【知识点归纳】高中数学选修1-1知识点总结归纳

高中数学选修1-1知识点总结归纳

常用逻辑用语

1.1命题及其关系

1.1.1命题

1、命题：一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做

命题。其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题。

2、命题的构成：在数学中，命题通常写成“若p,则q”的形式。其中〃叫做命题的条件,

q叫做命题的结迨。

1.1.2四种命题

3、互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结

论和条件，那么我们这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题,另一个叫做

原命题的逆命题。如果原命题为“若p,则q"，则它的逆命题为“若q，则p”.

4、互否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条

件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。如果把其中的一个命题叫做

原命题，,那么另一个叫做原命题的否命题。如果原命题为“若p,则q"，则它的否命题

为“若则.

5、互逆否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的

结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。如果把其中的一个命

题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题。如果原命题为“若p,则q"，则它的

逆否命题为“若［4,则「P”.

原命题若p,则q

逆命题若q,则p

否命题若一1〃,则—\q

逆否命题若一it7,则一!〃

1.1.3四种命题间的相互关系

7、四种命题间的相互关系：一般地，原命题、彘即、牌?命题与逆否命题这四种命遵彝俞题

苴逆

若一1〃，则一14若一,则~~P

的相互关系：

8、四种命题的真假性：一般地，四种命题的真假性之间的关系：

（1）两个命题和互否命题，它们有相同的真假性：

（2）两个命题为互逆否命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

原命题逆命题否命题逆否命题

真真真真

真假假真

假真真假

假假假假

1.2充要条件与必要条件

1.2.1充分条件与必要条件

1、充要条件与必要条件：一般地，“若“，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.

这时，我们就说，由p可推出q,记作〃=q,并且说“是。的充分条件,q是p的必要

条件。如果“若p,则q为假命题”，那么由p推不出q,此时我们就说p不是q的充分条

件，q不是p的必要条件。

1.2.2充要条件

2、一般地，如果既有〃=<7,又有qn〃，就记作〃.此时，我们说，〃是。的充分

必要条件,简称充要条件。

1.2内容总结

条件p与结论q的关系结论用集合表示p：A,q：B

p=qp是q的充分条件A^B

qnpp是q的必要条件BeA

pnq且qKpp是9的充分不必要条件AUJ?

pAq且qnpp是q的必要不充分条件B\JA

poqp是q的充要条件A=B

pNqS.qNpp是q的既不充分A08且30A

2

也不必要条件

1.3简单的逻辑联结构

1.3.1且(and)

1、〃且q定义：一般地，用关联词“且”把命题〃和命题q连接起来，就得到一个新命题,

记作〃八4,读作“p且q”.与集合=且xeB}相关。

2、p且q的真假：当p,q都是真命题时，?八4是真命题；当p,q两个命题中有一个

命题是假命题时，〃八4是假命题。简记为：一假则假，同真则真。

1.3.2或(or)

3、〃或q定义：一般地，用关联词“或”把命题〃和命题q连接起来，就得到一个新命题,

记作prq,读作"p或q".与集合4IJB={x|xe4或xe3}相关。

4、p或q的真假：当p,q两个命题中有一个命题是真命题时，是真命题；当p,

q两个命题都是假命题时，是假命题。简记为：一真则真，同假则假。

1.3.3非(not)

5、〃非q定义：一般地，对一个命题〃全盘否定，就得到一个新命题，记作「p,读作

“非p”或“p的否定”.与集合街A={x|xeU且工仁4}

6、〃非g的真假：若p是真命题，「〃必是假命题；若〃是假命题，则「〃必是真命题。

简记为：与p真假性相反。

1.4全称量词与存在量词

1.4.1全称量词

1、定义：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量翅，并用符号“V”

表示。含有全程量词的命题，叫做全称命题。

2、表述形式：对M中任意一个尤，有p(x)成立。符号简记为VxeM,p(x).

1.4.2存在量词

3、定义：短语“存在一个”“至有少一个"在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“三”表

示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。

4、表述形式：存在"中的一个小,是〃(/)成立。符号简记为p(%).

3

1.4.3含有一个量词的命题的否定

5、全称命题的否定：一般地，对于含有一个量词的全程命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：VxeM,p(x),它的否定可：3x0eM,-＞p(x0).

全称命题的否定是特称命题。

6、特定命题的否定：一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题p：3x0eA/,〃(%),它的否定「p：VxeM,-＞/?(%).

特称命题的否定是全称命题。

第二章圆锥曲线与方程

2.1椭圆

2.1.1椭圆及其标准方程

1、椭圆的定义：平面内与两个定点耳，鸟的距离之和等于常数(大于比巴|)的点的轨迹

叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。用集合语言表示:

P={M^PF}\+\PF2\=2a,2a＞山鸟|}

2、椭圆的满足条件：①当+4=2"＞山闾时，M的轨迹为椭圆；

②当可用+|"周=为=闺用时，M的轨迹为耳，身为端点的线段;

③当用+|M用=2a＜忻用时，M的轨迹不存在。

22

3、椭圆的标准方程：①焦点在X轴上：*•+专■=](。＞/2＞0)

我们把这样的方程叫做椭圆的标准方程，两个焦点分别是

耳(-c,0),F2(C,0),这里

2v-2

②焦点在y轴上：企v+$=1(。>匕>0)两个焦点分别为

耳(0,-c),F2(O,c).

③当焦点不确定可设为：twC+ny2=1(m>0,n>0,m^n)

2.1.2椭圆的简单几何性质(设椭圆的标准方程为K瓦1(6f>/?>0))

4

4、范围：由图可知，椭圆上点44为长轴，横坐标的范围是

-a<x<a（。为长半轴长）。4层为短轴，纵坐标的范围是

-b<y<b（人为短半轴长）。

5、对称轴：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。

6、顶点：椭圆与它的对称轴有四个焦点，这四个交点叫做椭圆的

顶点。线段A4的长等于2a,线段的长等于2b.

7、离心率：椭圆的焦距与长轴长的比反叫做椭圆的离心率，常用e

a

表示，即e=£,离心率的范围：0<e<Le越接近于。，从而』=，/一/越小,因此椭

a

圆越扁；反之，当e越接近0时，c接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近圆。

当且仅当。=/?时，c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆，它的方程为/+>2=/

椭圆补充内容

8、离心率公式推导：

P在y轴上：e=—=.1-^-=cosZOF^B

a\a"

B+y

.cos匚-

c.sincz2

P不在y轴上：e=-----------=----六一

sin夕+sinycos/>~r

9、交点三角形面积公式：

周长公式：C=2（a+c）

10、椭圆的第二定义：平面内，若动点、M（x,y）与定点F（c,0）的距离和它到定直线

2

/:x=幺的距离的比是常数5g>C>0）,则M的轨迹是一个椭圆。

注：①常数为离心率，定直线为椭圆的准线②/《/

X

焦半径：设P（x0,%）.

当焦点在X轴上时，归周左二^+倏，忙用右="%.

当焦点在x轴上时，归浦下=4+e%，|P可上=4一"0.

11、直线与椭圆的位置关系

位置关系的判定：联立＜/+瓦°）消去x或消去y解方程。

Ax+By+C=O

①当直线与椭圆有两个焦点时，直线与椭圆相交，即A＞0；②当直线与椭圆有一个焦点时,

直线与椭圆相切，即△=（）；③当直线与椭圆无焦点时，直线与椭圆相离，即△＜（）.

12、弦长公式

设直线y=Ax+b与椭圆相交于4（%,%）,%）两点，则弦长公式为：

|AB|=|Xj-8M+、=jl+&2•J（X]+工2）2―4中2

2

IAB|=|y-'\l（yl+y2）-4yly2

13、中点弦长公式（P点在弦AB的中点）斗

焦点在x轴上：k0P-kAli=-p-；焦点在y轴上：kOP-kAK―

2.2双曲线

2.2.1双曲线及其标准方程

1、双曲线的定义：我们把平面内与两个定点”，鸟的距离的差的绝对值等于常数（小于

忻/|）的点的轨迹叫做双曲线。两个定点不v叫做双曲线的焦点,两焦点的距离忻用

叫做双曲线的焦距。用符号表示：归用一|P图=2a＜忻用=2c.

2、双曲线的轨迹：①当0＜2々＜巧用时，耳，鸟的轨迹为双曲线；②当2a=忻用时,

动点的轨迹以片或居为端点的射线；③当2a＞忻6|,则动点轨迹不存在。

2

X

3、双曲线的标准方程：①焦点在九轴上：—左=l(a>0,b>0).

a"

我们把这样的方程叫做双曲线的标准方程，两个焦点分别是耳（-C,0）,E（c,0）的双曲

线，这里c2=a2+4.

②焦点在y轴上：斗一，=1（。>0,6>0）.两个焦点分别为6（0,-。），6（0,c）.

③当焦点不确定可设为：nvC+ny2=1（m>0,n>0,m。n）

2.2.2双曲线的简单几何性质（设双曲线的标准方程为1（<z>0,。>0））

/b2

4、范围：双曲线在不等式与所表示的区域内，而在-a<x<a之间没有图像。

5、对称轴：双曲线既是轴对称图形，也是中心对称图形。

6、顶点：双曲线和它的对称轴有两个焦点，他们叫做双曲线的顶点。

线段44叫做双曲线的实轴，它的长度等于2a,a叫做双曲线的

实半轴长；线段片员叫做双曲线的虚轴，它的长度等于2人，〃叫做

双曲线的半虚轴长。

x~＞，2

7、（1）渐近线的意义：双曲线f=1的各支向外延伸时,与

这两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。当在

b

》轴上时，矩形的两条对角线所在直线的方程式y=±-x；当在y轴

a

上时，矩形的两条对角线所在直线的方程式）=±*乩

（2）等轴双曲线：如果a=。，那么双曲线的方程为乂一丫2=。2,它的实轴与虚轴的长都

等于2a,它的一般形式：f—y2=2（2/0）（九>0,在X轴；2>0,在y轴）；渐近

线方程为y=±x；离心率：e=0

8、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比上叫做双曲线的离心率，因为c>a>0,所以双曲

a

线的离心率e=£>l.e越接近于1,双曲线开口越小。

a

双曲线补充内容

7

b2

10、焦点三角形面积公式：S"FF="*ma

圳岛1-cosa

II、双曲线的第二定义：动点到定点厂的距离与它到定直线/的距离

之比是常数e(e>l).

12、直线与双曲线的位置关系

I:y=kx+m

位置关系的判定：联立直线/与双曲线C：\f,2消y带入双曲线C可解。

b

(1)当左=士一，若加。0,方程有一根，直线与双曲线有一焦点，此时直线平行于渐近

a

线；若机=0,方程无根，直线与双曲线无焦点，该直线就是渐近线。

b

(2)当4力士±，①八>0时，直线与双曲线有两个相异焦点；②△=()时，直线与双曲线

a

相切，有一个焦点；③A<0时，直线与双曲线相离，没有交点。

13、弦长公式

设直线丁=丘+人与双曲线相交于A(x”yj,8(%,%)两点，则弦长公式为:

2

|AB|=Jl+公\xt-x2\=\/l+k-J%+工2)2-4X/2

|阴=\1+一%|［（凹+必）2-4%>2

14、中点弦公式

已知A(玉，yj,B(X2,%)是双曲线，一%'=1(。>0，匕>0)上的两个不同的点,

(22

二」=1

M(%为)是线段A8的中点,贝叼：°

三—五=1

15、共辗双曲线(以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线)

8

①有共同的渐近线；②4+4=1

4W

2.3抛物线

2.3.1抛物线及其标准方程

1、定义：平面内与一个定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点尸叫

做抛物线的焦点，直线/叫做抛物线的准线。

2、抛物线标准方程的四种形式

图形标准方程交点坐标准线方程

1y2-2px

r-p

~0x-----

(p>0)加2

y

y2=-2px

-P

工X

(p>0)(2

x2=2py

P

y=—

(p>0)2

x2=-2py

P

(p>0)1。■()

①焦点在一次项所含未知数的轴上，②开口由一次项系数正负决定，③焦点的非零坐标是一

次项系数的

4

2.3.2抛物线的简单几何性质(设抛物线的标准方程y2=2px(p>0))

3、范围：因为p〉0,由方程可知，对于抛物线y2=2px(p>0),%>0,所以这条抛物

线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向相同；当%的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线

向右上方和右下方无限延伸。

9

4、对称轴：抛物线y2=2〃x(〃>0)对称轴是以x轴为对称轴的轴对称图形。

5、顶点：抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点。

6、离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，用e

表示。由定义可知：e=l

抛物线补充内容

7、抛物线与直线的位置关系

设直线1:y=辰+。与抛物线丁=2PMp>0),公共点的个数等于方组

y=kx+b

4,不同实数解的个数。

y=2px

①当女声0,则当A>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当A=0时，直线与抛物

线相切，有一个公共点：当A<0时，直线与抛物线相离，无公共点。

②当左=0,则直线y与抛物线相交，有一个公共点。特别地，设x=m,则当加>0时

直线/的斜率不存在时，/与抛物线相交，有两个公共点；当〃2=0时，/与抛物线相切，有

一个公共点；当〃?<0时，/与抛物线相离，无公共点。

8、弦长公式

设A(%,yj,B(X2,必)是直线丁=依+6与抛物线的交点，则弦长公式为:

22

|AB|-\Jl+k1%]—x2\=J1+A:&+工2）~—4玉龙2

网=J+妥比fl（y]+必）2-仙必

9、中点弦

设A(X，yj,8(9,%)是抛物线y?=2/?x(p>0)上的点，中点A/(不，％),则

的斜率为上，则上二&=上一=2

为西一々X+必先

第三章导数及其应用

3.1变化率与导数

3.1.1变化率问题

10

i、平均变化率：设玉，々是函数y=/(x)定义域内两个不同的数，把式子"：)一；&)

称为函数y=/(x)从X]到4的平均变化率。习惯上用Ax表示々-玉，也可把Ax看作是

相对于王的一个“增量”，可用玉+Ax代替马；类似地，均=/(%)—/(%).于是，平均

变化率可以表示为包

\x

3.1.2导数的概念

2、瞬时速度

把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。一般地，函数)=/(X)在x=/处的瞬时变化率

是lim—=lim"“。，我们称它为函数y=/(可在x=/处的导数，

Ar->0Ar->0

记作/(%)或y'L%，即1(Xo)Tim'Tim""+y一〃/)

刈foISXAx-»o"

3.1.3导数的几何意义

3、切线方程：求函数在点(%，3小))处的导数/'(%)=lim""+A")―/"o)=.,

—Ax

得到曲线在点p(xa,/(/))处的切线的斜率。

3.2导数的计算

3.2.1几个常用函数的导数

1、函数？=/(力=°的导数：y'=lim—=lim0=0

AITOAATO

2、函数y=/(£)=x的导数：y'=Uni—==

Av->0AxAATO

3、函数y=/(x)=%2的导数：y'=lim'=lim(2x+a)=2x

Ax->0A%

4、函数y=/(x)=：的导数：y'=]img=Hm12：J=T

AAVTOAX&TO\A-bA-ISX)X

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

5、基本初等函数的导数公式

11

⑴若/(x)=c,贝尸(x)=o；⑵若=则广(X)=0";

(3)若〃x)=sinx,则/*(x)=cosx；(4)若〃x)=cosx,则/*(x)=-sinx；

(5)若/(%)=优，则/(x)=a」lna(a>0)；(6)若=则/(%)=，；

(7)若/(x)=log〃x,则尸(工)=^—(«>0,且awl)；

⑻若〃x)=lnx,则广(x)=J(9)若〃x)=:,则,(x)=—

6、导数的运算法则

(10)[/(x)±g(x)T=/(X)士g〈x)；

(11)[/(x)・g(x)]'=/'(x)g(力+/(x)g'(x)；

回瑞卜f产(四对

(13)[c/'(%)],=c1/(x)+c[/(x)T=c尸(x).

推导：

(14)[/(x).g(x>Mx)T=.1r(x)g(x)〃(x)+/(x)g，(x)〃(x)+/(x)g(x)/r(x)

(15)"(x)±g(x)±〃(x)]'=/(x)±g'(x)±/?'(x)

3.3导数在研究函数中的应用

3.3.1函数的单调性与导数

1、函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(。，6)内，如果/'(x)>0,那么函数

y=/(x)在这个区间内单调递增；如果/(x)<0,那么函数