平面向量的概念与运算

平面向量的概念与运算

知识剖析

知识点一平面向量的概念

1向量的概念

既有大小又有方向的量，常用四，a等表示；向量屈的长度是向量的模，记作|荏|.

PS平面向量在平面内是可以任意移动的.

2常见向量的概念

名称定义特点

零向量长度为0的向量零向量的方向是任意的

单位向量长度为一个单位长度的向量与前共线的单位向量是士瑞

相等向量长度相等且方向相同的两个向量相等向量有传递性

平行向量方向相同或相反的非零向量a,b,

零向量和任何向量平行

（共线向量）记作a//b

相反向量长度相等方向相反的向量a的相反向量记作-a

PS

（1）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

（2）平行向量无传递性！（因为有0）；

（3）因为平面向量在平面内是可以任意移动的，与线段不一样，所以向量没有固定的起点和终点，两个向量

平行与与两条直线平行是不同的两个概念.

图一线段48和CO,在①中是AB//CD,在②中是48、C。共线；

CD

①②（图一）

图二向量荏和而，对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②的情况是一样.

①②（图二）

知识点二平面向量的运算

1向量的加法

①向量加法的三角形法则

已知向量非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作荏，阮=另,则向量而叫做日与3的和，记作3+3,

即,+5=荏+近=(相当于“首尾相接”)

②向量加法的平行四边形法则

若近=益，而=丸则向量而叫做日与族的和，Sl!a+b=AB+AD=ACt

作图

(/BCD是平行四边形)

2向量的减法

①向量减法的几何意义

已知向量二,b,在平面内任取一点。，作a=五,OB=b,则耐=益一九

即a-B可以表示向量3的终点指向向量N的终点的向量.

②一般地，我们有

|a+b|<|a|+|b|

当且仅当21方向相同时等号成立.

③向量的加减法满足交换律和结合律

④若。C=xOA+yOB

(1)如图一，若4,B,C三点共线，则x+y=l；

(2)如图二，若点。和点C在4B同侧,则x+y<l；

(3)如图三，若点。和点C在4B异侧，则x+y>l；

o

o

A

/c

Cb\

4B4

图一图二图三

特殊的，在三角形A4BC中，点。是BC的中点，则而=9而+3前.

3向量数乘运算

一般地，我们规定实数/I与向量，的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作4出

它的长度与方向规定如下：

(1)|4>=囚］讣

(2)当4>0时，版的方向与G的方向相同；当4<0时，发的方向与日方向相反；

4两个向量共线

共线定理非零向量a与向量B共线o有且只有一个实数人使得另=4汇

当;1>0时，4五的方向与日的方向相同；

当a<o时，入五的方向与，方向相反；

当4=0时，Aa=0.

经典例题

【题型一】向量的相关概念

【典题1】给出下列命题

①向量荏与方是共线向量，贝〃，B,C,0四点必在一直线上；

②若五,3满足间>向且;与』同向,则五>b；

③若2=3,3=0,则己=己；

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

⑤若同=\b\,则苍=B；

⑥若江〃石,b//c,则益〃,

其中正确命题数是哪些？

【题型二】共线定理

【典题1】点C在直线AB上，且=||而若而=4舐，则2=.

【题型三】向量的加减法

【典题1】若其+力=同一向，则3与3的夹角为.

【典题2】在△ABC中，D,E分别为边4B,AC的中点，BE与CD交于点P,设方=d,

AC=b,则标=)

厂3.3rnIf,IE

A.-a+-bB.-a+-bC.—CL—bD.-u—b

33334466

【典题3】点。在△ABC的内部，且满足万？+2而+4沆=6,则AABC的面积与AAOC的面积之比

是.

巩固练习

1(★)对下列命题:

(1)若向量a与石同向，且同＞|瓦，则2＞另；

(2)若向量同=\b\,贝日与方的长度相等且方向相同或相反；

⑶对于任意向量।叫=而，若值与族的方向相同，则五=a

(4)由于6方向不确定，故6不与任意向量平行；

(5)向量日与石平行，则向量，与另方向相同或相反.

其中正确的命题的个数为:

2(*)在44口。中，AB=a,AC=b,若点。满足丽=2比，则而=.(用d、B表示)

3(**)如图，在回。4cB中，E是4c的中点，F是8C上的一点，5.BC=3BF,若而=+其中

m,nER,则m+几的值为.

4(**)如图，在△ABC中，AD=^AB,AE=^AC,BE和CD相交于点尸，则向量Q等于

5(***)设G是△ABC的重心，a,b,t;分别是角A,B,C所对的边，若a必+b而+c元=I贝必ABC的

形状是.

6(***)已知点。是△ABC内部一点，并且满足65+2而+3沆=6,ABOC的面积为Si，△A8C的面积

为S2,则自=.

7(★★★)在AABC中，E，F分别为,4C中点,P为线段E尸上任意一点，实数x,y满足m+x而+y丽=6,

设UBC,△PCAAPAB的面积分别为S5,52，记3=；11，年=%，则%%取得最大值时，2x+