高等数学(交大)教案第二章

第二章一元函数微分学

内容及基本要求：

1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性及连续性之间的关系。

2.会用导数描一些物理量。

3.掌握导数的四则运行法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数双曲函数的公式，了解微分四则运算

法则和一阶微分形式不变法。

4.了解高阶导数的概念。

5.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。

6.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

学习重点：导数和微分概念；导数的四则运行法则和复合函数的求导法，基本初等函数、双曲函数的公式；

初等函数一阶、二阶导数的求法；隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。

学习难点：复合函数的求导法；隐函数和参数式所确定的函数的导数。

第一节导数的概念

导数的定义

1.问题的引入(以物理学中的速度问题为例，引入导数的定义)

［自由落体运动的瞬时速度］已知作自由落体运动的物体的位移S及其时间f的函数关系是

1,

s=5(0=—gr,求该物体在/=t0时刻的瞬时速度v«o).

(以均匀代替非均匀)首先从物体的内的平均速度入手；

①令物体移动时间t从t0变化到t0+^t

②在At这个时间段物体的位移为

③物体在At这个时间段内的平均速度为

(以极限为手段)然后得到瞬时速度.

①易见At愈小，时间内的平均速度少的值就愈接近"时刻的速度；

②因此，当4―0时，V的极限自然定义为物体在％时刻的瞬时速度，即定义

由此可见，物体在小时刻的瞬时速度是函数的增量As及自变量增量Af比值当的极限.推

广到一般，可以归结为一个函数y=/(x)的增量Ay及自变量的增量Ar之比，当Ar趋于零时的极

限.这种类型的极限我们称其为导数.

2.导数的定义

(1)函数y=/(x)在一点/处导数

定义设函数y=/(x)在N(%o,5)内有定义，

①当自变量》在加处取得增量Ax(点为+Ax仍在该邻域内)时；

②相应地函数y取得增量Ay=/(x0+Ax)-/(x0)；

③如果Ay及Ax之比当Avf0时的极限存在，则称函数,=/(x)在点X。处可导，并称这个极

限为函数y=/(x)在点/处的导数，记为了'(/)，即

dy十df(x)

也可记为或------

%)

dxX』dxX=%0

也称函数增量及自变量增量之比皆是函数y在以/及为+Ax为端点的区间上的平均变化率，导

Ax

数,'(%())是函数y=/(%)在点与处的变化率，即瞬时变化率.

(2)函数y=/(x)在一点x处导数一一导函数

将X。处导数定义中的与换成x,如果Ay及之比当—0时的极限存在，则称函数

y=/(X)在点X处可导,并称这个极限为函数y=/(X)在点X处的导数‘记为/''(X),即

显然，当为在某区间/内变化时，/'(x)是x的函数.因此称之为导函数.导函数的记号还有了,

dy„df(x)

—或------.

dxdx

(3)Xo处导数及导函数的关系

函数y=/(x)在点x()的导数f(%)是导函数/'(x)在点x=/处的函数值.即

/'5)=八矶=布.

通常，导函数简称为导数.

例1求函数y=》2的导数以及在兀=1点的导数.

3.不可导的情形

由可导定义，如果lim包的极限不存在，即有下述情况之一，称函数y=/(x)在点/处不可

-Ax

导.

(1)lim——-℃；(2)lirn—1无稳定的变化趋势.

心一0Ax。Ax

例2(1)求函数y=N在％=0处的导数.

(2)求函数y=%*在X=0处的导数.

4.导数定义的不同形式

(1)lim(4)；

-Ax

(2)lim

h

(3)lim-----------=j(x0)；

x-XQ

(4)lim/So)-/(/-”/,(/)

A%

(5)limf(.x0+y)-/(^o)=/，(^)).

Z—>oo

,,、/(x+7i)-/(x-h)

例3(1)已知/'(zXo)存在，求hm且」n——-~匕5n——

hfOh

(2)已知/(x)=(x—a)0(x),0(x)在x=a处连续，求/'(a).

71

arctan%---

a

(3)计算极限lim------广工.

a百x-V3

二.导数的几何意义

1.导数的几何意义

设曲线C的方程为y=/(x),M(x0>o)是曲线。上的一点，求曲线在点以处的切线方程.

(1)在曲线上另取一点"1(X()+△%,%+Ay),如图3所示，连接V,"1两点,得割线MM1.割

线A1A%对％轴的倾角为0,其斜率为tanQ=包；

Ax

图3

(2)当Ax-0时，点沿曲线C趋向点M,割线的极限位置A/T为曲线y=f(x)在点M

处的切线.此时

其中a是切线MT关于x轴的倾角.从而曲线C在点M处的切线斜率为

由此可知，函数y=/(x)在点x0处的导数f'(x0)在几何上表示曲线y=/(%)在点

M(x0,/(x0))处的切线的斜率左，即

其中a是切线的倾角.

因此曲线y=/(x)在点MO。，y0)处的切线方程为

当了'(/)/0时，法线方程为

特殊地，当了'(Xo)=O时，曲线y=/(x)在点(Xo，y())的切线平行于x轴.当尸(％0)=°0时,

71

曲线y=/(x)在点(/，打)的切线垂直于x轴.此时，切线的倾角为万.

例4求y='在点(g,2)处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程.(答案切线

的斜率为一4,切线方程为4x+y—4=0；法线的斜率为—,法线方程为2x—8y+15=0)

三.可导及连续的关系

1.可导必连续

设函数y=/(%)在点1可导，即lim"•=/'(x)存在，由极限及无穷小量的关系知

以一°Ax

其中。是Axf0时的无穷小量.上式两端同乘以Ax,得

由此可见，当AxfO时，Ayf0.即函数y=/(%)在点x连续.

2.连续未必可导

例如，函数y=|%|在点％=0处连续(图1),但由例题2(1)知，y=|%|在点1=0处不可导.同

样，函数y=■在点X=0处连续(图2),但由例题2(2),中，y=«在点x=0处不可导.

由上面的讨论可知，函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件，所以如果函数在某点不连续，

则函数在该点必不可导.

图1图2

2.函数在某点可导及该点存在切线的关系

(1)可导必有切线；

因为函数在某点可导，则在该点切线的斜率存在，自然存在切线.

(2)有切线未必可导.

例如，曲线y=F在点x=0处有垂直于工轴的切线(图2),但它在x=0不可导.

四.科学技术中的导数问题举例

变化率当因变量y随自变量x均匀变化时，y是x的线性函数，x改变单位长度时y的改变

量，即包总是一个常数，它反映了y随x变化的快慢程度，叫做变化率。

Ax

求函数y=/(x)在点处变化率的方法可以归纳为以下两步：

(1)局部均匀化求近似值；

(2)利用求极限得精确值

设作变速直线运动的质点的运动方程为S=s(t)，质点在/。时刻的瞬时速度v(")是S=s«)在

0点的导数值

例5物体做直线运动的方程为s=3/-5/,求

(1)物体在2秒时的速度；(2)物体运动的速度函数.

第二节求导的基本法则

函数和、差、积、商的求导法则

设"=w(x),v=v(x),w=w(x)在X点处有导数=u\x),v'=v'(x),w'=w'(x),则

法则1:两个可导函数之和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差)，即

证明设/(X)=w(x)+v(x),则

所以("+V)'="'+v'.

例1求y=—5的导数.

解了=(/—5)'=(/)，—(5)，=3/—0=31.

例2设/(%)=x3+4cosx-sin5,求了'(%)及/'(5).

解/,(%)=3x2-4sinx-0=3x2—4sinx,(注意：(sin])'=。)，所以

注意：/弓)=尸⑴L”峥4吗)r=o.

法则2:两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数及第二个因子的乘积加上第一个因子及第二

个因子的导数的乘积.即

推论1：(cu)'—cur.

推论2:法则2可推广到有限个函数乘积的导数计算.如

例3求y=(1+2x)(3x3-2x2)的导数.

解V=(1+2%)'(3/-2%2)+(1+2%)(3犬3-2x2Y

例4设y=e"(sinx+cos%)，求y'.

解y'=)"(sinx+cosx)+ex(sinx+cosx)r

例5设/(X)=(X—〃)0(X),0(X)为连续函数，求了'(〃).

h(p{a+h)/7、/、

解=lim-.......=lrim(p(a+力)=(p(a).

/z—>ohA—>o

错误解法:

所以于'(a)=(p(a).

错误的原因是：0(X)不一定可导.

法则3：两个可导函数之商的导数,等于分子的导数及分母的乘积减去分母的导数及分子的乘积,再除

以分母的平方.即

X2-11,

例5设y=———，求y.

x+1

（尤2-1）（尤2+］）'_（尤2_］）（尤2+］）,_2%（无2+1）-（%2_1）,2X_4%

（炉+1）2-+1）2-+1）2-

Inx.,

例6设y=——，求).

x

工

x〃一Inx•（九%〃t）］

Onx)'xn-inx-(xny/

解y=-------k-----------=一----------------------=R（jinx）.

.XJi-------------------Ji

例7设丁=12口%,求V.

八，/、，/Sinx、，2

解y=(tanx)=(----)=secx.

cosx

同理可得：

同理可得：

二.反函数的导数

定理(反函数的求导法则)

设y=/(x)在x处有不等于零的导数/'(x),且其反函数x=在相应点处连续，则

［尸(刈’存在，且

或

即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.

证明y=/(x)的反函数x=广1(y).当％=/t(y)的自变量y取得增量Ay时，因变量x取

得相应的增量Ax.当Ayw0时，必有Axw0.事实上,如果

则/一1(》+△")=/一1(>)，但/(%)是---对应的,故y+Ay=y,则Ay=。及Ayw。的假设矛

盾.所以当Ay。0时，有

又％=/T(y)在相应点处连续，所以Ayf0时，Ax-0.由―(%)w0,得

例8设y=arcsinx，求y'.

解设％二$皿丁为直接函数，则y=arcsinx为其反函数.

x=siny在/>内单调，可导，且

在对应的区间内有

y=arcsinxlx=(-1,1)

又cosy=^/1-sin2y=y/l-x2,所以

同理可得：

例9设y=arctanx，求y'.

解设％=tany为直接函数，则y=arctanx为其反函数.

x=tany在&二(一，'万")内单调，可导，且«an》)'=sec?ywO.y=arctanx在对应的

区间1X-(-8,+00)内有

又sec2y=1+tan2y=l+x2,所以

同理可得：

三.复合函数的求导

定理(复合函数求导法则)

设y=/(〃),〃=o(x),即y是％的一个复合函数：y=/[^(x)].如果u=(p(x)在%处有导数

—=(pf(x\y=f(u)在对应点〃处有导数@=/'(")，则丁=/1夕(％)]在x处的导数存在，且

dxdu

或

如果y=/(〃),〃=o(v),v=〃(%)，则y=—〃(%)]｝的导数为

例io设y=(1+2%严，求上.

dx

解设丁==1+2%,则

例11求丁=(305九¥的导数.

解设y=cosw,u—nx,贝!1

例12设y=lntanx,求史.

dx

解设y=ln〃,"=tanx,则

例13设y=求电.

dx

解包=@&=/-3/=3-3=x3).

dxdudx

,2xdy

例14设丁=$111----求一.

1+xdx

&,21/2%、，2x2(1+/)—4/2-2/2x

解y=COS----7,(----7)=COS----------COS7.

1+x21+x21+X?2(1+x2)2(1+x2)21+x2

例15求y=',4'一九2的导数•

1

解y'—u2—x2+x(Ja2-)[=a〉一"十元

2^a2-x2

例16设y=ln(x+7x2+a2)，求y'.

解yr=------J(X+JY+〃2)，=------J[1+

%+，12+〃2X+V%2+(2^2飞X2+(J2

sinl

例17设y=e"，求y'.

.1.11.i

sin—sin—[sin—1sin-1

解yr=(ex)f=ex•(sin—)",x-cos--(-),——-excos—.

xXXXX

例18设y=In—M-,求y'(0).

Varccosx

解丁=g[M(l—％)+x—Inarccosx],则

所以y'(0)=L.

71

例19设y=/(arctan/),求y.

解设〃=arctan%v=，，则,=于⑺.所以

四.高阶导数

一阶导数：V=fr(x)=—•

dx

二阶导数：了=/"(x)=1==/

dxdx

”，…d3ydd2y

三阶导数：y〃=f以x)=—f(—f).

dxdxdx

14

四阶导数：丁⑷=/(4)(X)=—g=(y'")'.

dx

Any)

”阶导数：严=/)(X)=号=(y(5),.

dx

1.二阶导数

,1d~s

例20设s=Vr.t—a广2，求——.

°2dt2

解s'=%+at,s"=a.

例21证明函数y=收二％7满足关系式y3y"+l=0.

rf

证明y'—I=，y——T,所以y3y"+]=0.

\2x-X*1y

T2

例22设y=/(/),/二阶可导，求一号.

dx

解y'=exf'(ex),y"=exf'(ex)+exf\ex)-ex=exf\ex)+e2xf"(ex).

]d2

例23设九一y+—siny=0,求一学.

2dx

12

解]_y'+_cosy・y，=0,所以V二---------

22-cosy

2.高阶导数

例24设y=e",求了㈤.

解y'=ae：y〃=Q2e：...,y5)

例25设y=sin尤，求y⑺.

解y(〃)二(sin九产二sin(%+〃•?).

同理

一般地,有

11

如求y=cos7犬的〃阶导数，由于y=cos9x=5+]Cos2%,贝!J

例26设y=ln(l+x),求y⑺.

解严=(_1尸.

(l+x)"

2%

如求V=------的n阶导数y⑺.

1+2%

例27设nn1,求Ma)

/(x)=anx+an_lx~4—+arx+a0f(x),f(x),(k>n).

解<n){k}

/(x)=nlan,f(x)=0,(k>n).

第三节隐函数及由参数方程所表示的函数的求导

隐函数及其求导法

显函数:等号左边是因变量,右边是含有自变量的代数式.

隐函数:非显函数,形如F(x,y)=0.

如：y=/(x)为显函数,而x，+/-siny=0为隐函数.

将隐函数化为显函数称为隐函数的显化，但不是所有隐函数都可以显化.

如：+2y—x—3%7=0就不可以显化.

不用显化直接由方程求隐函数的导数称为隐函数的求导.

例1由方程y=xlny确定y是x的函数，求y'.

解方程两边对x求导，有

所以什皿

y-x

例2由X?+盯+y2=4确定y是x的函数，求其曲线上点(2,—2)处的切线方程.

解方程两边对x求导，有

所以V=-2x+y.左切=包L-2=1•所以切线方程为

x+2ydxy=-2

y—(-2)=1•(x-2),即y=x-4.

例3设九)+犷(,)=犬2,其中/(X)为可微函数，求生.

dx

铲、/2x—y2/(x)—/(y)

解y=---------------；------.

2#(x)+#(y)

二.由参数方程所表示的函数的求导

设参数方程为

确定y=y(x),则

d2y_yr,xr-

dx1(xf)3

x-t2+2^,、dyd2y

例4设《求—，—F,

y=ln(l+f).dxdx"

1

1+f1

2t+22(1+02

设L'od2y

例5其中/«)为二阶可导，求

dx1

解华=;•"⑺，半=/〃«),则勺=九

atatax

t

x=a(lntan—+cos/),,…、

例6证明曲线｛2(〃>0,0</<万)上任一点的切线及x轴的交点至切点的

y=asint

距离为常数.

证明设切点坐标为(项)，%)，对应的参数为由@=得左切=斗包,所以切线方程为

dxx(?)x仇)

切线及％轴的交点为

所以

三、相关变化率

变量x及y都随另一变量f而变化，即x=x«),y=y«),而x及y之间又有相互依赖关系：

F(x,y)=0,研究两个相关变化率比⑺及y(t)之间关系的问题称为相关变化率问题。

解决这类相关变化率问题可采用以下步骤：

1.建立变量x及y之间的关系式B(x,y)=0；

2.将尸(x,y)=0中的x及y均看成是♦的函数，利用复合函数链导法则，等式尸(x«),y(。)=0两

端分别对t求导；

3.从求导后的关系式中解出所要求的变化率。

第四节微分

微分的概念

1.定义设丁=/(x)在。(％0)内有定义，/+AxeU(Xo).如果函数的增量

可表示成

则称y=/(x)在/处可微的，A(x0)Ax称为y=/(x)在/处相应于自变量的增量Ax的微分,记

作dy,即

2.函数可微的条件

定理了(%)在X。处可微o/(x)在/处可导，且A=/'(/).即

证明"二>"：/(%)在人处可微,则Ay=A(x0)-Ax+o(Ax),所以

f

得/'(%)在X。处可导，且A=/(x0).

f(x)在x0处可导,则

所以—=f^x^+a,lim1=O.故Ay=/'(/)，Ax+a,Ax,而

Ax©—0

r

所以Ay=/'(%o)Ax+o(Ax),即/(%)在/处可微，且A=/(x0).

例1求函数y=%2当X=1,4%=。.01时的微分.

解、'=21,所以丁=%2当％=1,4%=0.01时的微分为

3.函数的微分

函数V=/(x)在任意点处x的微分,称为函数y=/(x)的微分,记作dy或df(x),即

当y=x时，dy=dx=k,称dx为自变量的微分,故函数的微分又可记作

由此有

从而导数又称为“微商”.

例2设y=arctane”,求dy.

解y'=-------7=----丁，所以

1+(")21+e2"

微分的几何意义

1.微分在近似计算中的理论基础

当丁=/(%)在处可导时,贝i"y=f'(x0)dx.

当f'(x0)/0时，有

即Ay-dy人Mf0),所以

称dy为Ay的线性主部,且

所以

得

由此有,当△%—>0时，Ay土dy.

2.微分的几何意义

三.微分的运算

1.基本初等函数的微分公式.

2.函数和，差,积，商的微分.

3.复合函数的微分法则一一微分形式不变性

y=/(u),u=<p(x)ny=则

又

所以

由此,不论以为自变量还是中间变量,微分形式4y=f'(u)du不变,称为微分形不变性.

例3设y=ln(l+e*),求力.

解Jy=Jln(l+ex)=-rd(l+ex)=-r-exd(x2)=2"»dx.

l+ex~l+ex'l+ex

例4设y二一1”,求办及

dx

解Iny=(InHP,两边微分,有

所以

例5由+V-％=0确定丁是1的函数，求力及电.

dx

解+)2—%)=0,得+dy?—dx=0,即

解得

且

四.微分在近似计算中的应用

f

当/(%)w°时，有Ay-dy=f(xQ)dx.即

或

令％=A：。+Ax,Ax=九一九。，则

运用此近似公式计算函数的近似值时,要求

(1)|Ax|=|%-%0|很小；

⑵/(%),/'(%)易于计算.

由以上两点,关键是点XQ的选取.

特别地,如果取与=0,则f(x)x/(0)+f'(O)x.

由此有工程上的几个近似公式(类似于x-0时的等价无穷小)：

(1)Vl+x®1+—X；

n

(2)sinx土x,tanx土羽

(3)ex®1+x,ln(l+%)»%.

例6求sin30°30'的近似值.

'7T"J/T"/TT

解sin30°30f=sin(——k----).取/=—,Ax=-----,/(x)=sinx,/'(x)=cosx,则

636006360

例7求即画的近似值.

,----,---------IZ~4

解V996=VlOOO^Z=1031---------710(1----------)=9.9867.

V10003000

第五节平面曲线的曲率

—.曲率的概念

Na

曲率是用来反映曲线弯曲程度的量.比值——,即单位弧度切线转过的角度称为弧段的平均曲率，记

As

作K,即

而极限

称为曲线在点M处的曲率,记为K,即

当hm——存在时，则

加一°As

下面给出曲率K的计算公式.

设曲线方程为y=/(元)，且/(%)具有二阶导数.由一阶导数的几何意义知

两边微分,得

所以

又由弧微分公式

所以有

故曲率K的计算公式为

如果曲线的参数方程为

则曲率K的计算公式为

例1试问抛物线y=ax1+c上哪一点处的曲率最大

解yr=2ax+b.yf,=la.所以曲率

b

当2ax+/?=0,即x=——时，曲率K最大，此时对应着抛物线的顶点，即抛物线在顶点处的曲率最

2a

大.

二.曲率的计算

例2抛物线y=+c上哪一点的曲率最大？

解：yr=2ax+b.yr,=2a»k-------—!-------

[l+（2ax+Z?）2]2

显然，当x=-2时，爆大.又・•・（-2,-小竺）为抛物线的顶点，

2a2a4a

例3

证：如图

x的负半轴表示直道，是缓冲段,是圆弧轨道.在缓冲段上，

实际要求

故缓冲始点的曲率%=0.l^x0,

三.曲率半径及曲率中心

定义：

注意：

1.曲线上一点处的曲率半径及曲线在该点处的曲率互为倒数.

2.曲线上一点处的曲率半径越大，曲线在该点处的曲率越小（曲线越平坦）；曲率半径越小，曲率越大（曲线越

弯曲）.

3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧（称为曲线在该点附近的二次近似）.

例4

解：如图，受力分析尸=。一「，

mv2

视飞行员在点。作匀速圆周运动，，尸=——.（0为。点处抛物线轨道的曲率半径）

P

得曲率为左Lr=--—.曲率半径为p=2000米.

Z2000

即：飞行员对座椅的压力为641.5千克力.

第六节微分学中值定理

一.Rolle定理

如果

(1)/(%)在句上连续；

⑵f(x)在(。,。)内可导；

⑶于0=于3).

则至£(〃/),“尸0=0.

证明因为/(%)在［a,b］上连续,则/(%)在［a,b］上必取得最大值M和最小值m.

(1)M=m,此时f(x)=私％£［。,切，所以f\x)=0,xG(a,Z?),从而可取(a,b)内的任一

点作为有尸《)=0.

(2)M>m.不妨设/(〃)w机，则必存在Je=根.往证/'(J)=0.

由的存在,可得

存在.对于

和

显然f(^+Ax)-f^)>0.

当Ax>0时，>—十•)—"&)20,从而一©20,即/'O20.……(1)

Ax

当Ax<0时，—十.)—=o,从而于弋)20,即广(力vo.……(2)

Ax

由⑴及⑵得

即

注意Rolle定理主要应用在证明/(X)的导函数/'(%)有零点.

例1设/(x),g(x)在［。,加上连续，在(氏。)内可导，且/(/?)-/(〃)=g(Z?)-g(a).证明在

(。力)内至少有一点能5工/'0=g'C).

分析：/'6)=g'c)=短(创屋=。=［fw-g(%)ri«=。.

即要证明F(x)=f(x)-g(x)的导函数在(a,b)内有根.

证明令方(％)=/(x)-g(x),显然月(%)在切上连续，在(。涉)内可导,且

从而月(%)在［。,切上满足Rolle定理的条件,故存在JG(a,b),sj.Fq)=0,即

所以

aa,

例2设—+，^+・・・+,+Q0=0,证明函数

n+1n2

n1

/(x)=anx+a%/""+…+Q/+为在(0,1)内必有一根.

n

证明令F(<X)=----H-------X+…H------%2+CLQX,显然/(%)在［0,1］上满足Rolle定理的

〃+1n2

nnx

条件,且F\x)=f(x)=anx+an_xx~+•••+axx+4.由Rolle定理得，3^e(0,1)，使得

即

所以/(%)=+…+axx+劭在(0,1)内必有一根.

JTJT

例3设/(%)在［0,—］上连续，在(0,一)内可导，且0</(%)<1,/'(%)<1.证明方程

44,

n

f(x)=1皿％在(0,一)内恰有一根.

4

71

证明⑴先证/(x)=tanX在(0,一)内有一根.

■4

71

令F(x)=/(x)-tanx,则F(x)在［0,—］上连续,且

4

JT1T

由零点定理，3^e(0,—=0,即/(x)=tan%在(0,^)内有一根.

n

⑵往证/(%)=12口%在(0,一)内只有一根.

4

71

反证法：设F(x)=/(x)-tanx在(0,—)内有两个根当<々，则尸(工)在［3，々］上满足

n

Rolle定理的条件,所以三〃£(0,—)，使得

兀

但/'(无)=f'(x)-secx<0,xe(0,—)，故假设不成立.

4

71

由⑴及⑵知，/(%)=tanx在(0,一)内恰有一根.

4

—.Langrage中值定理(也称有限增量定理或微分中值定理)

如果函数/(%)

⑴在切上连续；

(2)在(。力)内可导；

则遮e(a,b),s.t.f(b)-/(«)=f'O(b-a).……(*)

注意⑴当〃<。时,公式(*)仍成立.公式(*)称为Langrage中值公式.

⑵公式(*)的等价形式:令a=x,Z?=x+Ax,则

/(x+Ax)-/(x)=/'©)•AxJ在1及x+AY之间.

从而j=%+e•Ax,o<e<i,所以

或

即由Langrage中值公式,可得函数增量的精确表达式,从而该定理又称为有限增量定理，有时也称为微分中

值定理.

推论如果/(X)在区间/上的导数恒为零,则/(X)在区间/上是一个常数.

证明eI,不妨设玉显然在［x,x上满足Langrage中值定理的条件,故存在

V%1,x2<x2,y(x)x2］

百E(九1，冗2)，使得

又尸6)=0,所以

即

由犬1,%2的任意性知：/(x)=c,xe/.

注意此处的区间/可以是任何类型的区间.

%

例4证明当%>0时，-----<ln(l+%)<%.

1+x

证明(分析ln(l+x+=ln(l+x)-ln(l+0)).

令于Q)=ln(l+t),则/(0在区间［0,X\上满足Langrage中值定理的条件,故存在JE(0,X)，使

得

即

11।

又-----<-----<1,所以

1+X1+4

注意从例4的证明可以看出用Langrage中值定理证明不等式的基本思路是:

(1)构造辅助函数:这可以从待证不等式分析出辅助函数的构造；

(2)由Langrage中值定理

=J在〃及》之间

估计了'(£)，从而得待证不等式.

例5设/(%)在(〃,+oo)内可导，且lim/(x)及lim/'(%)存在，证明lim/'(%)=0.

%—>+oo+00X—>+oo

证明f(%)在［羽%+1］上满足Langrage中值定理的条件,故有

所以

三.Cauchy中值定理

Cauchy中值定理如果函数/(X)及g(x)在［a,b］在连续,在(。涉)内可导.且g'(%)在(〃,。)内

不为零,则存在&G(a,b)，使得

例6设y(x)及g(x)是可导函数,且当入〉。时，，'(x)|<gf(x),证明当%>Q时，有

证明(分析:由I/f(x)|<g\x)知g'(%)>0=g(x)-g(〃)=g'C)(x-d).x>a)

显然/(X)及g(X)满足Cauchy中值定理的条件,所以存在J,有

即

又|/\x)|<g\x),所以<L且g(x)-g⑷=g'CX%一。)，故

|gc)l

注意从例6可以看出在证明关于两个函数之间的不等式或关系时,往往用Cauchy中值定理.

第七节罗必塔法则

000

罗必塔法则主要用于解决未定式(一型，一型)的极限.

000

一.lim(°型)，其中lim/(x)=0,limg(x)=0.

g(x)0

定理设

(1)limf(x)=0,limg(x)=0；

x—»x0x-»x0

0

(2)在U(%0)内/'(%)及g'(%)都存在，且g'(x)wO;

(3)lirn----存在(或为无穷大).

f0g(x)

则有

f(x\

证明因为当XfX。时，----^的极限及/(%)和g(Xo)无关,不妨设/(Xo)=g(Xo)=°，所以

g(x)

00

/⑺及g⑺在。(%)内连续，任意xeC/(x0)，则/⑺及g«)在以x(),x为端点的区间上满足

Cauchy中值定理的条件,所以

/(x)-/(x)/^)

0J在/及X之间.

g(x)-g(x0)g'C)

即

从而

0

注意(1)定理表明：如果未定式一型满足罗必塔法则的条件，则未定式的极限可用对分子分母分别

0

求导再求极限来确定未定式的极限.

如果lim还是°型，可再用一次罗必塔法则，直至不是未定式°型为止.即

X—>XQg'(x)00

000

（2）罗必塔法则对九-8时的未定式一型也适用.对X-X。或%—8的未定式—型也适用.

000

即

000

一型一型不是一型

000

000000

一型一型不是一型

000000

（3）如果不是未定式,则不能用罗必塔法则.

0

「x3—3%+2。亦3%2—3o6%3

例1lim-------------------型lim----------------=lim---------=—.

3/__%+]Q_33x2-2x-l-I6x—22

「tan%-sinx「tan%-sin%z.八、

例2lim---------------=lim----------------(sinx〜％,x—0)

sinxx

smx

一eIncosx一Incosx八.dnr八

例3lim---------------=lim---(limesmx=1)

x—>0%2x—>0

注意⑷在运用罗必塔法则的过程中，如果出现极限不为零的因子,可将其因子的极限先计算;如果出现极

限为零的因子.可用其等价无穷小来代替，以简化求极限的计算.

%62*+龙用一2e2x+2e*xex+x-2ex+2

例4lim=lim(ex-l-x)

x->0d)3

例5设〃>O,则

%

例6lim-j-（n为正整数，2>0）

%f+oo

由以上两例得

当xf+oo时，In%<<%"«,(2,//>0).

二.其他未定式

1.0・8型

0,00

0•00型一型一型

000

即

、0000

或0•00=丁=一.

100

000

例7"0・oo''型

0

120

<7万991-x-2x

例8lim(l-x2)tan—x=lim(l-x2)----------=lim=lim

x-2%~TC71x->lTC.71

一cos-Xcos-X

22

或

x=i-t兀t/■4

原式=lim[(2-，)cot—，=21im---------=21im—=—.

一。210n一0乃71

tan—t—t

22

2.8—8型

先通分(或作变换)，化成分式后为未定式“-”型，即

0

0

,1./、8-81-sinxo-cosx„

例z9lim(sec%-tanx)=lim----------=lvim---------=0.

xf巴