".AB2=l+3=4.

①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM-AB,

则（（+1）2+^=4,解得），=±y，

即此时点例的坐标为（；，之）或（；，—五）：

2222

②以8为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时

则0）2+（y+V3）2=4,解得），=—年或3，=一百一苧

即此时点M的坐标为《，—6+叵）或4，-73-^）:

③线段48的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM=BM,

则弓+1）2+产=（1）2+（y+V3）2,解得y=一立，

即此时点M的坐标为弓，一立）.

N6

综上所述，满足条件的点例的坐标为弓，C）或弓，一衣）或0，-B+运）或号，一百一叵）或弓,

222222222

（3）如图，连接AB,作的1.A8于H,交08于尸，此时护8+尸£＞最小.

理由：\'OA=1,OB=V3.

二NA8O=30。，

：.PH=-PB,

2

：.-PB+PD=PH+PD=DH,

2

二此时，5+PD最短（垂线段最短）.

在RtZkAO”中，VZAHD=90°fAD=j,N/MD=60。，

/.sin60°=77,

AD

：.DH=—,

4

.•.手8+尸。的最小值为这.

N4

【例2】(2022•重庆•八年级期末)已知，在正方形A8CD中，点E,F分别为A。上的两点，连接BE、CF,

并延长交于点G,连接OG,”为C尸上一点，连接8”、DH,4GBH+乙GED=90°

(1汝口图1,若“为CF的中点，且4F=2DF,DH=—,求线段AB的长；

2

(2)如图2,若BH=BC,过点8作8/J.CH于点/,求证：BI+-DG=CG-.

2

(3)如图2,在(1)的条件下，P为线段A。(包含端点A、D)上一动点，连接CP,过点8作BQJ.CP于点

Q,将^BCQ沿BC翻折得△BCM,N为直线AB上一动点，连接MM当^BCM面积最大时，直接写出当4N+

MN的最小值.

【答案】⑴3

(2)见解析

(3)3位

【分析】(1)根据正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得尸C=2CH=VIU，设正方

形的边长为3x,AF=2DF,可得FD=x,在Rt^FDC中，根据勾股定理建立方程，即可求解；

(2)过点。作DM±GC于点M,证明△GB/是等腰直角三角形，△B/C三△CMD,进而证明△GMD是等腰直

角三角形，根据GC=GI+IC=Bl+MD=8/+立GD即可得证：

2

(3)取BC的中点S,连接SM,连接PN,以PN为底边，在PN的左侧作等腰直角三角形7TN,根据直角二角

形中斜边上的中点等于斜边的一半可得SM=|FC=|,则当SM1BC时，ABCM的面积最大，由TN+MN=

当AN+MNNTM，可得当T,N,M三点共线时，?4N+MN取得最小值，证明四边形4rMe是矩形，可得

TM=AC=3五,即当4N+MN的最小值为3\/I.

(1)

解：；四边形4BCD是正方形，

.\AADC=90°,AB=AD=DC,

v”为CF的中点，DH=巫,

2

•••FC=2DH=V10，

设正方形的边长为3x,AF=2DF,可得FD=x,

在RQFDC中，FD2+DC2=FC2,

即(3x)2+/=10,

解得X=l,

:.AB=3x=3；

(2)

如图，过点。作OM_LGC于点M,

•・•LAEB=乙GED,乙GBH+乙GED=90°,

・・•Z.AEB+UBE=90°,

Z.ABE—乙GBH=-LABH,

2

vBH=BC,Bl1CH,

：./.HBI=Z.CBIH

=22BC,

•・•/.ABC=90°,

•••4GBI=Z.GBH+乙HBI=-Z.ABH+-/LHBC=-^LABC=45°,

222

・•.△GB/是等腰直角三角形，

:・GI=B1,

・・・乙BIC=Z.CMD=90°,Z.ICB=90°-Z.DCM=4COM,BC=DC,

BIC=△CMDt

••・MD=IC,MC=BI,

・•・GM=GC-CM=GC-BI=GC-GI=/C,

・•・GM=MD,

・・.△GMD是等腰直角三角形，

・•・MD=%D,

2

GC=GI+IC=BI+MD=BI+—GD,

2

+—DG=CG-

2

H

r*'(­

圉2

(3)

如图甲所示，取BC的中点S,连接SM,连接PN,以PN为底边，在PN的左侧作等腰直角三角形7PN,

TN=—PN,

2

••BQ1PC,

ABCQ是直角三角形，

••,将ABCQ沿8c翻折得ABCM,

BMC是直角三角形，

•••SM=-BC=

22

当SM18C时，△BCM的面积最大，

••­S是BC的中点，

•••△BMC是等腰直角三角形，

则ABQC也是等腰直角三角形，

CQ=BQ=^BC=^AC，

此时如图乙所示，则点P与4重合，

TN+MN=—AN+MN>TM,

2

7,N,M三点共线时,卫AN+MN取得最小值,

2

・•・APCM=乙ACB+乙BCM=90°,

・・•乙BMC=90°,Z.TAC=(TAB+ABAC=90°,

则四边形4TMC是矩形，

:.TM=AC=3vL

即日AN+MN的最小值为3鱼.

图

甲

图乙

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，两点之间线段最短，

全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键.

【例3】(2022•湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试)如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三

角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”.如图1,

在"BC中，A8=AC=1,ZBAC=\0S°,DE垂直平分48,且交BC于点。，连接AD

(1)证明直线A。是AABC的自相似分割线;

(2)如图2,点P为直线上一点，当点P运动到什么位置时，B4+PC的值最小？求此时%+PC的长度.

(3)如图3,射线C/平分/AC3,点Q为射线CF上一点，当4Q+与1。。取最小值时，求NQAC的正弦值.

【答案】⑴直线AD是A48c的自相似分割线;

(2)当点P运动到。点时，%+PC的值最小，此时PA+PC=在±1；

2

(3)NQAC的正弦值为沏

4

【分析】(1)根据定义证明△。氏4s△ABC即可得证；

(2)根据垂直平分线的性质可得PA+PC=PB+PC>BC,当点P与。重合时，PA+PC=PB+PC=BC,

此时P4+PC最小，设BD=x,则BC=x+l

根据△0B4列出方程，解方程求解即可求得BD,进而即可求得8c的长，即PA+PC最小值；

(3)过点4作AHJ.8C于点H,过点Q作QG18C于点G,连接4G,设CF与4。交于点M,根据已知条件求得

GQ=^CQ，进而转化为AQ+4icQ=4Q+GQ，则当Q点落在4G上时，点G与点”重合，此时4Q+

与i”的值最小，最小值为AH,进而根据sin44C=sin/从4c=附求解即可.

(1)

,.•△ABC中，A8=AC=1,ZBAC=108°

：.ZB=ZC=-(1800-ZBAC)=36°

2

•.•DE垂直平分A8

：.AD=BD

二N8=/BA£>=36°

：.ZC=ZBAD

又,：NB=NB

二直线A£)是^ABC的自相似分割线.

(2)

如图，连接PB,AD,

A

图2

・・・DE垂直平分A8,

PA=PB

・•.PA-^-PC=PBPC>BC

当点P与。重合时，P4+PC=P8+PC=BC,此时PA+PC最小，

•••2LADC=+乙BAD=72°,乙DAC=乙BAC一乙BAD=72°

・•・Z.ADC=Z.DAC

••CD=CA=1

设8。=x,则BC=x+l

DBAABC

BD_AB

J，而=而

x1

:,一=----

1X+1

x2+x-1=0

解得：x=2

2

Vx>0

・•x

2

V5+1

・•・BC=%+1=——-——

...以+PC=2史1

二当点p运动到n点时,巩+PC的值最小,此时必+.=等

(3)

如图，过点4作AHLBC于点H,过点Q作QGJ.BC于点G,连接4G,设CF与4。交于点M,

AB=AC,

1V5+1

：•CH=-BC=--—

24

由（2）矢口，DC=AC=1

•••C尸平分乙4cB

・・・CM1AD

1V5-1

DM=AM=-AD=---

24

.：Sin.MCD=^=^=^l

V5-1

:・GQ=—^~CQ

x/5-1

AQ+--—CQ=AQ+GQ>AG

4

•••AG>AH

•••Q点落在4G上时，点G与点H重合，

即此时4Q+与iCQ的值最小，最小值为4”

・・•Z.QAC=Z.HAC

•・,AB=AC,AH1BC

1V5+1

...CH=-BC=-

CHV5+1

・•・sinz.QAC=s\nz.HAC=—=——

・•.NQAC的正弦值为亘i

4

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂

线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关健.

【例4】(2021.全国.九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，直线^=争+8和直线，2：y=-V3x

十人相交于y轴上的点B,且分别交x轴于点A和点C.

(1)求AABC的面积；

(2)点E坐标为(5,0),点尸为直线//上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF+CF最小时•，点F

的坐标，并求出此时尸F+四OP的最小值.

2

【答案】(1)S"18c=2e；(2)点F坐标为(1,吗;PF+立OP的最小值为也+它.

3232

【分析】(1)根据//的解析式可得4、8坐标，把点8坐标代入y=-回+b可求出b值，进而可得出点C

坐标，即可求出4C、08的长，利用三角形面积公式即可得答案；

(2)如图，作点C关于直线//的对称点C，，连接CE,交h于F,根据A、B、C坐标可得△48C是直角三

角形，可得点C在直线/2上，根据两点间距离公式可得出C坐标，可得CE为EF+CF的最小值，利用待

定系数法可得出直线CE的解析式，联立直线CE与//解析式即可得出得尸的坐标；作二、四象限对角线

13,过点尸作/GJ_〃于G,交y轴于P,可得/GOP=45。，可得PG—0P,可得FG为PF+立0尸的最小值，

22

过点F作FQ_Lx轴，交“于Q，可得AFGQ为等腰直角三角形，可得FG=jFQ,由〃的解析式为产-x及

点F的坐标可得点Q坐标，进而可得FQ的长，即可得尸G的长，可得答案.

【详解】⑴•••//：y=^x+V3,

当x=0时,y=6,当尸0时，x=-3,

：.A(-3,0),B(0,V3)>

..•点8直线/2：y=~V3x+Z?_t,

b=W，

,直线h的解析式为y=-V3x+V3,

；•当)=0时，x=\,

：.C(1,0),

：.AC=4,OB=用,

：.SAABC=^AC-OB=^x4xV3=2V3.

(2)如图，作点C关于直线。的对称点C，，连接C£,交//于F,

(-3,0),B(0,V3),C(1,0),

22

：.AB=(-3)+(V3)2=12,Bg2+(付2=4,AC2=42=16>

'.'A^AB^BC2,

.".△ABC是直角三角形，

...点C'在直线，2上，

•点C与点C关于直线h的对称，

CC=2BC=4,

设点C(m,-V3/n+V3.)

；・(m-1)2+(-V3w+V3)2=42,

解得："〃二・1,团2=3,

・.•点C在第二象限，

/.m=-1,

・•・-V3W+V3=2>/3，

*：FC=FC,

:.EF+CF=EF+FC\

・♦•当C、F,E三点共线时M+CF的值最小，

设直线CE的解析式为y=kx+b,

k+b=2V3,

I5fc+/?=0

解得：I-ZJ,

,5V3

b=—

3

直线CE的解析式为y=+竽，

_V35V3

y=---xH---

联立直线C'E与//解析式得1/3,

(y=fx+V3

fX=1

解得：4V3,

\.y=—

：.F(1,玛.

3

如图，作二、四象限对角线4,过点尸作/GJL/j于G,交y轴于P,过点尸作尸。_Lx轴，交〃于Q,

直线1.1的解析式为产-x,NGOP=45。，

.•.△GOP是等腰直角三角形，

:.PG—OP,

2

...G、P、F三点共线时，PF+立OP的值最小，最小值为FG的长，

2

VZGOP=45°,ZPOE=90°,

JZEOQ=45°,

：.ZFGO=45O,

•••△FGQ是等腰直角三角形，

:.FG也FQ,

2

VF(1,竽)，直线人的解析式为产-x,

:.Q(1,-1),

-(-1)也雪1,

33

FG=^FQ=^-X(吗1)二渔+乌

22332

/.PFSOP的最小值为辿+它.

232

【点睛】本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟

练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解题关键.

培优训练

\______________________________Z

一、填空题

1.(2022.内蒙古鄂尔多斯.中考真题)如图，在△ABC中，AB=4C=4,NC4B=30。，ADLBC,垂足为。,

P为线段A。上的一动点，连接PB、PC.则必+2PB的最小值为.

【答案】472

【分析】在N54C的外部作/C4E=15。，作B凡LAE于凡交AO于P,此时%+2尸8=26「4+PB)=

：(PF+PB)=22F,通过解直角三角形ABF,进一步求得结果.

【详解】解：如图，

在NBAC的外部作/CAE=15。，作8尸_L4E于尸，交AC于P,

此时以+2P8最小，

二90°

"：AB=AC,AD1.BC,

：

.ZCAD=ZBAD=-2^BAC=-2x30°=15°,

/.ZEAD=ZCAE+ZCAD=30°,

：.PF=-PA,

2

：.PA+2PB=2（^PA+PB）=]（PF+PB]=2BF,

在RsA3尸中，AB=4,ZBAF=ZBAC+ZCA£=45°,

.*.BF=AB«sin45°=4x—=2vL

2

(B4+2PB)M大=28F=4VL

故答案为：4V2-

【点睛】本题考查了等腰二角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线.

2.(2022•湖北湖北•八年级期末)如图，口ABCD中乙4=60。,48=6,AD=2,P为边CD上一点，则遍PD+2PB

的最小值为.

【答案】6V3

【分析】作交AO的延长线于H,由直角三角形的性质可得"P-CP,因此

2

y/3PD+2PB=2(^-DP+PB)=2(PH+PB),当从P、B三点共线时HP+PB有最小值，即百卜2必有最小值,

即可求解.

【详解】如图，过点P作PHJ_4。，交4。的延长线于H,

••・四边形ABC。是平行四边形，

AB//CD,

：./-A=乙PDH=60°

VPH1.AD

."DPH=30°

：.DH=\PD,PH=V3DH=^-PD，

：.6PD+2PB=2(当PD+PB)=2(PH+PB)

・•・当点，，点P,点B三点共线时，有最小值，即bPD+2PB有最小值，

此时BHA.AH,UBH=30°,Z.A=60°,

：.AH=^AB=3,BH=V3AH=373

贝，PC+2PB最小值为6百，

故答案为：6A/3.

【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识.构造直角

三角形是解题的关键.

3.(2022.湖北武汉•一模)如图，在AACE中，C4=CE,^.CAE=30°,半径为5的。0经过点C,CE是圆。的

切线，且圆的直径4B在线段4E上，设点D是线段4C上任意一点(不含端点)，则的最小值为.

【分析】过点C作关于4E的平行线，过点。作CH垂直于该平行线于H,可将转化为DH,此时。

就等于OD+DH,当OOH共线时，即为所要求的最小值.

【详解】解：如图所示，过点C作关于AE的平行线，过点。作DH垂直于该平行线于H,

•••CH//AB,/.CAE=30°,OC=OA,

•••Z.HCA=40cA=30°,

on-I

・•・sinzHCD=-=-乙HCO=60°,

CD2t

•.-CD=HD,

2

OD+-CD=OD+DH,

2

•••当0,D,H三点共线，即在图中H在H'位置，。在。位置的时候有OD+DH最小，

二当0,D,H三点共线时，OD+^CC有最小值，

此时OH'=OCxsinZHCO=OCxsjn60°=5x—=婴，

CD的最小值为也，

22

故答案为更.

2

【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换.

4.（2022.湖北武汉.九年级阶段练习）如图，在AACE中，CA=CE,NC4E=30。，半径为5的。。经过点

C,CE是圆。的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点O是线段4c上任意一点（不含端点），则00+18

的最小值为.

【分析】作。尸平分NAOC,交。。于凡连接4尸、CF、DF,易证四边形AOC尸是菱形，根据对称性可得

DF=DO.过点。作O//LOC于从易得DH^DC,从而有1。。+。。=。，+尸。.根据两点之间线段最短可得：

当尸、D、”三点共线时，DH+FD（即/C+OZ））最小，然后在对△。”尸中运用三角函数即可解决问题.

【详解】解：作。尸平分NAOC,交。。于F,连接AE、CF、DF,如图所示,

,/OA=OC,

.../OCA=NO4C=30。，

NCOB=60。，

贝ijNAOF=NCOFg/AOCg(180°-60°)=60°.

OA=OF=OC,

：./\AOF.△COF是等边三角形，

."尸=AO=OC=FC,

二四边形AOCF是菱形，

根据对称性可得DF=DO.

过点。作OHJ_OC于H,则DH=^DC,

：.^CD+OD=DH+FD.

根据两点之间线段最短可得，

当F、D、，三点共线时，DH+FD(BP|CD+OD)最小，

'：OF=OA=5,

：.OH=-OF=-,

22

FH=y/OF2-OH2=—

2

即<£>+0。的最小值为速.

22

故答案为：逗.

2

【点睛】本题主要考查了圆半径相等的性质，等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线

段最短、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，把(C£»+OD转化为D”+F£>

是解题的关键.

5.（2021・江苏•苏州高新区实验初级中学九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4,点E为边AO

上一个动点，点F在边8上，且线段EF=4,点G为线段EF的中点，连接8G、CG,则BG+|CG的最小

【答案】5

【分析】因为OG=1E尸=2,所以G在以。为圆心，2为半径圆上运动，取Q/=l,可证△GO/S^COG,

从而得出G/=（CG,然后根据三角形三边关系，得出8/是其最小值

在RSOE尸中，G是E尸的中点，

：.DG^-EF=2,

2

.•.点G在以。为圆心，2为半径的圆上运动,

在8上截取。/=1,连接G/,

.Dl_DG_1

•(------..—.

DGCD2

:・/GDI=/CDG,

:•△GDIs^CDG,

._DI-1

・・CG-DG~2f

：.IG=-CG,

2

二8G+；CG^BG+IG>BI,

...当8、G、/共线时，BG+：CG最小=B/,

在RS8C7中，C7=3,8c=4,

：.BI=5,

故答案是：5.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点G的运动轨迹是解题的关键.

6.(2021•四川省成都市七中育才学校八年级期中)如图，在平面直角坐标系中，直线/分别交x、y轴于8、

C两点，点A、C的坐标分别为(3,0)、(0,-3),且/OCB=60。，点尸是直线/上一动点，连接AP,则AP+在「。

2

的最小值是.

［答案］3+3乌楸36+3

U，22

【分析】作NOC£=120。，过点尸作PGLCE于点G,利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求

得PG一尸C；当A、P、G在同一直线时，AP+3PC=AP+PG=AG的值最小，再利用含30度角的直角三角

22

形的性质以及勾股定理即可求解.

【详解】解：：点A、C的坐标分别为(3,0)、(0,-3),

，OA=3,OC=3,

作NOCE=120°,

NOC8=60°,

贝UZOCB=NBCE=ZFCE=60°,

过点P作尸GLCE于点G,如图:

:.AP+^PC=AP+PG,

2

当A、P、G在同一直线时，AP+PG=AG的值最小，

延长AG交y轴于点F,

VZFCG=60°,ZCGF=90°,

ZCFG=30°,

：.CF=2CG,GF—CF,

2

在即△CM/中，ZAOF=90°,ZOM=30°,

.\AF=2OA=6,OF=y/30A=3V3，

:.CF=OF-OC=3V3-3，

.♦6=苧（36一3）=1-竽，

，AG=A尸-尸G=6—2+型=2+速，

2222

即AP+^-PC的最小值为三+迪.

222

故答案为：山.

2

【点睛】本题考查r坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到

当4、P、G在同一直线时，A/5+在PC=AP+PG=AG的值最小是解题的关键.

2

7.（2021・全国•九年级专题练习）如图，直线y=x-3分别交x轴、y轴于8、A两点，点C（0,1）在y轴

上，点尸在x轴上运动，则&PC+PB的最小值为

【答案】4

【详解】思路引领:过P作刊〃A8于。，依据△A08是等腰直角三角形，可得/&40=/480=45。=/8/犯

进而得到△8OP是等腰直角三角形，故PDJPB,当C,P,。在同一直线上时，CDLAB,FC+P。的最

小值等于垂线段CO的长，求得C。的长，即可得出结论.

答案详解：如图所示，过P作于£>,

•直线y=x-3分别交x轴、y轴于8、4两点，

令x=0,则y=-3；令y=0,则x=3,

・・・A(0,-3),B(3,0),

：.AO=BO=39

又丁ZAOB=90°,

•••△AOB是等腰直角三角形，

・・・/BAO=48。=45。=/BPD,

•♦•△BDP是等腰直角三角形，

：.PD=^-PB,

2

.\>/2PC+PB=y/2(PC+它PB)=V2(PC+PD'),

2

当C,P,。在同一直线上，即CCJLA8时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CO的长，

此时，△48是等腰直角三角形，

又•：点、C(0,1)在y轴上,

C

O

:.CD=与AC=2a,

即PC+P。的最小值为2鱼，

:.y/iPC+PB的最小值为近x2V2=4,

故答案为：4.

8.（2021.全国•九年级专题练习）如图，矩形ABCD中A8=3,BC=国，E为线段A8上一动点，连接CE,

【详解】思路引领：在射线A8的下方作/M4B=30。，过点E作ET_L4M于T,过点C作C”，AM于H.易

证推出/£+EC=CE+E7^CH,求出CH即可解决问题.

答案详解：；四边形A88是矩形，

二N8=90°,

AtanZC-4B=—=^,

AB3

，NC4B=30。，

；.AC=28C=2后

在射线AB的下方作NM4B=30。，过点E作ETLAM于T,过点C作Ca_L4M于H.

VETA.AM,NE4T=30°,

D

3=次，

VZCAH-6O0,NC7M=90。，AC=2g，

C//=AC*sin6°=2V3x卷=3,

,//E+EC=CE+ET>CH,

：.^AE+EC>3,

.•.，E+EC的最小值为3,

故答案为3.

9.（2021・四川・成都市树德实验中学八年级期末）如图，△ABC中,NBAC=75。,NAC8=60。,AC=4,

则△ABC的面积为二点。，点E,点尸分别为BC,AB,AC上的动点，连接。E,EF,FD,则AOEF的

周长最小值为一

备用图

【答案】6+2b3^2+V6

【分析】（I）过点A作AH,8c于〃，根据N8AC=75。，ZC=60°,即可得到

（2）过点B作R/LAC于J,作点F关于A3的对称点M,点尸关于8c的对称点M连接BM,BN,BJ,

MN,MN交AB于E,交8c于D,此时△PET/的周长=MN的长，然后证明△是等腰直角三角形，

8M的值最小时，的值最小，再根据垂线段最短可知，当8F与即重合时，的值最小，由此求解即

可.

【详解】解：①如图，过点A作8c于H.

・•・ZAHB=ZAHC=9O09

VZBAC=75°,ZC=60°,

AZB=180°-ZBAC-ZC=45°,ZHAC=30°

：・BH=AH,HC=-AC=2

2

=y/AC2-HC2=2V3

:.AH=BH=2/,

：.BC=BH+CH=2y/3+2,

：.SAABC=^BC>AH=^(2V3+2)=6+2技

②如图，过点B作R/L4C于作点F关于A8的对称点M,点/关于BC的对称点M连接BM,BN,

BJ,MN,MN交AB于•E,交8c于O,此时△FE7T的周长=〃汽的长.

,;BF=BM=BM,NABM=NABJ,NCBJ=NCBN,

：.NM8N=2NA8C=90。，

...ABMN是等腰直角三角形，

•••8M的值最小时，MN的值最小，

根据垂线段最短可知，当8尸与即重合时，8M的值最小，

=25^12+4V3

二MN的最小值为夜氏/=3夜+6，

二/\DEF的周长的最小值为3&+V6.

故答案为：6+2-\/3-3\/2+V6.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，垂线

段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

10.（2021・全国•九年级专题练习）如图，在边长为4的正方形ABC。内有一动点P,且8P=&.连接CP,

将线段PC绕点P逆时针旋转90。得到线段P0.连接CQ、则打。+CQ的最小值为一.

【答案】5

【分析】连接AC、AQ,先证明△8cps/XAC。得票=当即4。=2,在4。上取4E=1,证明△Qk—△DNQ

得EQ=：QD,故?)Q+CQ=EQ+CQNCE,求出CE即可.

【详解】解：如图，连接AC、AQ,

•••四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90。得到线段PQ,

：.ZACB=ZPCQ=45°,

：.ZBCP=ZACQ,cosZACfi=—=^,cosZPCQ=—=—,

匕AC2*QC2

：.ZACB=ZPCOf

:,丛BCPs^ACQ,

•・・A—Q=V—2

BP2

,:BP=0,

・・・AQ=2,

在以A为圆心，A。为半径的圆上,

在4。上取AE=1,

V^=i,丝）,ZQAE=ZDAQ,

AQ2AD2

：./\QAE^^DAQ,

•嚼=抑々=9,

^DQ+CQ=EQ+CQ>CE,

连接CE,

•*-CE=\!DE2+CD2=5,

.6OQ+C。的最小值为5.

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键

在于能够连接AC、AQ,证明两对相似三角形求解.

11.（2021•全国•九年级专题练习）如图，四边形A8CO是菱形，A8=8,且NABC=60。，M为对角线8。（不

含B点）上任意一点，则AM+^BM的最小值为

D

【答案】4^/3

【分析】如图，过点A作ATLBC于7,过点M作8c于”，根据菱形的性质和30。角的直角三角形的

性质可得用于是可得的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可.

【详解】解：如图，过点A作ATLBC于丁，过点M作胡/7LBC于从

•四边形ABCD是菱形，/A8C=60。，

,ZDBC=-ZABC=30°,

2

t：MHA.BC,：.ZBHM=90°,

.\AM+-BM=AM+MH,

2

,：ATLBC,：.ZA7'B=90°,

.♦.AT=A8・sin60°=4H，

\'AM+MH>AT,

：.AM+MH>4y/3,

：.AM+^BM>4y/3,

：.AM+^BM的最小值为4V3.

故答案为：4V3.

【点睛】本题考查了菱形的性质、30。角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于

常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键.

12.（2021•全国•九年级专题练习）如图，nABCD中，/DAB=30。，AB=6,BC=2,P为边CD上的一动

点，贝I2PB+PD的最小值等于.

D

A

【答案】6

【分析】过点P作PELAD交AD的延长线于点E,根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB〃CD,推

HlPE=，D,由此得到当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用NDAB

=30。，ZAEP=90°,AB=6求出PB+PE的最小值=^AB=3,得至U2PB+PD的最小值等于6.

【详解】过点P作PE1AD交AD的延长线于点E,

•••四边形ABCD是平行四边形，

AAB/7CD,

NEDC=/DAB=30。，

.•.PE’PD,

2

V2PB+PD=2(PB+|PD)=2(PB+PE),

...当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，

,.•/DAB=30°,ZAEP=90°,AB=6,

APB+PE的最小值=^AB=3,

.♦.2PB+PD的最小值等于6,

故答案为：6.

【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30。角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点

共线的形式是解题的关键.

13.(2022・四川自贡•一模)如图，△ABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE14C于点E,0是线段BE上的

一个动点，则的最小值是.

【答案】4V5

【分析】过点D作。H14B于H,过点C作CMJ.48于M,首先通过勾股定理及tanA=2求出AE,BE的长

度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出CM=BE,然后通过锐角三角函数得出=更BD,进而可

5

得出CD+日8。=CD+DH，最后利用C7)+0">CM即可求值.

【详解】解：如图，过点D作。H148丁•“，过点C作CM于M.

U：BE1AC,

：.£AEB=90°,

设AE=Q,BE=2Q,

vAB2=AE2+BE2

A100=4+4a2,

••a2=20,

・・・0=2而或一2西（舍弃），

；・BE=2a=4倔

9CAB=4C,BELAC,CM工AB,

・・・CM=BE=4甚（等腰三角形两腰上的高相等）

■:乙DBH=ZLABE,乙BHD=CBEA,

•.DHAE病

・・sinzyOnBDHU=—=—=—，

BDAB5

'DH=£BD,

:.CD4BD=CD+DH,

:・CD+DH>CM,

二CD>4V5.

CD+^BD的最小值为4隗，

故答案为：4伤.

【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并

利用转化的思想是解题的关键.

14.（2021.全国•九年级专题练习）如图，抛物线3/=/一2%-3与》轴交于4、B两点,过8的直线交抛物

线于E,且tanNEBA。有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点。处，再以1.25

单位/s的速度沿着OE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s.

【分析】过点E作x轴的平行线，再过。点作y轴的平行线，两线相交于点H,如图，利用平行线的性质和三

角函数的定义得到tan4HE。=tan^EBA=^=-,设DH=4m,EH=3m,则。E=5m,则可判断蚂蚁从

EH3

。爬到E点所用的时间等于从。爬到H点所用的时