高中数学选修第一册：章末检测（二） 直线和圆的方程

章末检测(二)直线和圆的方程

A卷

本试卷分第I卷和第II卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第I卷(选择题，共60分)

一'单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)

1.已知圆C以点(2,-3)为圆心，半径等于5,则点M(5,—7)与圆C的位置关系是()

A.在圆内B.在圆上

C.在圆外D.无法判断

解析：选B点M(5,—7)到圆心(2,一3)的距离d=.(5-2)2+(-7+3)2=5,故点M

在圆C上.

2.已知过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为一；，则|MN|=()

A.10B.180

C.6^3D.675

d—41

解析：选D由kMN=_、一=f解得a=io,即Af(-2,10),MIO,4),所以|MN|

乙a/

=^/(-2-10)2+(10-4)2=6^5,故选D.

3.若直线町+3=0在y轴上的截距为一3,且它的倾斜角是直线y=3小的

倾斜角的2倍，贝欧)

A.〃2=一小,n=lB.〃z=一n=-3

C.m=y[39〃=-3D.团=小,n=l

解析：选D依题意得：直线6x—y=3小的斜率为小，.,.其倾斜角为60。.二一G=一

3,一£=tan120°=一小，得，”=小，n—\.

4.经过点M(2,l)作圆好+产=5的切线，则切线方程为()

X.y[2x+y-5=0B.Vlr+y+5=0

C.2x+y-5=0D.2x+j+5=0

解析：选C在圆上，，切线与M。垂直.

V*w=|,切线斜率为-2.又过点M(2,l),

...y—1=—2(x—2),即2x+j—5=0.

5.直线/过点A(3,4)且与点b(—3,2)的距离最远，那么/的方程为()

A.3x-j—13=0B.3x—y+13=0

C.3x+j-13=oD.3x+y+13=0

2—41

解析：选C由已知可知，/是过A且与AB垂直的直线，•.»=—=,,：,ki=

JJJ

—3,由点斜式得，j—4=_3(x_3),即3x+y—13=0.

6.若直线/：y=fcr+l(AV0)与圆C：(X+2)2+(J-1)2=2相切，则直线/与圆O：(x

-2)2+产=3的位置关系是()

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

I-2A-1+Hr-

解析：选A依题意，直线/与圆C相切，则,解得&=±1.又又V0,

12+0-11V2

所以左=一1,于是直线/的方程为x+y—1=0.圆心0(2,0)到直线/的距离d=~^2~=2

＜巾，所以直线/与圆O相交，故选A.

7.已知圆C：炉+产-2x—2,町+”及一3=0关于直线八x—y+l=0对称，则直线x=

一1与圆C的位置关系是()

A.相切B.相交

C.相离D.不能确定

解析：选A由已知得C:(x—1)2+。一,〃)2=4,即圆心C(l,m),半径r=2,因为圆

C关于直线/:x—y+l=0对称，所以圆心(1,m)在直线/:x—y+l=0上，所以，〃=2.由

圆心C(l,2)到直线x=-1的距离d=l+l=2=z"知，直线x=-1与圆C相切.故选A.

8.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2=—2y+3,直线/经过点(1,0)

且与直线x-y+l=0垂直，若直线/与圆C交于A,B两点,则△0A8的面积为()

A.1B.y/2

C.2D.272

解析：选A由题意，得圆C的标准方程为，+&+1)2=4,圆心为(0,-1),半径r

=2.因为直线/经过点(1,0)且与直线*一了+1=0垂直，所以直线/的斜率为一1,方程为y

10—1—II

-0=-(x-l),即为x+y-1=0.又圆心(0,—1)到直线I的距离―=也,所以

弦长143|=2[/一不=244—2=2啦.又坐标原点O到弦A5的距离为"签"=古’所以

AOAB的面积为:X2gx古=1.故选A.

二'多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0

分)

9.过点A(l,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为()

A.x-j+l=OB.x+y—3=0

C.2x—y=0D.x—j—1=0

2—0

解析：选AC当直线过原点时，可得斜率为口=2,故直线方程为y=2x,Fp2x-y

=0;当直线不过原点时，设直线方程为\+马=1,代入点(1,2),可得［=1，解得。=

—1,直线方程为x—y+l=0,故所求直线方程为2x一y=0或x—y+l=0.故选A、C.

10.直线x—y+m=0与圆x2+y2—2x—l=0有两个不同的交点的充分不必要条件可以

是()

A.OV/nVlB.m<\

C.-2</n<lD.—3</w<l

解析：选AC圆x2+j2-2x-l=0的圆心为(1,0),半径为也.因为直线x-j+m=O

与圆产+产-2*—1=。有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d

=隼瞿〈市，所以|1+，川<2,解得一3<mVl,求其充分条件，即求其子集，故由选项

\1+1

易得A、C符合.故选A、C.

11.已知圆C:(x—3)2+(j—3)2=72,若直线/：x+y一机=0垂直于圆C的一条直径，

且经过这条直径的一个三等分点，则直线I的方程是()

A.x+y—2=0B.x+j—4=0

C.x+y-8=0D.x+j-10=0

解析：选AD根据题意，圆C:(x-3)2+(y-3)2=72,其圆心C(3,3),半径r=6取,

若直线/:x+y—»i=0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则圆心

到直线的距离为2吸，则有d==2y［2,变形可得|6—，川=4,解得m=2或10,即/

yjl+1

的方程为x+j—2=0或x+y—10=0.

12.已知直线八：x—y—1=0,动直线，2：(A+l)x+Ay+«=O(AUR),则下列结论正确

的是()

A.存在A,使得L的倾斜角为90。

B.对任意的A,6与，2都有公共点

C.对任意的A,八与，2都不重合

D.对任意的A,6与/2都不垂直

解析：选ABD对于动直线机(k+l)x+ky+k=O(kGR),当《=0时，斜率不存在,

3一,一］=0,

倾斜角为90。，故A正确；由方程组,,,可得(2A+l)x=0,对任意的上

(k+l)x+ky+k=Qf

1k1kk

此方程有解，可得公与，2有交点，故B正确；因为当儿=-5时，丁=三=三成立，此

人+1

时与，2重合，故C错误；由于直线/1：X—J—1=0的斜率为1,动直线h的斜率为二二=

故对任意的A,人与，2都不垂直，故D正确.

第II卷(非选择题，共90分)

三'填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.若过点P(1—a,1+a)与点。(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是

2a—(1+a)a_1

解析：k=3-(l-a)=^+2<0>得一2<"1.

答案:(-2,1)

14.若两平行直线3x-2y-l=0,6x+aj+e=0之间的距离为喈，则中的值为

解析：由题意，得q=冬工4,所以〃=-4,cW—2.所以直线6x+ay+c=0的方程

卧1|_2而

可化为3x-2y+1=0.由两平行线间的距离公式，得即^+1=2,解得c

行一13，

c+2

=2或一6,所以a.=_［或］♦

答案：一1或1

15.若圆。：产+俨=5与圆。］：(x-wi)2+y2=20(niGR)相交于A,5两点，且两圆在

点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为

解析：连接。Oi,记AB与0。1的交点为C,如图所示，在

RtZiOOiA中，|04|="，|0M|=2寿，.\|00i|=5,：.\AC\=^X^

=2,：.\AB\=4.

答案：4

16.已知直线/：/nx—y=1,若直线I与直线x+m(m—l)y=2垂直,则机的值为

动直线/：mx—y=l被圆C：*2—2x+y2-8=0截得的最短弦长为.

解析：因为直线mx-y=1与直线x+m(m—l)y=2垂直，所以机义1

十(—l)X/n(/n—1)=0.解得m=0或m=2.

动直线/:mx—y=l过定点(0,-1),圆C:J—2x+y2—8=0化为

(X—l)2+j2=9,圆心(1,0)到直线mx—y—1=0的距离的最大值为

^(0-1)2+(-1-0)2=^2,所以动直线/被圆C截得的最短弦长为2、/9二(啦歹=2#.

答案：0或22s

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤)

17.(本小题满分10分)已知直线/经过点P(—2,1),且与直线x+y=0垂直.

(1)求直线/的方程；

(2)若直线m与直线1平行且点P到直线m的距离为也，求直线m的方程.

解：(1)由题意得直线/的斜率为1,

故直线/的方程为y-l=x+2,即jr~y+3=0.

(2)由直线股与直线，平行，

可设直线m的方程为x—y+c=0,

由点到直线的距离公式得L21+,1=6,

即|c一3|=2,解得c=l或c=5.

故直线m的方程为x—y+l=0或X—j+5=0.

18.(本小题满分12分)已知从圆外一点P(4,6)作圆。：/+/=1的两条切线，切点分

别为A,B.

(1)求以0尸为直径的圆的方程；

(2)求直线AB的方程.

解：(1)；所求圆的圆心为线段。尸的中点(2,3),

22

半径为翔P|=1^/(4-0)+(6-0)=V13>

...以。尸为直径的圆的方程为(x-2产+(y—3/=13.

(2)\'PA,PB是圆O:x2+y=i的两条切线，

：.OA±PA,OBJ-PB,

：.A,8两点都在以。尸为直径的圆上.

x2+j2=l,

由‘7」z得直线A8的方程为4x+6y-l=0.

l(x-2)2+O-3)2=13,

19.(本小题满分12分)如图，已知点4(2,3),8(4,1),△A8C是以43为底边的等腰三

角形，点C在直线/：x-2j+2=0±.

(1)求AB边上的高CE所在直线的方程;

(2)求△ABC的面积.

解：(1)由题意可知，E为48的中点,

.,.£(3,2),且kcE=-=1,

.♦.CE所在直线方程为：y-2=x~3,即x-y-l=O.

x-2j+2=0,

(2)由得C(4,3),：.\AC\=\BC\=2,AC±BC,

x-1=0,

：.S^ABC=^\AC\-\BC\=2.

20.(本小题满分12分)已知过点4(0,1)且斜率为k的直线I与圆C：(x-2)2+(j-3)2

=1交于M,N两点.

(1)求々的取值范围；

(2)若苏•苏=12,其中O为坐标原点，求|MN|.

解：(1)由题设可知直线/的方程为y=Ax+L

因为直线/与圆C交于两点，

解得学VAV苧.

(4-巾4+V7J

所以A的取值范围为

(2)设M(X1,Jl),N(X2,J2).

将^=h+1代入方程(*-2)2+3-3)2=1,

整理得(1+炉)*2-4(1+#)*+7=0.

4(1+«)

所以Xl+X2=l+k2，X1X2=H-F

由题设可得4c1+8=12,解得A=l,

所以直线/的方程为y=x+l.

故圆心C在直线/上，所以|MN|=2.

21.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+„/x—2与x轴交于A,B两

点，点C的坐标为(0,1),当机变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC_LBC的情况？说明理由；

(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

解：(1)不能出现AC_L3C的情况，理由如下：

设A(Xi,O),3(X2,0),则xi,必满足好+加X一2=0,

所以X\X2=—2.

又。的坐标为(0,1),

故AC的斜率与BC的斜率之积为」•」=一；,

所以不能出现ACJL8C的情况.

(2)证明：由(1)知8c的中点坐标为g,

可得BC的中垂线方程为j-1=x2(x-§).

由(1)可得Xl+X2=一机，

所以AB的中垂线方程为x=-J.

所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为(一号，~1),半径r=返王2

故圆在y轴上截得的弦长为24/^一倒2=3,即过A,B,C三点的圆在)轴上截得的

弦长为定值.

22.(本小题满分12分)已知圆V：*2+&-4)2=%尸是直线/：*一27=0上的动点，

过点P作圆M的切线R1,切点为A.

(1)当切线尸4的长度为2小时，求点尸的坐标.

(2)若△以M的外接圆为圆N,试问：当点尸运动时，圆N是否过定点？若过定点，求

出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

解：(1)由题可知圆M的圆心为M(0,4),半径r=2.

设P(2b,b),因为公是圆M的一条切线，所以NM4P=90°.

在RtZkMAP中，附尸|2=|4必2+|4川2,故|MP|=422+(25>=4.

又|MP|=y](0-2b)2+(4-b)2=\l5b2~Sb+16,

所以年5b2—85+16=4,解得b=0或也

所以点尸的坐标为(0,0)或借，

(2)设点尸的坐标为(2瓦b).

因为NMAP=90。，所以△RUf的外接圆圆N是以MP为直径的圆，

且MP的中点坐标为(力，咛个)，

所以圆N的方程为(x—4+G—号＞=些邛二空，

即(2x+y-4)万一(好+了2-4田=0.

8

2x+v—4=0,[x=0,x=5,

由L「解得‘或4

x2+j2-4j=o,|j=4,4

所以圆N过定点(0,4)和《，。

B卷

本试卷分第I卷和第II卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第I卷(选择题，共60分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1.已知直线Aax+3y+l=0,l2：2x+(a+l)y+l=0互相平行，则a的值是()

A.-3B.2

C.-3或2D.3或一2

a(a+l)=2X3,

解析：选A由直线/i与，2平行，可得"解得a=-3.

[aXl#2,

2.直线/过点(一3,0),且与直线y=2x—3垂直，则直线，的方程为()

A.y=一；(x—3)B.y=_g(x+3)

C.j=^(x—3)D.y=；(x+3)

解析：选B因为直线y=2x—3的斜率为2,所以直线I的斜率为一；.又直线I过点(一

3,0),故所求直线的方程为y=—；(x+3),选B.

3.已知P,。分别是直线3x+4y—5=0与6x+8y+5=0上的动点，则|PQ|的最小值

解析：选B由于所给的两条直线平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行直线间的距

|-10-5|_33

离.由两条平行直线间的距离公式，得"=即IPQ的最小值为卓

,^62+822,

4.半径长为6的圆与x轴相切，且与圆/+&-3)2=1内切，则此圆的方程为()

A.(x-4)2+(y-6)2=6B.(x±4)2+(y-6)2=6

C.(x-4)2+(y-6)2=36D.(x±4)2+(y-6)2=36

解析：选D，.•半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为3,/>),则>=6.再由#)+32

=5,可以解得〃=±4,故所求圆的方程为(x±4)2+(y-6)2=36.

5.直线/i与直线b：3x+2y-12=0的交点在x轴上，且/」/2，则直线6在y轴上的

截距是()

A.-4B.4

8

3

3

解析：选C设直线11的斜率为ki,直线，2的斜率为k2,则k2=-^.'：h±l2,：.kxk2

1122

=—1,；・如=一记=——,设直线Zi的方程为y=~^x+b9直线，2与2轴的交点为(4,0),将

-2

8

点(4,0)代入h方程，得力=~y

6.在直三棱柱A8C-A1B1G中，BAVCA,AiA=BA=CA,点M,N分别是AC,AB

的中点，过点C作平面a,使得a〃4",a/ZBtN,若aCZJiG=P,则潦的值为()

A,2B,3

C-4D'5

解析：选B因为A8,AC,44两两垂直，

所以以4为原点，以45,AC,A4为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系(图略)，

设48=2,则脑宓=(0,1,-2),万方=(-1,0,-2),

设需="，则&=冠+下予

=(0,。,2)+苗(2,-2,0)=岛,范,2),

因为a〃AtM,a//BtN,所以存在实数x,y,

使得&=xE+y后百，

i+〃=p，

由向量相等的充要条件得4~2//

]+〃一占

、2=—2x-27，

消去X，y得馈+馈=2,所以〃4即需4

7.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,8。分别在这个二面角的两个半平面内，且

都垂直于45.已知A8=4,AC=6,BO=8,CD=2y[17,则该二面角的大小为（）

A.150°B.45°

C.60°D.120°

解析：选C因为宣・"7声=0,~AB^BD=(),

所以由诟，

两边平方得，Cl>2=C42+1ZB2+^2+2(C^-^+ABBP+CA-BP),

所以(2亚产=62+42+82+2X6X8cos(CA,~BD),

所以cos{CA,~BD}=-1,

所以〈言，BD>=120°,

因为二面角的大小为锐角，所以该二面角的大小为60°.

8.已知圆G：(*—2)2+。-3)2=1,圆C2：(*—3)2+&-4)2=9,M,N分别是圆Ci,

C2上的动点，尸为》轴上的动点，贝!l|PM+|PN|的最小值为（）

A.5A/2-4B.V17-1

C.6-272D.V17

解析：选A圆G,C2的图象如图所示.

设P是x轴上任意一点，则1PM的最小值为同理|PN|

的最小值为|PCz|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|尸GI+IPC2I—4.作G

关于x轴的对称点C'i（2,—3）,连接C'C2,与x轴交于点尸，

22

连接PG,可知IPC1I+IPC2I的最小值为|C'IC2|=^（3-2）+（4+3）

=5巾,则IPM+IPM的最小值为“I-4.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0

分）

9.以下四组向量是平面a,/?的法向量，则能判断a,/?平行的是（

A.a=(l,2,l),-2,3)

B・〃=(8,4,—6),)=(4,2,—3)

C.a=(O,l,—1),办=(0,—3,3)

D.4=(18,19,20),b=(l9-2,1)

解析：选BC因为在选项B中Q=2瓦所以Q〃儿所以Q〃夕，选项C中一3a=心所

以〃〃夕，而选项A、D中。不平行于瓦所以a不平行于“，所以只有选项B、C能判断”，

夕平行.

10.在同一平面直角坐标系中，直线A：ar+y+Z>=0和直线，2：bx+y+a=0不可能

是()

解析：选ACD由题意/i：y=—ax—瓦h：y=—bx—a,当a,，同号时，li与lz的

斜率与截距也同号，此时选项A、C不可能正确，选项B正确；当a,万异号时，/i与L的

斜率与截距也异号，此时选项D不可能正确.

11.实数x,y满足*2+炉+2*=0,则下列关于土的判断正确的是()

的最大值为审B.告的最小值为一,

C.士■的最大值为卓D.士■的最小值为一坐

X1,JXLJ

解析：选CD由/+丁2+2%=0得(X—l)2+y2=],表示以(一1,0)为圆心、1为半径的

圆，告表示圆上的点(X,y)与点(1,0)连线的斜率，易知，土最大值为半，最小值为一笔

12.已知正方体ABC。-481Goi的棱长为1,则下列命题中正确的是()

A.异面直线A"与80所成角的正弦值为

B.直线AOi与平面8DG平行

C.正方体外接球的表面积为3TT

D.aG与平面8OG所成角的正弦值为坐

解析：选BCD如图所示，在正方体A3CZ)-Ai51Goi中，连接AB”BtDi,BD,ADi,

BG,AC

因为BD//BtDi,

所以NAOiBi就是异面直线与8。所成角.

又NAOiBi=60°,

所以异面直线AS与80所成角的正弦值为坐，A错误.

因为A0i〃BG,AD值平面BDCi,8GU平面BDC\,

所以AOi〃平面BOG,B正确.

正方体外接球的直径为2R=小，

所以K=V，5=4兀k=3兀，C正确.

以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,1,0),4(1,0,1),Ci(0,l,l).

所以耐=(1,-1,1),fiiCi=(-1,0,0).

因为C41J-平面BDCi,

所以有为平面5DG的法向量，万君与南夹角的余弦值的绝对值即为81G与平面

8OG所成角的正弦值Icos<CAt,瓦西〉|=向===坐,D正确.

|C4111c向|W

第II卷(非选择题，共9()分)

三'填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.在平面直角坐标系中，若圆Q：x2+y2-4ax+2ay+5a2-l=0上所有的点都在第

二象限内，则实数a的取值范围是.

解析：依题意，圆2的方程可化为(x—2a)2+(y+a)2=l,圆心为。(2a,—。)，半径为

2a<—l,

r=l.若圆。上所有的点都在第二象限内，贝M解得“V-L

—a>l,

答案：(-8,—1)

14.已知空间直角坐标系中三点A,B,Mf点A与点3关于点M对称，且已知A点

的坐标为(3,2,1),M点的坐标为(4,3,1),则3点的坐标为.

解析：设8点的坐标为(X,j,z),则有斗。=4,上要=3,毛工=1,解得x=5,j=4,

Z=l,

故8点的坐标为(5,4,1).

答案：(5,4,1)

15.在长方体AZfCD-AiBiGOi中，AD=AAt=l,AB=2,点E在棱A8上移动，则直

线。必与4。所成角的大小是,若OiEJLEC,则AE=.

解析：长方体48co-451GO1中以。为原点，04为x轴，OC为y轴，05为z轴,

建立空间直角坐标系，又AO=A4=1,AB=2,点E在棱AB上移动，

则0(0,0,0),01(0,0,1),41,0,0),

Ai(l,0,l),C(0,2,0),设E(l,/n,0),0W，〃W2,则。iE=(l,in,-1),小。=(一1,0,-

1),所以Z)iE/iO=-l+0+l=0,

所以直线DiE与AiD所成角的大小是90°,

因为亦=(1,m,-1),-EC=(-l,2-m,()),DiE±EC,

所以OiE・EC=-l+/n(2—m)+0=0,

解得，”=1,所以AE=1.

答案：90°1

16.设点M(xo,l),若在圆。：x2+y2=i上存在点N,使得NOMN=45。，则刈的取值

范围是________

解析：由题意可知M在直线y=l上运动，设直线y=l与圆好+产

=1相切于点P(0,l).当xo=O即点M与点P重合时，显然圆上存在点

N(±l,0)符合要求；当刈#0时，过M作圆的切线，切点之一为点尸，此

时对于圆上任意一点N,都有N0MNWN0MP,故要存在NOMN=45。，

只需NOMP245。.特别地，当NOMP=45。时，有x0=±l.结合图形可知，符合条件的xo的

取值范围为[-1,1].

答案：[-1,1]

四'解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤)

17.(本小题满分1()分)已知直线/的倾斜角为135。，且经过点P(l,l).

(1)求直线/的方程；

(2)求点A(3,4)关于直线I的对称点A'的坐标.

解：(l)V*=tan1350=-1,

：.l:j—1=—(x-1),即x+y—2=0.

(2)设A'(a,b),

解得a=-2,b=~~T,

：.A'的坐标为(一2,-1).

18.(本小题满分12分)已知△ABC的三个顶点A(—1,0),8(1,0),C(3,2),其外接圆为

圆H.

(1)求圆”的标准方程；

(2)若直线/过点C,且被圆〃截得的弦长为2,求直线/的方程.

解：⑴设圆”的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

ri-D+F=0,fD=0,

则由题意，可知J1+0+户=0,解得«E=-6,

19+4+3O+2E+尸=0,1尸=一1,

所以圆H的标准方程为x2+(j-3)2=10.

⑵设圆心到直线/的距离为d,则1+/=10,所以d=3.

若直线/的斜率不存在，即LLx轴时，则直线方程为x=3,满足题意;

若直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=Jt(x-3)+2,

|一34一1|4

圆心到直线/的距离为d=3,解得a=§,

yj(-l)2+k2

所以直线I的方程为4x—3y—6=0.

综上可知，直线/的方程为x=3或4x—3y—6=0.

19.(本小题满分12分)已知三棱柱48C-4BiG的侧棱与底面边长都相等，4在底面

ABC内的射影为aABC的中心.

(1)求异面直线441与8c的夹角；

(2)求侧棱ABt与底面A3C所成角的正弦值.

解：设。是4在底面ABC内的射影，选焉，AC,疝作为基

向量.由已知可得笈，AC,启两两间的夹角均为60°,设棱长均

为a.

⑴氯/=而(就一焉)=疝•就一疝•前

=|AAi||AC|cos600-|AAi||AB|cos60°

所以〈44i,BC)=90°,所以异面直线44i与5c的夹角为9()。.

(2)易知平面A8C的一个法向量为而，且而=7肃一紧济一;二记，~ABx=~AB+AAX,

—»—>2

所以04・431=3层，

易求得|。4：|=乎°,\ABi\=y[3a.

所以侧棱ABx与底面ABC所成角的正弦值为

leos〈而，曲〉尸典画1=皇

104114811

20.体小题满分12分)已知圆//被直线x-y-l=0,x+y—3=0分成面积相等的四部

分，且截x轴所得线段的长为2.

(1)求圆〃的方程；

(2)若存在过点尸3,0)的直线与圆”相交于M,N两点，且|PM|=|MN|,求实数a的取

值范围.

解：(1)设圆”的方程为(x—/〃)2+(y—")2=/&>0),

因为圆H被直线x—y—1=0,x+y—3=0分成面积相等的四部分，所以圆心n)

一定是两互相垂直的直线x—y—1=0,x+y—3=0的交点，易得交点坐标为(2,1),所以/〃

=2,n=l.

又圆H截x轴所得线段的长为2,所以/=P+/=2.

所以圆”的方程为(工一2)2+@—1尸=2.

(2)设Mxo,JO),由题意易知点M是PN的中点，

所以(空,以

因为M,N两点均在圆V上，所以(xo—2产+60—1)2=2,①

然-。+©7>=2,

即(xo+a-4)2+(jo—2尸=8,②

设圆I:(x+a-4)2+(j-2)2=8,

由①②知圆”与圆/有公共点，

从而2P一小WTHITW2r+也,

即y/2W\/(a—2>+(1—2)2W3巾,

整理可得2Wa2-4a+5W18,

解得2一5&01或34。42+行，

所以实数a的取值范围是[2—亚，1]U[3,2+V17].