第五章 留数及其应用

第五章留数及其应用

(Residueandapplication)

第一讲

授课题目：§5.1孤立奇点

教学内容：孤立奇点的分类、各类奇点的特征、函数的零点与

极点的关系、函数的零点与极点的关系.函数在无穷

远点的性态

学时安排：2学时

教学目标：1、掌握孤立奇点的分类

2、理解并掌握各类奇点的特征

3、了解函数的零点与极点的关系及函数的零点与极

点的关系

教学重点：孤立奇点的分类

教学难点：各类奇点的特征

教学方式：多媒体与板书相结合

作业布置：《32-133习题五：1-5

板书设计：一、孤立奇点的分类

二、各类奇点的特征

三、函数的零点与极点的关系

参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育

出版社.

2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高

等教育出版.

3、《复变函数论》，(钟玉泉编，高等教育出版社，

第二版）2005年5月.

4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等

教育出版社，2008年4月.

课后记事：1、会判断函数的孤立奇点，并能正确分类

2、基本掌握各类奇点的特征

3、课后要答疑

教学过程：

§5.1孤立奇点

(Isolatedsingularpoint)

一、孤立奇点的分类(Isolatedsingularpointsof)

设函数/(z)在去掉圆心的圆盘。:0<|z-Zol<R(O<H<一)内

解析，那么我们称z0为/'(z)的孤立奇点.在。内，/(z)有洛朗

展式

/(z)=Z%(z—z。)",

rt=-oo

其中

f(G

ad0,(n=0,+l,±2,...)

n2万Jq《一Zo)”+i

+oo

g是圆|z—Zo|=p(O<p<R).Z%(z—z。)"，为/'(z)的解析部

n=-0

分，

J~oo

Xa_〃(z—z0)f,为/(z)的主要部分.

n=l

,1]

例10是把上,e"L的孤立奇点.

Z2

例2/(z)=—1，z0=」—(〃=1,2,…)是它的孤立奇点.

si.n—1n7i

z

一般地，对于上述函数/(z),按照它的洛朗展式含负辱的

情况(主要部分的情况)，可以把孤立奇点分类如下：

定义(Definition)5.1(1)若/(z)在z0的主要部分为零,

则称z0为f(z)的可去奇点.

(2)若于(z)在z0点的主要部分为有限多项.即

J1+.•.+j(Z"0)

(Z-ZoL(Z-Z0)"TZ-Zo

则称2o为于(z)的加阶极点.

(3)若/(z)在Z。点的主要部分有无限多项，则称Z。

为/(Z)的本性奇点.

二、各类奇点的特征

(Thecharacteristicsofvarioustypesofsingularities)

1、可去奇点(Removablesingularity)我们说2°是/'(z)

的可去奇点，或者说/(z)在Zo有可去奇点.这是因为令

/(Zo)=g，就得到在整个圆盘IZ-Zo|<R内的解析函数f(z).

定理(Theorem)5.1函数f(z)在D:0<|z-z。|<7?(0<R<+oo)内

解析，那么Z。是/'(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着

极限，limy(z)=a0,其中既是一个复数.

ZfZ。

证明：(必要性).已知Z。是/'(Z)的可去奇点，在

0<|z-z0|<R内，/(z)有洛朗展式：

f(z)=ao+al(z-zo)+...+a,Xz-zoy'+...

因为上式右边的哥级数的收敛半径至少是R,所以它的和函数在

|z-Zo|<R内解析，于是显然存在着lim/(z)=4.

zfz0

(充分性)设在0<|2-4)|<氏内，/(z)的洛朗展式是

，(z)=^ajz-zg)",

n=-oo

其中》言+心人皿及…)

已知lim/(z)=%,所以存在着两个正数根及eo(WR),使得

ZfZ0

在0<|Z-Zo|<20内,

"(z)l<M

那么取0,使得0<夕<夕0，我们有

la„\<—M^=—(n=0,±1,±2,.„)

"2乃p'Mpn

当％vO时，在上式中令夕趋近于0,

就得到%=0(九=.于是2°是/(z)的可去奇点.

定理(Theorem)5.了设z0为/(z)的孤立奇点，则z0是/(z)的

可去奇点的充分必要条件是：存在着某一个正数4(WR),使得

于(z)在0<|z-Z。|</?o内有界.

2.极点(Pole)

设Z()是/(z)的加阶极点.当加=1时，称z()是/(Z)的单极

点，当机>1时，称Z。是/(Z)的加重极点.

Z。是/Xz)的加21)阶极点，那么在o<|2-z°|<R内，/'(Z)有

洛朗展式:

f(z\=——zm_+_。+1_++%

J«)/、机十/\zn-l十…十

(z-z0)(z-z0)z-z0

+0LQ+/(Z—z0)+…+a八(z—z。)"+…

在这里Of。0.于是在0<|z-z0|<R内

fr(zZ\)=---^--m---+---^-m+.1..+——I—

(z—Zo)M(z—Zo尸Z-Z0

n]

+a0+a1(z-z0)+...+all(z-z0)+...=；~-—(p{z]

(z-z(J

其中9(Z)是一个在|2-2()|<7?内解析的函数，并且。(z())wO.反

之，如果函数/'(z)在0<|z-z°|<R内可以表示成为上式右端的

形状,而夕(z)是一个在\z-z0\<R内解析的函数,并且(p(z0)w0,

那么可以推出z。是/(z)的m阶极点.这样我们就得到：

Zo是/(Z)的m阶极点充要条件是：

于⑶=/1丫”0(z)(1)

(z-Z°J

其中9(z)在2o解析，并且。(Zo)wO.

由此可得如下定理：

定理(Theorem)5.2

设函数/(z)在。:0<|z-z0|<R(0<R〈”)内解析，那么20

是/(z)的极点的充分必要条件是：lim/(z)=00.

ZfZ0

推论设函数〃z)在。在<|z-Zol<R(O<RVw)内解析，那

么2()是/(z)的m阶极点的充分必要条件是:

^(z-z)mf(z)=a_,

ZfZo0m

在这里加是一个正整数，a口是一个不等于0的复常数.

3.本性奇点(Essentialsingularity)

定理(Theorem)5.3

设函数/(z)在。:0<|Z-Zo|<7?(0<R<+00)内解析，那么z0

是〃z)的本性奇点的充分必要条件是：不存在有限或无穷极限

limf(z).

ZfZo

1

例3研究是函数/(z)="孤立奇点的类型

1

解：2=0是函数/(2)="的孤立奇点.

]_

当Z沿正实轴趋近于。时，/趋近于+00；

当z沿负实轴趋近于0时，「趋近于0；

所以lime，不存在，故z=0是函数/(z)=ez的本性奇点.

z—>0

例4研究是函数/'(z)=把上孤立奇点的类型

Z

解：z=0是函数/'(z)=亚的孤立奇点.因为函数

Z

/(Z)=把上在0<|Z|<+8内的洛朗展式为

Z

z3!5!(2n+1)!

由于展式中负易项系数均为0,故故z=0是函数/^)=把上的

Z

可去奇点.

例5求出下列函数的奇点，并确定它们的类型，对无穷远点

也要加以讨论：

⑴".〜⑵"心5

解(1)(法一)/'(z)以z=0为奇点

先求/(z)在0<|z|<+00的洛朗展式:

sinz-z400(-l)?!z2n+l1+00(~l)nz2n+1

f(z)=

3

zn=0(zn+1)!Zn=i(2〃+l)!

由此，/(z)在z=0的负募项部分为零；故z=0为/Xz)的可去

奇点.

(法二)

sinz—z「cosz-1..一sinz1

内为

lim-----3-——=lim----------=lim--------=——

z-ozz-o3z~z—o6z6

故z=0为/'(z)可去的奇点

(2)显然z=l是/(z)的二级极点.

三、函数的零点与极点的关系

(Functionrelationshipbetweenthezeroandpole)

定义(Definition)5.2若f(z)=(z-z0)"'^(z),其中°(z)在

2o解析，且G(Zo)wO,加是一正整数，则称Z°为/(z)的m阶零

点.

定理(Theorem)5.4若f(z)在z()解析，则z0为f(z)的加阶

零点充分必要条件是

/（"）（z0）=0（九=0,1，…m-1）"（叫z。）丰0

证明：（必要性）若z0为/Xz）的加阶零点，则

m

/（z）=（z-z0）^z）

设9（Z）在Zo的泰勒展式为

G（Z）=tzo+«1（Z-z0）+...+tzn（z-Zoy+...

其中4=9（Zo）WO,从而/（z）在Zo的泰勒展式为

/（z）=g（z—Zo）"+%（Z—Zo产1+•••

由此式推知

#）（Zo）=05=0,1,.•./«-1）,/（'"）（z°H0

（充分性）课后作业

注1:不恒为零的解析函数的零点是孤立的

（Analyticfunctionisnotidenticallyzerozerois

isolated）

零点与极点有如下关系

定理（Theorem）5.5z（）为f（z）的m阶极点，则z是—的m

0Az）

阶零点，反之亦然.

例6函数/'（z）：」一有什么奇点？如果是极点，指出它们

sinz

的阶.

解：5抽2=0=>2=左左（左=0,±1,±2「-）是函数/（Z）的孤立奇

点，由于(sinz)[z=kn丰0(左=0,±1,±2,…),

所以Z=k7l(k=0,±l,±2,…)都是SilE的一阶零点，也就是

/(z)=一阶极点.

sinz

四、函数在无穷远点的性态(Functioninthebehaviorof

Infinity)

定义(Definition)5.3设函数/(z)在无穷远点的邻域

R<|z|<+oo内解析，则称无穷远点为/(z)的孤立奇点.

在R<|z|<+s内，/(z)有洛朗级数展式：

/(z)=Za“z"(2)

n=-oo

其中％

令2=工，按照火>0或R=0,我们得到在0<|训<,或

wR

0<|w\<+00内解析的函数9(.)=/('),在0<|训<,内其洛朗

wR

级数展式是：

jbOO

90)=

W=-oo

再用W=L代入，得到在R<|2|<+00内

Z

J~oo

f(z)=£b“zf(3)

«=-oo

(3)与(2)对比得

«„=2“,("=0,±1,±2,…)

因此，有

(1)在(2)中,如果当时“=1,2,3,…时，%=0,那么z=oo

是/'(z)的可去奇点.

(2)在(2)中，如果只有有限个(至少一个)整数〃〉0,

使得％/o,那么z=8是y(z)的极点.设对于正整数加，%,Wo,

而当〃>根时，an=0,那么我们称z=8是y(z)的M阶极点.

(3)在(2)中，如果有无限个整数">0,使得%/0,

那么称z=co是/(z)的本性奇点.

-00+00

注2：我们也称X%z"，Z%z",分别为级数£%z",的解

n=0n=ln=-oo

析部分和主要部分.

注3：若Z=8为/(2)的可去奇点，也说/(Z)在无穷远点解

析.

注4：有限点的结论都可以推广到无穷远点的情形，有

定理(Theorem)5.6设函数/(z)在无穷远点的邻域

R<\z\<+oo(/?>0)内解析，则孤立奇点z=s为/'(z)的可去

奇点、极点、本性奇点的充分必要条件是存在着有限、无穷极

限lim/(z)、不存在有限或无穷的极限lim/(z).

zfcoz—>oo

例7求函数/(Z)=—二在8的去心邻域内的洛朗展式，

z(z-l)

并指出其收级域.

解：因/(Z)在l<|z|<+8内解析，故在此领域内展为洛朗

级数.

z(z_i)=7^—1=J口丁力"二？广？7r

z

例8函数/(z)=l+2z+3z2+4z3是否以z=oo为孤立奇

点？若是，属于哪一类？

解：函数人>)=1+22+322+423在全平面上解析，式子本身

就是/(z)在无穷远点的邻域|z|<+00内的洛朗展式，所以Z=00

是函数/(Z)的孤立奇点且为三阶极点.

例9函数7•9)='是否以z=oo为孤立奇点？

sinz

解：函数7••)='在全平面上除sinz的零点以外为解

sinz

析，但sinz的零点z&=k曲=0,±1,±2,…)，它们都是以z)=—

sinz

的极点，且在扩充复平面上，序列｛Z&｝以Z=oo为聚点，因此

Z=GO不是函数/(z)=」一的孤立奇点.

sinz

21

§5.2留数

留数的概念及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的的留数.

1、掌握留数定理及留数的求法

2、正确理解函数在无穷远点的的留数

3、了解留数的概念

留数定理

留数的求法

讲授法多媒体与板书相结合

《32-133思考题：1，2,3.习题五：6~8

一、留数定理

二、留数的求法

三、函数在无穷远点的的留数

[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.

[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.

[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.

[4]《复变函数与积分变换》，苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008.

1、会求留数

2、能理解留数的概念

3、课后要答疑

第二讲

授课题目：§5.2留数

教学内容：留数的概念及留数定理、留数的求法、函数在无穷

远点的的留数.

学时安排：2学时

教学目标：1、掌握留数定理及留数的求法

2、正确理解函数在无穷远点的的留数

3、了解留数的概念

教学重点：留数定理

教学难点：留数的求法

教学方式：多媒体与板书相结合

作业布置：/2-133思考题：1，2,3.习题五：6-8

板书设计：一、留数定理

二、留数的求法

三、函数在无穷远点的的留数

参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育

出版社.

2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高

等教育出版.

3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，

第二版）2005年5月.

4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等

教育出版社，2008年4月.

课后记事:1、会求留数

2、能理解留数的概念

3、课后要答疑

教学过程:

§5.2留数

(Residue)

一、留数的概念及留数定理

(Theconceptoftheresidueandtheresiduetheorem)

设函数f(z)在点z0解析.作圆C：|z-z0|=r，使f(z)在以它

为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分

£/(z)t/z=O

设函数/(z)在区域0<|z-z0|<R内解析.选取尸，使

0<r<R,并且作圆C:|z-z0|=r,那么如果/\z)在20也解析,

则L/(z)dz=O；如果z0是/(z)的孤立奇点，则积分L〃z)dz就

不一定等于零；关于［j(z)dz的计算有

定义(Definition)5.4如果z()是/(z)的孤立奇点，函数

/'(z)在区域0<|2-z°|<R内解析.则称积分工［于(z)dz为

/(Z)在孤立奇点Z。的留数，记作Res"(z),z。)］,这里积分是沿

着C按逆时针方向取的.

注1：我们定义的留数Res"(z),z。)］与圆C的半径r无关.

事实上:在O<|z-Zol<R内，/(z)有洛朗展式：

+00.

以Z)=\%(z-Z。)"，

1=-00

1-

当〃二_1时，a_=——\于(z)dz

x2切此

有［于(z)dz=2万ia_

Jcx

即,Res［/(z),z0)］=a_x.(1)

这就是说〃z)在孤立奇点z0的留数等于其洛朗级数展式中

工一的系数.

z—zO

注2：如果z0是/'(z)的可去奇点，那么Res"(z),Zo)]=O

1

例1求/(2)=ze，在孤立奇点z=0处的留数

解：在0<|z|<+oo内

所以Res[/(z),O)]=%=g

定理(Theorem)5.7(柯西留数定理)(Cauchyresidue

theorem)

设/(z)在。内除去有孤立奇点4/2，...,Z“外处处解析，。是

。内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么

J/(z)Jz=Res[f(z),zJ,(2)

k=l

证明：以。内每一个孤立奇点z«=l,2,…〃)为心，作圆九,

使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D内，并且使任意两个这

样的闭圆盘彼此无公共点.根据柯西定理有

Jc/(z)dz='1/⑶改，

1rn1

由此得丁1/仁加^二工丁一jry(z)dz,

即

《「/⑶心雪Res"(z),z]n

J/(z)dz=2%SRes[f(z),zJ,

二、留数的求法(MethodofCalculatingtheresidue)

法则L设z。是〃z)的一个一阶极点.则

Res[/(z),z0]=lim(z-z0)/(z)(3)

Zfz0

证明：z。是〃2)的一个一阶极点.因此在去掉中心Z°的某

一圆盘内(ZWZ。)，

/(z)=-1—e(z)

z-z。

其中9(Z)在这个圆盘内包括z=z°解析，其泰勒级数展式是：

4-00

n

(p(z)=^an(z-z0),

n=0

而且a°=9(z°)w0.显然，在以z)的洛朗级数中」一的系数等

2-Z()

于9(2°),因此

z

Res"(z),Z。]=Xo)=9(z)=lim(z-z0)/(z)

Z—^ZQZ—^ZQ

例2求函数/(z)='—一^在各孤立奇点处的留数

2(Z-2)(Z+5)

解：由于2=0,2-5是/(z)的一阶极点，有

Res[/(z),O]=limzf(z)=lim7------士----------、二--—

z—>0z—>0(Z-2)(z+5)10

Res"(z),2]=睫z-2)/(z)=理工=：

Res[/(z),-5]=lim(z+5)/(z)=lim11

z—>-5z->-52(z-2)―35

P(z)

法则2：设/(z)=其中尸(z)及Q(z)在z=z°解析,

。⑶

尸(Zo)wO,2。是Q(z)的一阶零点，那么z0是〃z)的一阶极点,

且

Res"(z)，z°]=磊

(4)

证明：利用法则1注意下面式子

Res[/(z),z0]=lim(z-z0)/(z)

ZfZo

尸(Z)_P(z。)

=lim(z-z0)

z->z0Q(z)-Q(zo)-Q'(z°)

即可得证.

上v在极点处的留数

例3函数/(z)

1+z2

解：因为函数

eiz

有两个一阶极点z=±i,且

尸(Z)=1d

Q'(z)—2z

iz

由法贝U2Res[/(z),z]=—I

2z

iz

Res[/(z),-z]=—|--e.

2z2

法则3：设z。是y(z)的一个m阶极点.则

/T[(Z—20)""(2)]

Res[/(z),z0]-------lim(5)

(m-1)!z-zo

例4求函数

e~z

/(2)=—

Z-

在z=0处的留数

解：因z=。是/'(z)的二阶极点，则有公式(5)有

1

Res[/(z),0]=——lim7口=j1m(_二，)=T

''(2-1)!Zf。dz2TZf°\>

三、函数在无穷远点的的留数(FunctionInfinityresidue)

定义(Definition)5.5设z=oo为/(z)的一个孤立奇点，

即/'(z)在R<|z|<+8内解析，则称

f(z)dz,(T:|z|=P>R)

17U"

为/'(z)在点Z=8的留数.记为Res"(z),8].这里「是指顺时

针方向.

注3：若/(z)在R<|z|<+s内的洛朗展式为

/(Z)=E%z

n=-oo

则有Res"(z),oo]=-«_1

注4：/(z)的有限可去奇点。处，有Res"(z),a]=O,但

是如果点8为/'(z)的可去奇点(或解析点)，则Res"(z),8]可

以不是零.

例如Re5[—,00]=-1

z

定理(Theorem)5.8如果/(z)在扩充z平面上只有有限个孤

立奇点(包括无穷远点在内)，设为名,出，…4，00，则/(z)在各

点的留数总和为零.

证明：对于充分大的正数R,使外,。2,…。〃全在lz|<R内，由

留数定理得

占LJ(z)dz=£Res[/(z),tzJ

1

而丁[rJ(z)dz=-Res"(z),8]

J|z|二R

故得£Res[/(z),aJ+Res"(z),oo]=0.

k=\

法则4：Res"(z),8]=-Res二/11,0

证明：在无穷远点留数定义中，令Z=M".并令z=L,经

G

过化简即可得证.

例5求函数〃z)=「~J—寸在它各有限奇点的留数

.4+2)2(Z-2)3

总和.

解：函数的有限奇点是2及々=正6丁"(左=0,1,2,3),共

五个.其中2是三阶极点，每个々是二阶极点，显然，逐个求出

在各奇点的留数，不论用规则2或展开洛朗级数，都是十分麻

烦的，现在我们利用定理5.8来求：

Res[f(z\2\+Res[f(z\zj+Res[/(z),同=0

Res[/(z),oo]=-Resf\

Z(1+2Z4)2(1-2Z)3

=-lim

Zf。[z(l+2z4J

所以欲求的留数之和为1

注5：定理5.8为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一

种方法.如下例

例6计算积分£.其中C为正向圆周

目=2

解：除00外，被积函数的奇点是z=7,1,3,据定理5.8有

Res[f(z),-i]+Re+Res[/(z),3]+Res[f(z),oo]=0,其中

f(z\=-----------------

U(Z+叭z-l)(z-3)

由于z=T,l,都在。的内部，所以从上式、留数定理与法则4

得至U，

。3。（：五3产即［"，网，［儿）」］｝

]Tii

-2加{Res[f(z),3]}+Res[f(z\oo]=-2m_2(3+z)lo+

21

§5.3留数在定积分中的应用

*§5.4对数留数与辐角原理

形如/=/"氏6出入。05，）力的积分、形如jR（x）dx型积分、

形如

-00

+00

jR{x}ei,nxdx的积分.对数留数、辐角原理、儒歇(Rouche)定理.

—00

1、熟练掌握/=『H(sint,cost)dt、JR(x)dx、JR(x)eimxdx的计

—00—00

算方法2、掌握儒歇(Rouche)定理及其应用

3、正确应用辐角原理4、了解对数留数

「2万

形如/=，R(sinf,cosf)dt的积分，辐角原理

*0

形如jR(x)eimxdx的积分，辐角原理

讲授法多媒体与板书相结合

432—133思考题：L2,3.习题五：6~8

一、形如R(sin/,cosf)df的积分

J0

•+OO

二、形如jR{x}dx型积分

—00

+O0

三、形如jR{x}eimxdx的积分

四、对数留数

五、辐角原理

六、儒歇(Rouche)定理

[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.

[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.

[3]《复变函数论》，(钟玉泉编，高等教育出版社，第二版)2005.

[4]《复变函数与积分变换》，苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008.

1、不能正确掌握jR(x)e'日dx

—00

2、会求形如/=E(sin%,cos%)力的积分

*0

3、能正确运用儒歇(Rouche)定理

4、辐角原理掌握不太好

5、课后要答疑

第三讲

§5.3留数在定积分中的应用

(Residueintheapplicationofdefiniteintegral)

在数学分析中往往要计算一些定积分或反常积分，而这些

积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；或者

可以求出原函数，但计算也非常繁琐.在这种情况下把这些定积

分的计算问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数.下

面通过例子进行讨论.

024

形如/=，R(sin6,cos，)d，的积分,

令Z=e",则必=诂％/6=4夕=空

其中Msindcose)是sin3,cos0的有理分式，当0V夕V2"时,

z沿单位圆目=1的正向绕行一周，因此有

-1-17

『R(sin仇cose^de=1日R(三,A合⑴

例1计算积分

产dO

J。a+sin。

其中常数a>l.

解：令2=6/，则/=诂%/夕=4。=走

由（1）I=

zl=1z2+2iaz-l'

7

于是应用留数定理，只需计算/(Z)=M，——在|z|<l内极

一乙IC；1

点处的留数，就可求出.

上面的被积函数有两个极点：Z]=-h+T—1及

2

z2=-ia-zVa-1.显然|马Ivljz2|>1.因此被积函数在[z|<l内

只有一个极点z「于⑵二丁」——在极点句的留数为

于是求得

I=2m

二、形如jR(x)dx型积分

其中MZ)=2@为有理分式函数.

定理5.9设R(z)=f@为有理分式，其中

Q(z)

mmx

P(z)=aoz+axz~H■…+am,c00;

Q(z)=%z0+4z"T+…+2，

为互质多项式，且合条件：

(1)n-m>2，即Q(z)比尸(z)至少高两次，

(2)Q(z)在实轴上无零点，

(3)R(z)在上半平面Imz>0内的极点为zk(k=1,2,…,

jR(x)dx=2m，Res(R(z),zQ

例2计算积分〕:高产

解：因为被积分函数是一个偶函数，所以

「8xJx=1_「8V=z2

Jo(x2+l)2-2J-(X2+1)2八)一(Z?+1)2

它一共有两个二阶极点z=±i,在上半平面只有z=z'一个极点,

14根r、根-VI

_一同上_心一八得

由公式Res[/(z),z(J=Z”

(m-1)!z^zodzm

t

r2、.

Res[/(z),z)]=lim,=

zT((Z+，)-J4

由(2)得

r+®x2dx_1

J。(x2+l)2—2

J-00(x+1)2I4)4

例3计算积分

「dx

7。(/+1泮

因为被积分函数是一个偶函数，所以

J。(x2+1)2-2J-«(x2+1)2dxy(z)-

(z2+1)2

它一共有两个二级极点z=±i,在上半平面只有z=z'一个极点,

L〈z—jj

由公式Res"(z),Zo]—lim

(m-1)!ZTZOdz"i

Res[/(z),z)]=limi

zT((Z+Z)-J~~4

由(2)得

r+°°dx1r+co17c=—•2m-f--

1—Id,

Jo(x92+1)922—(/9+1)29214j

注1:通过上述二例，一般形如

f+oo

I=R(x)dx,

J—00

的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分

母的次数比分子的次数至少高2次.都可以用上述方法来计算.

+00

三、形如\R{x}eimxdx的积分.

其中R(z)=f@为有理分式函数.

Q(z)

定理(Theorem)5.10设R(z)=f@为有理分式函数.

Q(z)

其中Q(z)与P(z)为互质多项式，且满足条件：

(1)Q(z)的次数比P(z)的次数高，

(2)Q(z)在实轴上无零点，

(3)m>0则有

+oo

JR(x)e加dx=2m工Res(R(z)e加'，%)(3)

—ooIma«>0

注2：将上式实，虚部分开，得到形如：

jP(x).cosmxdx和j•sinmxdx的积分.

LQMLQM

例4计算积分/=

解：因为被积函数为偶函数.所以

而由(3)

400unximzimi

m

f-----dx=2mRes[--------------7,z]=2m--------=neT

Jl+x21+z22i

—00

比较等式两端的实,虚部得/=

-HrZs).inmx

同时也可求得:dx—0

{l+x2

—00

注3：公式（2）与（3）都要求。（z）在实轴上无零点,即R（z）

在实轴上无孤立奇点，若R（z）在实轴上有孤立奇点，则

+°°[n

Rex

j/（x）dx=2^iRes（f（z）,zk）+-Xk3（4）

—ooImzk>04k=l

其中“是上半平面的奇点，4是实轴上的奇点.

例5计算积分

「欣sin九7

1T=-------dx

J。x

解：因为被积函数为偶函数.所以

「用sin%71f+°°sinx,1f+0°e,

-------ax=-\--------ax=—ITm——ax

，0x2J-°°x2J-°°x

而在（2）=止在上半平面内无奇点，S是实轴上有奇点Z=0

Z

由公式（4）

e'z

——dx=2m<0+—Re^—,0>=z——=7ri

j-8

x2zzfOz

比较等式两端的实，虚部得「把它办=》.

J—8%

所以厂「皿公=¥

Jox2

*§5.4对数留数与辐角原理

(Logarithmicresidueandargumentprinciple)

、对数留数(Residualoflogarithm)

定义(Define)5.6形如—f/包办的积分称为/(z)的

2加儿/(z)

对数留数，

注i：函数/(z)的零点和奇点都可能是8的奇点.

/(Z)

引理(Lemma)(1)设。是/(z)的〃阶零点，则。必为函数

8的一阶极点，并且

于(z)

Res[f'^(zA)a]=〃

/(z)

(2)设匕为/(z)的〃邛介极点.则b必为函数8的一阶极

于(z)

点，并且

Re(〜),b]=-m

f(z)

定理(Theorem)5.11设/(z)在简单闭曲线。的内部除可能

有极点外是解析,并在C上解析且不为零，则有

1f'(z)

dz=N(f,C)-P(f,C)

2切心/(z)

其中N(/,C)表示。内部零点的总个数，尸(九C)表示C内部极

点的总个数，阶零点或极点算〃?个零点或极点

证明；由已知条件，可知/(Z)在C内部至多有有限个零点和极

点，设氏，(左=1,2…p)为/(z)在。内部的不同零点，其阶为久;

鸟(/=1,2…q)为/(2)在C内部的不同极点，其阶为勺由上述引

理知在C内部及C上除去在C内部有一级极点

/(z)

以,(4=1,2…p)及鸟()=1,2…q)外均是解析的，故有留数定理

及引理得

m。零心4-[累，％]+於5[*如

pq

=E%+E(一勺)=N",C)—P",C)

k=lJ=1

二、辐角原理(Angleprincipleofthespoke)

为了说明对数留数的几何意义，我们将对数留数写成

—f^-^-dz=—\—[ln/(z)]t/z=—fdln/(z)

2万k/(z)2mlcdz2%,Jc

=ln|/(z)|+z£arg/(z)]

函数ln|/(z)|是z的单值函数，当z从z0起沿简单闭曲线C一周

回到z0时有

[din\f(z)\=ln|/(z0)|-ln|/(z0)|=0

另一方面，当z从z0起沿正方向绕行简单闭曲线一周回至Uz0时,

arg/(z)的值可能改变.于是

1r/'(z)小_i(9i—。0)Aarg/(z)

----az