2021年中考数学压轴题专项高分突破训练-12 四边形中有关角的计算问题

专练12四边形中有关角的计算问题

1.如图1,在△ABC中，/ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD,以AD为一边且在AD的右侧

作正方形ADEF.

图1图2

图3

（1）如果AB=AC,ZBAC=90°,

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2,线段BD、CF的数量关系为_▲一，线段BD、CF

所在直线的位置关系为一▲一；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3,①中的结论是否仍然成立?并说明理由；

（2）如果ABWAC,NBAC是锐角，点D在线段BC上，当NACB=。时，CF1BC（点C、F不

重合）.

【答案】（1）①BD=CF；BDXCF；

②解：②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.

由正方形ADEF得AD=AF,ZDAF=90°,

/BAC=90°,

二ZDAF=ZBAC,

.\ZDAB=ZFAC,

又：AB=AC,

AADAB^AFAC,

，CF=BD,ZACF=ZABD.

VZBAC=90°,AB=AC,

NABC=45。，

NACF=45°,

NBCF=NACB+NACF=90度.

即CF±BD.

(2)45

【解析】解：(I)①正方形ADEF中，AD=AF,

ZBAC=ZDAF=90°,

.♦.NBAD=/CAF,

又；AB=AC,

.,.△DAB^AFAC,

，BD=CF,ZB=ZACF=45°,

/.ZACB+ZACF=90°,即BD_LCF,

故答案为：BD=CF；BD1CF

(2)当NACB=45。时，CF±BD(如图).

理由：过点A作AGLAC交CB的延长线于点G,

则NGAC=90。，

VZACB=45°,ZAGC=900-ZACB,

，NAGC=90°-45°=45°,

•,.ZACB=ZAGC=45°,

；.AC=AG,

VZDAG=ZFAC(同角的余角相等)，AD=AF,

/.△GAD^ACAF,

ZACF=ZAGC=45°,

NBCF=ZACB+/ACF=450+45°=90°,即CF1BC.

2.已知：菱形ABCD和菱形A'B'C'D',^BAD=AB'A'D',起始位置点A在边A'B'上，点B在

A'B'所在直线上，点B在点A的右侧，点B'在点A'的右侧，连接AC和A'C,将菱形ABCD以

A为旋转中心逆时针旋转a角(0°<a<180°).

(1)如图1,若点A与4'重合，且/.BAD=/.B'A'D'=90°,求证：BB'=DD'；

D'C

M是A'C上一点，当MA'=MA时，连接BM和A'C,BM和A'C

所在直线相交于点P；

①如图2,当/.BAD=Z.B'A'D'=90°时,请猜想线段BM和线段A'C的数量关系及乙BPC的度数;

②如图3,当A.BAD=AB'A'D'=60°时,请求出线段BM和线段A'C的数量关系及乙BPC的度数;

③在②的条件下，若点A与A'B'的中点重合，A'B'=4,AB=2,在整个旋转过程中，当点P与

点M重合时，请直接写出线段BM的长.

【答案】（1）证明：如图1,在菱形ABCD和菱形A旧，CD，中，；/8人口=/8贸17=90。,

四边形ABCD,四边形AB，CD都是正方形,

VZDAB=ZD,AB,=90°,

NDAD'=NBAB',

VAD=AB,AD'=AB',

.".△ADD^ABAB'(SAS),

・♦・DD'=BB'；

(2)解：①解：如图2中，结论：AC=y/2BM,NBPC=45。；

理由：设AC交BP于O,

•/四边形ABCD,四边形ABCD都是正方形,

・・・NMA，A=NDAC=45。，

・・・ZArAC=ZMAB,

,:MA'=MA,

/.ZMA'A=ZMAA'=45°,

・・・/AMA，=90。，

：4N=V2AM,

VAABC是等腰直角三角形，

VAC=V2AB,

.AA，ACr~—

•--=-=V2,

AMABv

VZA/AC=ZMAB,

/.△AA'C^AMAB,

A，CAZr-r

—=—=v2NA'CA=NABM,

BMAMv

，A'C=V2BM,

VZAOB=ZCOP,

/.ZCPO=ZOAB=45°,即/BPC=45°；

②解：如图3中，设AC交BP于O,

A

图3

在菱形ABCD和菱形AB,CTT中，YNBAD=NB，ATr=60。,

・・・NC'A'B'=NCAB=30。，

・・・NA，AC=NMAB,

VMAr=MA,

・・・ZMA'A=ZMAAz=30°,

:・\N=qAM,

在△ABC中，VBA=BC,ZCAB=30°,

・・・AC=QAB,

.AA，AC_r—

*'AM-AB-'

VZA,AC=ZMAB,

.♦.△A'ACs/XMAB,

：.—=—=yT,NACA-/ABM,

BMAMv3

:.NC=QBM,

VZAOB=ZCOP,

/.ZCPO=ZOAB=30°,即/BPC=30。；

③如图4中，过点A作AH，A，C于H,

图4

由题意AB=BC=CD=AD=2,可得AC=口AB=2亳，

在RtaA'AH中，A'H=|AA'=1,A'H=在AH="，

在RtAAHC中，CH=VAC2-AH2=1(2^)2.12=京，

，A，C=AH+CH="+伤，

由②可知，HC=QBM,

.*.BM=1+伍.

3

3.如图，菱形ABCD的边长为1,乙4BC=60°,点E是边AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂

直平分线交BD,CE分别于点EG,AE,EF的中点分别为M,N.

(1)求证：AF=EF；

(2)求MN+NG的最小值；

(3)当点E在4B上运动时，乙CEF的大小是否变化？为什么？

：FG垂直平分CE,

/.CF=EF,

•.•四边形ABCD为菱形，

二A和C关于对角线BD对称,

；.CF=AF,

；.AF=EF：

(2)解：连接AC,

DC

VM和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，

AMN=-AF,NG=-CF,即MN+NG=-(AF+CF),

222

当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，

AF+CF最小，即此时MN+NG最小，

,菱形ABCD边长为1,ZABC=60°,

AABC为等边三角形，AC=AB=1,

即MN+NG的最小值为|；

(3)解：不变，理由是：

VNEGF=90。，点N为EF中点,

，GN=FN=EN,

VAF=CF=EF,N为EF中点,

，MN=GN=FN=EN,

.,.△FNG为等边三角形，

即NFNG=60。，

VNG=NE,

二ZFNG=ZNGE+ZCEF=60°,

AZCEF=30°,为定值.

4.如图，在平面直角坐标系中，A(6,a),B(b,0),M(0,c),P点为y轴上一动点，且(b-2)2+|a

-6|+Vc—6—0.

(2)当P点在线段0M上运动时，是否存在一个点P使SAPAB=gSmj彩AMOB，若存在，请求出P点

的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)不论P点运动到直线0M上的任何位置(不包括点O、M),NPAM、/APB、NPBO三者之间是否

都存在某种固定的数量关系，如果存在，请利用所学知识找出并证明；如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：：(b-2)2+|a-6|+4二=0，

又,.•(b-2)2,>0,|a-6|>0,>0,

.\a=6,b=2,c=6.

AM(0,6),B(2,0),A(6,6),

AS四边形AMOB=\•(2+6)・6=24

(2)解：存在.设P(0,m).

PAB=1S四边形AMOB,四边形AMOB是直角梯形，

24--,m«2--,(6-m)・6=-x24,

223

m=1,

：.P(0,1).

(3)解：①如图2-1中，当点P在线段OM上时，结论：ZAPB-ZPBO=ZPAM；

图2-1

理由：作PQ〃AM,则PQ〃AM〃ON,

AZ1=ZPAM,Z2=ZPBO,

・・・Z1+Z2=ZPAM+ZPBO,

即ZAPB=ZPAM+ZPBO,

ZAPB-ZPBO=ZPAM；

②如图2-2中所示，当点P在MO的延长线上时，结论：ZAPB+ZPBO=ZPAM.

图2-2

理由：VAM/7OB,

AZPAM=Z3,

VZ3=ZAPB+ZPBO,

JNAPB+/PBO=ZPAM.

③如图2-3中，当点P在OM的延长线上时，结论：NPBO=/PAM+NAPB.

图2・3

理由：VAM/7OB,

JZ4=ZPBO,

N4=NPAM+NAPB,

・・・NPBO=ZPAM+ZAPB.

5.已知在四边形ABCD中，乙4=%,zC=y,(0°<%<180°,0°<y<180°).

D

（1）^ABC+AADC=（用含x、y的代数式直接填空）；

（2）如图1,若x=y=90°.DE平分AADC,BF平分心CBM,请写出DE与BF的位置关系，并说明

理由；

（3）如图2,乙DFB为四边形ABCD的^ABC、LADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角.

①若x+y=120",4DFB=20",试求x、y.

（2）小明在作图时，发现乙DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，Z.DFB不存在.

【答案】（1）360°-x-y

（2）解：DE1BF.

•••DE平分ZADC,BF平分zMBC,

11

/.ZCDE=izADC,Z.CBF=izCBM,

22

又・・•4cBM=180°-4ABe=180°一(180°-zADC)=4ADC,

・•・zCDE=zCBF,

又vZ.DGC=Z.BGE,

AZBEG=ZC=90°,

••・DE1BF；

(3)解：①由(1)得：4CDN+NCBM=360°-(360°-x-y)=x+y,

•••BF、DF分别平分ZCBM、ZCDN,

zCDF+zCBF=1(x+y),

图2

贝ljZCBD+ZCDB=180°-y,

zFBD+zFDB=1800-y+1(x+y)=180°-|y+|x,

,-.zDFB=iy-ix=20»,

x4-y=120°

解方程组:?y*x=20。

x=40"

可得:0=80°

②当x=y时，zFBD+zFDB=180°-|y+|x=180°,

•••ZABC、ZADC相邻的外角平分线所在直线互相平行,

此时，ZDFB不存在.

【解析】解：(1)•••zA+zABC+zC+ZADC=360°,zA=x,zC=y,

:.zABC+Z.ADC=360°—x—y.

故答案为360°-x-y.

6.数学概念

百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这

样的四边形叫做凹四边形.

如图①，在四边形ABCD中，画出DC所在直线MN,边BC、AD分别在直线MN的两旁，则四边形ABCD

就是凹四边形.

B

M

（1）性质初探

在图①所示的凹四边形ABCD中，求证：ZBCD-ZA+ZB+ZD.

（2）深入研究

如图②，在凹四边形ABCD中，AB与CD所在直线垂直，AD与BC所在直线垂直，/B、ND的角平分

线相交于点E.

①求证：ZA+ZBCD=180°；

②随着NA的变化，/BED的大小会发生变化吗？如果有变化，请探索NBED与NA的数量关系；如果没

有变化，请求出/BED的度数.

【答案】（1）证明：如图①，延长DC交AB于点E.

VZBEC是^AED的一个外角,

二NA+ND=NBEC.

同理，NB+/BEC=NBCD.

，ZBCD=ZA+ZD+ZB.

(2)解：①证明：如图②，延长BC、DC分别交AD、AB于点F、G.

又：在四边形AFCG中，ZAFC+ZAGC+ZA+ZFCG=360°,

，NA+NFCG=180°.

VZFCG=ZBCD,

/.ZA+ZBCD=180°.

②解：由（1）可知，在凹四边形ABED中，

ZA+ZABE+ZADE=ZBED.®

同理，在凹四边形EBCD中，

ZBED+ZEBC+NEDC=/BCD.②

：BE平分NABC,

/.ZABE=ZEBC.

同理，NADE=NEDC.

①一②，得NA+NBCD=2/BED.

由（2）①可知，在凹四边形ABCD中，ZA+ZBCD=180°.

.,.2ZBED=180°,

二ZBED=90°.

7.如图①，/I、N2是四边形ABCD的两个不相邻的外角.

(1)猜想并说明N1+N2与/A、NC的数量关系；

(2)如图②，在四边形ABCD中，NABC与NADC的平分线交于点O.若NA=50。，ZC=150°,求

ZBOD的度数；

(3)如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角NCBE、NCDF的角平分线.请直接写出NA、NC与NO

的的数量关系.

【答案】(1)解：猜想：ZL1+Z.2=ZA+ZC,

Vzl+ZABC+42+ZADC=360°,

又•••ZA+4ABe+ZC+ZADC=360°,

41+42=4A+NC;

(2)解：vzA=50°,zC=150°,

•••ZABC+ZADC=360°-200°=160°,

又•••BO、DO分别平分ZABC与Z.ADC,

zOBC=-zABC,zODC=-zADC,

22

•••ZOBC+Z.ODC=|(ZABC+ZADC)=80°,

ZBOD=360°-(ZOBC+zODC+ZC)=130°；

(3)ZC-ZA=2ZO

【解析】解：(3)7BO、DO分别是四边形ABCD外角zCBE、zCDF的角平分线.

ZFDC=2ZFDO=2ZODC,ZEBC=2zEBO=2zCBO,

由(1)可知：

zFDO+zEBO=zA+z.0,

2Z.FDO+2zEBO=Z.A+zC,

・•・2乙A+2zO=ZA+Z.C,

•••Z.C-NA=2z.O.

答：ZA、/C与40的的数量关系为ZC-Z.A=2Z0.

故答案为：ZC-ZA=2ZO.

8.如图1,在Rt^ABC中，AA=90°,AB=AC,点D.E分别在边4B,AC上，AD=AE,连接

DC，点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.

图1图2

(1)图1中线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；

(2)把△4DE绕点A逆时针旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE.请判断4ABD与AACE是否相

等，请说明理由；

(3)试判断△PMN的形状，并说明理由.

【答案】(1)PM=PN；PM1PN

(2)解：ZABD=ZACE

理由如下

vAB=AC,AD=AE

由旋转得ZBAD=ZCAE

AABDSAACE(SAS)

Z.ABD=zACE

(3)解：APMN是等腰直角三角形

△ABD=AACE

・•・BD=CE

•••点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点

PM="(：,PN=』BD

22

・•・PN=PM

V点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点

APM//CE,PN//BD

・•・ZDPM=ZDCE,ZPNC=zDBC

・•・ZMPN=ZDPM+ZDPN

=Z.DCE+Z.DCB+Z.DBC

=Z.DCA+Z.ACE+Z.DCB+Z.DBC

=ZDCA+ZABD+ZDCB+zDBC

=zACB4-Z.ABC

・・・zBAC=90°

・•・ZACB+ZABC=90°

・・・ZMPN=90°

・・・APMN是等腰直角三角形

【解析】解：（1）如图1中，•・•点P,N是BC,CD的中点，

1

・・.PN//BD.PN=-BD

•・•点P,M是CD,DE的中点,

1

・・.PM//CE,PM=-CE

VAB=AC,AD=AE,

ABD=CE,

APM=PN,

•・・PN〃BD,

AZDPN=ZADC,

・・・PM〃CE,

AZDPM=ZDCA,

•・•ZBAC=90°,

・・・ZADC+ZACD=90°,

.*.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCA+ZADC=90°,

，PM1PN,

故答案为：PM=PN,PM±PN.

9.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在射线BC上，且四边形DEFG是正方形，连接

(3)若AB=2V2，当点E在AC上移动时，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值.

(4)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30。时，直接写出NEFC的度数.

【答案】（1）证明：如图1

图1

V四边形ABCD、四边形DEFG都是正方形

ADA=DC,DE=DG,ZADC=ZEDG=90°

■:ZADC-ZEDC=ZEDG-ZEDC

AZADE=ZCDG,

在^ADE和^CDG

AD=CD,ZADE=ZCDG,DE=DG

AAADE^ACDG(SAS)

AAE=CG

(2)证明：如图I；四边形ABCD是正方形

，ZDAC=ZACD=45°

V.AADE^ACDG

，/DAE=/DCG=45°

，ZACG=ZACD+ZDCG=90°

(3)解:有最小值

如图1：连接EG

VZACG=90°

.1△ECG是直角三角形，AE=CG

，AE2+EC2=EC2+CG2=EG2,

•••四边形DEFG是正方形，

/.EG=V2DE,

.♦.DE的值最小时，EG的值最小，

.•.当DE_LAC,DE=-AC=£AB=2,AE2+CE2时的值最小,

22

AE2+EC2=EG2=(&DE)2=(2V2)2=8

(4)NEFC=120。或30。

【解析】(4)如图析当NADE=30。时

VZCED=ZEAD+ZADE=45o4-30°=75°,ZDEF=90°

AZCEF=90°-75°=15°

ZEFC=180°-ZECF-ZCEF=180°-45°-15°=120°；

如图3,当NCDE=30。时

・•・ZDEC=180°-30°-45°=1050

,/ZDEF=90°

/.ZCEF=15°

・・・ZEFC=ZACB-ZCEF=45°-15°=30°；

综上，满足题意得NEFC的值为120。或30°.

图2图3

10.如图1,已知乙4cB=80。，点A在直线EF上，点B在直线GH上，且^CAR4-Z-CBG=80°.

(1)试判断直线EF与GH的位置关系，并说明理由；

(2)如图2,若点B在直线GH上运动，作/.CAP=2^CAE,作乙CBP=2乙CBG,试判断乙APB的大

小是否随着点B的运动而发生变化？若不变，求出^APB的大小；若变化，请说明理由.

【答案】(1)解：平行，理由如下，

过C作CD//EF,

ZACB=80°,

JzACD+zDCB=80°.

CD//EF,

:.ZEAC=ZACD.

又「ZCAE4-ZCBG=80°,

，ZDCB=ZCBG,

；・CD//GH,

CD//EF,

・・・GH//EF；

(2)解：/APB的大小不会随着点B的运动而发生变化，理由如下:

VZCAP=2ZCAE,ZCBP=2ZCBG,

二ZCAP+ZCBP=2ZCAE+2ZCBG=2(ZCAE+ZCBG)=2x80°=160°,

,ZAPB=360°-ZACB-(ZCAP+ZCBP)=360°-80°-160°=120°.

所以NAPB的大小为120°.

11.已知正方形ABCD,P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,

连接EA,EC,AC.

(1)如图1,若点P在线段AB的延长线上，判断4ACE的形状，并说明理由;

(2)如图2,若点P在线段AB上

①若点P是线段AB的中点，判断AACE的形状，并说明理由;

②当AB=RBP时，请直接写出NCAE的度数.

【答案】(I)解：(l)AACE等腰三角形

理由如下:

如图，连接AF,CP,

D

四边形ABCD,四边形FBPE是正方形

，AB=BC,BF=BP,ZABC=90°=ZEFB=ZEPB,

.♦.NABF=NCBP=90。，且AB=BC,BF=BP

.,.△AFB^ACPB(SAS)

，AF=CP,ZAFB=ZCPB,

ZAFB+ZEFB=ZCPB+ZEPB

，NAFE=NCPE,且AF=CP,EF=EP,

.,.△AFE^ACFE(SAS)

/.AE=CE,

.,.△ACE是等腰三角形

(2)解：①AACE是直角三角形

理由如下：

♦••点P是线段AB的中点，

，AP=PB=-AB

2

设AP=PB=PE=EF=BF=a,则AB=2a=BC,CF=3a,

：AC2=AD2+CD2=8a2，CE2=CF2+EF2=10a2AE2=AP2+PE2=2a2

/.CE2=AC2+AE2,

.♦.△ACE是直角三角形

②如凰连接BE,

:四边形ABCD,四边形FBPE是正方形,

，NCAB=NEBP=45。，BE=近PB,

VAB=V2PB,

.♦.AB=BE,

，/EAB=/AEB=67.5。，

，ZCAE=ZEAB+ZCAB=112.5°.

12.