高一第二学期必修第二册-正余弦定理综合（解析版）

高一第二学期必修第二册

巩固提升篇一正余弦定理综合

一、夯实基础

1.在AABC中，AB=y/2,BC=也,4=60。，则角C的值为（）

A.2B.—C.-D.红或色

64444

【答案】C

【解析】由正弦定理可得器=笺，即巫=&—,解得sinC=",

sinCsinAsinCsin6002

所以。=三或四，由得A>C,所以C=工，故选:C.

444

2.在△ABC中，若a=2bsinA,则6等于（）

A.30°或60°B.45°或60°

C.60°或120°D.30°或150°

【答案】D

3.在AABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知（s讥B-s出。产=

sin24-sinBsinC,a=2遍，b=2,贝ijAABC的面积为（）

A.2B.2V3C.4D.4V3

【答案】B

【解析】

•­,{sinB—sinC）2=sin27l—sinBsinC,

•••sin2B+sin2c—2sinBsinC=sin2/l—sinBsinC,

二由正弦定理可得/?2+c2-2bc=a2-be,可得济+c2-a2=be,

二由余弦定理可得cosA==牛=1由4G（0,兀），可得4=£,

2bc2bc2vy3

.4V3

vsinA=—,

2

,:a=2A/3,6=2,

二由正弦定理可得sinB="皿=隼=三，由b<a,8为锐角，可得8=巴,

A2V326

C—Ti—A—B=",

2

1

；.△ABC的面积S=|ab=1x2V3x2=2V3.

故选：B.

4.AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知&=石，c=2,cosA=-,

3

则6=（）

A.近B.5/3C.2D.3

【答案】D

（解析】,:a=旧，c=2，cosA=-，.1由余弦定理可得：

3

cosA=—=+C-——吼=1+4-,整理可得：3。2一8。-3=0,.,.解得：6=3或」（舍

32bc2x0x23

去）,故选。.

5.若三角形三边长分别是4,5,6,则这个三角形的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【答案】A

【解析】不妨设a=4,b=5,c=6,-：a<b<c,:.A<B<C,。为最大角,

16+25—3611「、

----------=->0,又。£（0,乃），

2ab2x4x58

6.AABC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,已知asinA—Z?sinb=4<?sinC,

cosA=--,则2=（）

4c

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

a2-b2=4c2

【解析】：^zsinA—/?sinB=4csinC,b2+c2-a11，解得

cosA=--------=——

2bc4

3c2=—bef—=6,故选A.

2c

7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c.若3=45。,

2

c=2>/2，b-4G,则A=.

3

【答案】15。或75。

【解析】因为8=45。，c=20，b=史,

3

由正弦定理一~^=——得：sinC=^^=2=7,

sinBsinCb4032

因为0<C<180，所以C=60。或。0。,所以。=75°或15。,故答案为：15。或

75°.

8.在△A8C中，sinA:sin3:sinC=7:3:5,那么这个三角形的最大角是

【答案】y

【解析】由正弦定理,a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:3:5,

^a=lk,b=3k,c=5k(k>0),

显然该三角形的最大角是角A,

h2+c2-a2942+25人2一49^2

由余弦定理,可得cosA=

2bc2x3kx5k2

因为A«0,7t),所以

故选：B.

b=6a=2cB=—

9.△/SC的内角AEC的对边分别为a,"c,若''3,则△ABC

的面积为.

【答案】6A/3

［解析］由余弦定理得=a2+c2—2accos8,所以(2c)2+<?2—2x2cxcx-=62,

即C、2=12,解得c=26,《=-26(舍去)，

3

2=65

所以a=2c=4G,SAASC—acsinB=—x4>/3x2^3x

222

10.在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,C,若〃=加2,

sinC=V3sinB>则cosA=

【答案】B

3

b

【解析】rsinC=心sin5,根据正弦定理:

sinBsinC

根据余弦定理：a1=b2+c2-2Z?ccosA,又a?=2。"

c=^3b

a2=b2+c2-2bccosA,解得：cosA=^.故答案为：也

故可联立方程：

33

a2=2b2

11.已知“L8c的内角A6,C的对边分别是a,dc,且/="+/_a..

(I)求角A的大小;

(II)若a=6/+c=36,求AABC的面积.

【答案】(I)A=|；(II)2百

【分析】

b2+c2-a2—r

(I)将已知条件a2=〃+c2—尻变形，借助于余弦定理cosA=---------可

2bc

求得A的大小;

(II)由/=6+°2—机,与人+c=3«解方程组可求得反=8的值，进而利用三

角形面积公式求解即可.

【解析】

T、HK.b+c~—cibe1

(/I)依/-»-题屈：cosA=----------=---=-

2bc2hc2

,71

A=—

3

(ID由余弦定理得：a2^b2+c2-2hc-cosA

4

即：a2=(b+c)2-2bc-bc,

3bc=(b+c)2-a2=24,即8c=8

r.S.ABC=；•sinA=2G

12.在AABC中，角AB,C的对边分别为a,"c,若

asmBcosC+csinBcosA--b,且c>0.

2

（1）求角5的值;

（2）若A=J,且AAHC的面积为46,求BC边上的中线AM的长.

6

【答案】（1）?；（2）2币.

O

【分析】

（1）先由正弦定理边角互化，计算求得sinB；（2）由（1）可知AABC是等腰

三角形，根据面积公式求边长“，AAMCK再根据余弦定理求中线A"的长.

【解析】

(1)*.*asinBcosA=—b,

2

由正弦定理边角互化得sinAsin5cosC+sinCsin8cosA=gsinB,

由于BG(0,7i),sin8wO,/.sinAcosC+sinCcosA=—,即sin(A+C)=—,得

22

sin8」

2

TTjr

又c>b,：.0<B<-：.B=-.

2f6

7TTT

(2)由(1)知8="，若人="，故。=〃，则

66

q。—absinC=—a2sin—=4A/3,

2AA8223

二a=4,a=-A(舍)

又在AAMC中，AM2AC2+MC2-2ACMCCOS—,

3

AM2=AC24-(|AC)2-2-AC-AC-COS^=42+22-2-4-2-(-^)=28,/.

AM=2A/7.

5

二、素养提升

1.在AABC中，已知3=45。，〃是边上一点，如图,

ABAD=75°,DC=\,AC=^,则AB=()

A.75B.瓜C.2D.3

【答案】B

【解析】

ZA£>C=45°+75°=120°,根据余弦定理

AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosl20°,

AD

AD2+AD-6=Q,AD=2,ZAZ）B=60°.根据正弦定理而

sin45°

A。sin60°

贝ijAB=

sin45°

2

故选：B

2.一船以每小时15初的速度向东航行，船在力处看到一个灯塔8在北偏东

60°,行驶4力后，船到达。处，看到这个灯塔在北偏东15。，这时船与灯塔的

距离为()km.

A.15B.30cC.15>/6D.3072

【答案】D

【解析】设根据题意，可得用ABC。中，设CD=M,

.-ZCBD=15°,tanZCBD=—=(2-4)x

由此可得BD=8厂=（2+y/3）xkm

2—\J3

6

Rt^ADB中，ZABD=60°AD=拒BD=(273+3)x

因止匕，AC=AD-CD=(273+3)x-x=15x4

即(2G+2)X=60,解之得x=15(6-1)加

CD」5(6—1)由

由此可得用△88中，Sinl5。-几-夜3,即此时的船与灯塔的距

4

离为30夜加，故选：D.

北了

A；：

西―c：W东

葡

3.在△/a'中，角4B,。满足sin4cosC—sinBcosC=Q,则三角形的形状

为•

【答案】直角三角形或等腰三角形

【解析】由已知有cosC(sin4—sin而=0,所以有cos。=0或sinA=sin

B,解得C=90。，或4=3

4.在A4BC中，内角1,B,C的对边分别为a,b,c已知/=以；且cosB=?.

94

(1)则弓7+岛7的值为•

、'tanAtanc

(2)设瓦？.前=；,则a+c的值为.

【答案】(1)#;(2)3

【分析】

本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于基础题.

先求sinB=FI7二?，再有正弦定理得si/B=sinAsinC,切化弦得

7

cosA,cosC1

----------1----------=--------

tanAtanCsinAsinCsinB

2

由瓦？-BC=I，得QCCOSB=I，再利用余弦定理得(a+c)=9,解得.

【解析】

(1)由cosB=:,BE得sinB—J1—([)=

由/二ac及正弦定理，得siMB=sinAsinC.

十日

J-足--1--1---,--1---=--c--o-s-A--1-,--c-o--s-C=--s-i-n-C--c-o--s-A--+-c--o-s-C--s-i-n-A-=

tanAtanCsinAsinCsinAsinC

sin(i4+C)_sinB_1_4近

■■■■■1■■~•

sin2Bsin2BsinB7

(2)由瓦？•瓦=I，有accosB=|,

•••ac=2,

又由/=ac及余弦定理，得a?+c?-/=2accosB,

即a?+c2—2=3,a2+2ac+c2=2ac+5,

得(a+c)2=9,

•*,CL+C—3•

5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且

b2+(c-b)c-a2.

(1)求A的大小；

(2)若AABC的面积等于5百，b=5,求sinBsinC的值.

兀5

【答案】(1)A=-；(2)

222

【解析】(1)Vb+c-bc=a,由余弦定理得COSA=^¥^=《,

2bc2

71

・:0<A<4,A=一.

3

in

(2)因为S=—8csinA=——be-573,

24

所以be=20,又b=5,故c=4,

于是a2=/?2+c2-2/?ccosA=21,

8

cn4y/21匚

・r-2R===2y/l

・・，sin9

a=721Asi-n—

3

.n.「be5

所以sinBsinC=G^=1.

6.在△