2020-2021学年上海市浦东新区进才某中学八年级下学期期末数学试卷含详解

2021学年上海浦东新区上海中学东校、进才实验、进才北

校初二下学期期末

一、选择题（本大题共6小题）

1.下列方程中，有实数解的是（）

23x,____

A.——+3=0B.-------=-------C.yJx-l=3D.

x2x-3x-3

x?—3x+5-0

2.下列命题中，假命题是（）

A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C.两条对角线相等平行四边形是矩形

D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

3.某校修建一条400米长的跑道，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成了

任务.设原计划每天修x米，那么根据题意可列出方程（）

400400c400400c

A.B.

x-10xx+10x

400400_)400400_)

C.D.

xx-10xx+10

4.如果AB是非零向量，那么下列等式中正确的是（).

A.=网B.AB=BAC.AB+BA=QD.

网+网=0

5.顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（）

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

6.从-2,0,1,2这四个数中，任取两个不同数作为一次函数、=依+。的系数A,b,

则一次函数y=的图像不经过第四象限的概率是（）

425

B.9-9-D.9-

二、填空题（本大题共12小题）

7.解关于x的方程幺=2+x（a#l）,则方程的解是

8.无理方程J27+3=-x的实数解是.

9.关于x的方程，炉+81=0的解是

3

10.一个多边形的内角和是1440°,那么这个多边形边数是.

11.已知一次函数y=(Z-2)x+3,若)，值随x值的增大而减少，则％的取值范围是

12.直线y=^+x+b与y=3x—6平行，将该直线向下平移3个单位长度后经过点

(3,-1)则该函数解析式为_____.

13.如图，直线4：y=x+l与直线=〃相交于点尸(1,2),则关于X的不等式

14.口袋里只有10个球，其中有个X红球，y个白球，这些球除了颜色不同之外，其余均

相同.从中随意摸出一个球，若摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，则x的可能值

为.

15.已知梯形的上、下底长分别为6,8,一腰长为7,则梯形另一腰长〃的取值范围是

16.直角梯形ABCQ中，AD//BC,AB±BC,E点是CO边上的中点，且满足

AB=AD+BC,BE=3,则梯形的面积为...

17.当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边

形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”.如果凸四边形4BCD

是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，其中/A8C=90。，AB=BC=

CD/AD,那么N840的度数为.

18.如图，现有一张矩形纸片其中A3=4cm,8C=6cm,点E是BC中点，

将纸片沿直线AE折叠，使点8落在梯形AECZ)内，记为点3',那么9、C两点之间的距

离是

三、简答题(本大题共5小题)

士=1+^---

19.解方程:

X2—9x—3x+3

x-2y-2=0

20.解方程组：〈

x2+2xy+丁=1

21.如图，四边形A8CO是平行四边形，P是AD上一点，且BP和CP分别平分NABC和

ZBCD,AB=5cm.

(1)求平行四边形ABC。的周长.

(2)如果8P=6cm,求尸C的长.

22.如图，已知点E在四边形4BCZ)的边48上，设AE=a，AD=h>DC=c-

c

(1)试用向量a、b'c表示向量£)£；=，EC=.

(2)在图中求作：DE+EC+AD.(不要求写出作法，只需写出结论即可)

23.某单位举行“健康人生”徒步走活动，某人从起点体育村沿建设路到市生态园，再沿

原路返回，设此人离开起点的路程s(千米)与徒步时间r(小时)之间的函数关系如图所

示，其中从起点到市生态园的平均速度是4千米/小时，用2小时，根据图象提供信息，解

答下列问题.

(1)求图中的。值.

(2)若在距离起点5千米处有一个地点C,此人从第一次经过点C到第二次经过点C,所

用时间为1.75小时.

①求AB所在直线的函数解析式；

②请你直接回答，此人走完全程所用的时间.

四、解答题(本大题共3小题)

24.如图，菱形A8CO的对角线AC,8。相交于点O,E是的中点，点F,G在A8

上，EF上AB，0G//EF.

(1)判断四边形。的形状，并证明.

(2)若AC=8,80=6,求四边形0EFG的面积.

25.如图，在平面直角坐标系中，函数丁=-2*+8的图象分别交x轴，)，轴于4、B两点过

点A的直线交y轴正半轴于点M,且点M为线段。8的中点.

(1)求直线AM解析式.

(2)试在直线AM上找一点P,使得50切=5神。8，请求出点P的坐标.

(3)若点”为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H,使以A、B、

股、，为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请直接写出点，的坐标；若不存在，请说明

理由.

26.如图，在边长为1的正方形ABC。中，动点E、F分别在边A8、CD将正方形

A8CO沿直线EF折叠，使点8的对应点例始终落在边A。上(点M不与点4、。重合)，

点C落在点N处，MN与CD交于点、P,设

(1)当求x的值.

3

(2)随着点M在边A。上位置的变化，△PD0的周长是否发生变化？如变化，请说明

理由；如不变，请求出该定值.

(3)设四边形BEFC面积为S,求S与x之间的函数表达式.

2021学年上海浦东新区上海中学东校、进才实验、进才北

校初二下学期期末

一、选择题（本大题共6小题）

1.下列方程中，有实数解的是（）

23x,____

A.——+3=0B.-----=----C.—1=3D.

x2x-3x-3

x?—3x+5-0

【答案】C

【分析】解方程，验证是否有实数满足等式关系；

2

【详解】A选项：—>0,故方程没有实数解；

X'

B选项：方程两边同时乘以％—3,得到x=3,经检验，x=3不是方程的根；

C选项：x—l=9,x=10,有实数解；

D选项：△=（一3）2-4xlx5=-ll<0,无实数解.

故选：C.

【点睛】本题考查方程解得判断，分式方程通分后要验证根，二次方程可由根的判别式.

2.下列命题中，假命题是（）

A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C.两条对角线相等的平行四边形是矩形

D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

【答案】D

【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题

意；

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意；

C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；

D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，不正确，是假命题，符合题意，

故选D.

【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的

性质，难度不大.

3.某校修建一条400米长的跑道，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成了

任务.设原计划每天修x米，那么根据题意可列出方程（）

400400.400400

A.-----------=2B.-----------=2n

x-10xx+10x

c400400cc400400

C.------------2D.-------------2.

xx-10xx+10

【答案】D

【分析】设原计划每天修x米，根据结果提前2天完成了任务列方程即可.

【详解】设原计划每天修x米，由题意得

4004004

------------=2.

xx+10

故选D.

【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用，解答时根据

条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤.

4.如果AB是非零向量，那么下列等式中正确的是（）.

A.网=网B.AB=BAC.AB+BA=0D.

网+网=0

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算法则逐项判断即可.

【详解】为非零向量，

UlKUIT

・・.AB=BA,故A正确；

AB与BA为相反向量，故B错误；

UUUUU1

A8+6A=0，故C错误；

,/A3为非零向量，

.•.网+网H0,故D错误；

故选A.

【点睛】本题考查向量的线性运算.掌握向量的线性运算法则是解题关键.

5.顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（）

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】A

【分析】顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形

某一条对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等，所以是平行四边形.

【详解】解：如图，连接AC,

•；E、F、G、H分别是四边形ABC£＞边的中点，

C.HG//AC,HG=：AC,EF//AC,EF=：AC；

；.EF=HG且EF〃HG；

：.四边形EFG”是平行四边形.

【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是根据中位线性质证得EF=4G且

EF//HG.

6.从-2,0,1,2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数丫=依+人的系数A,b,

则一次函数、=履+6的图像不经过第四象限的概率是（）

145

A.-B.-D.-

39cI9

【答案】B

【分析】首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一次函数），=&+〃的图

像不经过第四象限的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【详解】解：由题意可得，尸履+8是一次函数,

则心0,

列树状图如下

开始

k：2

b：02-202-201

共有9种等可能情况，

V图像不经过第四象限,

，4>0且bNO,

.•・y=履+方图像不经过第四象限有4种,

：.P=~,

9

故选B.

【点睛】此题考查是用列表法或树状图法求概率与一次函数的性质.注意概率=所求情

况数与总情况数之比，注意掌握一次函数的定义及图像与系数的关系.

二、填空题(本大题共12小题)

7.解关于x的方程方=2+x(a#l),则方程的解是

2

【答案】x=——

。一1

【分析】依据等式的基本性质依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案.

【详解】解：方程移项得：ax-x=2,

合并得：①―l)x=2,

ci—1w0,

解得：X=-^-.

ci—1

故答案为：》=一二.

a-\

【点睛】本题主要考查解一元一次方程的能力，熟练掌握等式的基本性质及解一元一次方

程的基本步骤是解题的关键.

8.无理方程岳石=-x的实数解是.

【答案】-1.

【分析】化为有理方程，再解出有理方程，最后检验即可得答案.

【详解】解：将727+3=-x两边平方得：21+3=小，

整理得/-2年3=0,

解得Xl=3,X2=-l,

当羽=3,左边=12?垢3，右边=-3,

左边彳右边，

.••制=3不是原方程的解，舍去，

当及=-1时，左边=，-1?,右边=1,

...左边=右边，

；.X2=-I是原方程的解，

故答案为：-1.

【点睛】本题考查解无理方程，利用两边平方将无理方程化为有理方程是解题的关键.

9.关于x的方程+81=0的解是

3

【答案】x=—3

【分析】先移项，系数化1,利用开方求出方程的根即可.

【详解】解：移项得：-X5=-81,

3

系数化1：%5=-81x3即/=(-3)5，

开5次方得x=—3.

【点睛】本题考查高次方程的解法，开方法，掌握解方程的方法与步骤，理解开平方，开

立方解方程的方法，探索高次方程的解法是解题根据.

10.一个多边形的内角和是1440°,那么这个多边形边数是.

【答案】10

【分析】利用多边形内角和公式2)求解即可.

【详解】解：假设这个多边形的边数是〃，

则由题意可知：180°(〃-2)=1440。，解得:«=10

故答案为：1O

【点睛】本题考查多边形的内角和公式，熟记内角和公式180°(〃-2)是解本题的关键.

11.已知一次函数y=(攵-2)x+3,若)，值随x值的增大而减少，则k的取值范围是

【答案】k<2

【分析】先根据一次函数的性质得出关于k的不等式，再解不等式即可求出左的取值范

围.

【详解】解：•••一次函数尸(k-2)x+3中，函数值y随自变量x的增大而减小，

：.k-2<0,解得大<2.

故答案为：k<2.

【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题

的关键.

12.直线y=Ax+x+。与y=3x-6平行，将该直线向下平移3个单位长度后经过点

(3,-1)则该函数解析式为.

【答案】y=3x-7##v=-7+3x

【详解】由丁=履+x+8,得y=（Z+l）x+6,

,/y=（左+l）x+〃与直线y=3x-6平行，

；.%+1=3,解得k=2,

.•.直线解析式为：y=3x+h,

；直线y=3x+b向下平移3个单位长度后的解析式为：y=3x+b-3,

将点（3,—1）代入得，9+人一3=—1,解得，b=-7,

所以该函数解析式为：y=3x—7.

故答案为：y=3x—7

【点睛】本题考查了根据条件求一次函数解析式，掌握两条直线平行则对应的函数解析式

中的一次项系数相等是关键.

13.如图，直线4：y=x+l与直线4：y=如+〃相交于点P（l,2）,则关于X的不等式

【分析】不等式的解集即为直线4在直线上方时X的取值范围，因而根据图像即可完

成.

【详解】根据图像可知，当XN1时，直线4在直线，2上方

所以％+1之〃优+〃的解集为xNl

故答案为：X>1

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，注意数形结合.

14.口袋里只有10个球，其中有个无红球，y个白球，这些球除了颜色不同之外，其余均

相同.从中随意摸出一个球，若摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，则X的可能值

为.

【答案】6或7或8或9

【分析】根据口袋里只有10个球，列出方程％+y=10,从中随意摸出一个球，摸到红

球的可能性点大于摸到白球的可能性得出捻>力，即*>y，丁>°，列一元一次

不等式2x>x+y=10,得出45即可.

【详解】解：口袋里只有10个球，其中有x个红球，y个白球，

/.x+y=1(),

从中随意摸出一个球，摸到红球的可能性上大于摸到白球的可能性上,

1010

即x>y,y>0,

1010

2x>x-\-y=10,

/.x>5

则X的可能取值为X=6或7或8或9.

故答案为：6或7或8或9.

【点睛】本题考查概率，二元一次方程，一元一次不等式，掌握概率，二元一次方程，一

元一次不等式是解题关键.

15.已知梯形的上、下底长分别为6,8,一腰长为7,则梯形另一腰长。的取值范围是

【答案】5<a<9.

【分析】通过平移腰可得：两底边之差和两腰构成三角形，则根据三角形三边之间的关系

可以进行求解.

【详解】解：如图，根据题意得：AD=6,8C=8,CD=1,AB=a,

过点A作AE〃CQ,交BC于点E,

'.,AD//BC,

二四边形4ECO是平行四边形，

：.CE=AD=6,AE=CD=1,

：.BE=BC-CE=8-6=2,

的取值范围是：5<a<9

故答案为：5<«<9.

B

【点睛】此题考查了梯形的性质、三角形三边关系以及等腰梯形的判定.此题难度适中，

注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

16.直角梯形ABC。中，AD//BC,ABLBC,E点是CO边上的中点，且满足

AB^AD+BC,BE=3,则梯形的面积为.

【答案】9

【分析】连接AE,过E作EFNBC交AB于点F,先证明EF=g(AD+BC),由垂直

平分线的性质，得到A£=BE=3,然后由勾股定理求出AB=3血，再求出梯形的面积

即可.

【详解】解：连接AE,过E作石尸48c交A8于点F,

/.点尸是A8的中点，EF是梯形ABCD的中位线，

故EF=g(A£>+BC),

又•:BC1AB,

尸是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得：AE=BE=3,

■：AB^AD+BC,EF=g(AO+6C)=；A6,

AA3E是等腰直角三角形.

由勾股定理得：AB=y/AE2+BE2=>/32+32=3及>

即AO+5C=30，

S梯形AB6=；(AO+BC>A6=g(AD+8C>(AO+BC)=gx30x3^=9・

【点睛】本题考查了垂直平分线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关

键是正确的作出辅助线，从而进行解题.

17.当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边

形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”.如果凸四边形ABCD

是“等腰四边形”，对角线8。是该四边形的“等腰线”，其中N4BC=90。，AB=BC=

CD^AD,那么NBA。的度数为.

【答案】75。

【分析】根据“等腰四边形”定义画出图形，对角线BD是该四边形的"等腰线"，所以

△CBD和△A8D为等腰三角形，由于AB^BC=CD/AD,所以△A8。中分两种情形进行讨

论即可；

【详解】解：•••凸四边形ABCD是"等腰四边形”，对角线B。是该四边形的"等腰线"，

.•.△CBD和△A8D为等腰三角形.

由于A8MD,ZXAB。中分两种情形：①AB=BD,②AD=BD.

当①=时，如下图：

BC=CD=BD.

...△8DC为等边三角形.

：.ZDBC=60°.

ZABC=90°,

：.ZABD=30°.

：AB=BD,

1800-30°

；.NBAD=NBDA==75°.

2

当②AD=8。时，如下图,

过点。作DE_LA8,过点。作DFLCB,交CB延长线于点F,

"：AD=BD,DELAB,

'：DEIAB,DF_LCB,ZABC^90°,

.•・四边形EBFD为矩形.

DF=BE=]AB.

；A8=CD,

：.DF=^CD.

在RtZ\DCF中，sinZDCF=——=-,

CD2

ZDCF=30Q.

'：BC=CD,

ZDCF

NDBC=NBDC=------=15°.

2

NA8c=90°,

ZABD=75°.

'：AD=BD,

：.ZBAD^ZABD=75°.

综上，NBAD=75°.

故答案为：75°.

【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合等边三角形、矩形的性质求解是解题的关键.

18.如图，现有一张矩形纸片A8CZ),其中A6=4cm,BC=6cm,点E是BC的中点，

将纸片沿直线AE折叠，使点8落在梯形4ECD内，记为点"，那么B'、C两点之间的距

离是

【分析】如图所示：过点8'作垂足为F,连接B'C，设AE与88'交于点

O,由折叠的性质可得OB=08'，AE±BB-先求出BE=3cm,利用勾股定理求出

1224

AE=5cm,利用三角形面积公式求出08=《cm,则68'=彳5,设ER=xcm,

在肋中，B'F2=BB'2-BF2-在中，B'F2=B'E2-EF2则

2

|-（3+x）2=32-x2,解得％=红，则£7、&■cm,BF=—cm,

Iv'252525

B'F=>jBB'2-BF2=—cm,CFBC-BFcm,在中,

25

18

B'C=ylB'F2+FC2—cm•

5

【详解】解：如图所示：过点B'作垂足为尸，连接B'C，设4E与〃5'交于

点O,

由折叠的性质可得03=QB'，AE±BB-B'E=BE=?>cm

•.,点E是8C的中点,

BE=—BC=—x6=3cm，

22

在向△ABE中，AE=VAB2+BE2=732+42=5cm-

=-ABBE^-AEOB

ZA/VD£>22

ABBE12

OB—--cm,

AE5

24

:.BB'=—cm,

5

设EF=xcm,

在RtABB'F中,B'F2=BB'2-BF2,

在RfAB'EF中,B'F2=B'E2-EF2^

•••BB'2-BF2=B'E2-EF2>

2

(24

I-(3+x)2=32-X\

解得无=m

25

EF=—cm,

25

：.BF^—cm,

25

B'F=y]BB'2-BF2=—cm,CF^BC-BF^—cm

7254

在心△B'FC中，B'C=\lB'F2+FC2

2525

故答案为：~cm.

【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键.

三、简答题(本大题共5小题)

【答案】x=l

【分析】因式分解V-9=(x+3)(x-3),确定最简公分母，化分式方程为整式方程求解

【详解】解：方程两边同乘以(x+3)(x-3)得：

4尤=炉-9+2(x+3)-2(x-3),

整理得：/-我+3=0,

解得：4=1,x?=3,

经检验：々=3是原方程的增根，

所以，原方程的解为x=L

【点睛】本题考查了分式方程的解法，通过因式分解确定最简公分母，化成整式方程求解

是解题的关键，注意验根是防止出错的根本.

x—2y—2-0

20.解方程组：，

x2+2xy+y2=1

【答案】《，或〈,

y=-1y=-1-

I3

【分析】利用完全平方公式对二元二次方程进行因式分解，得到两个二元一次方程，分别

与原方程组中的第一个方程构成两个二元一次方程组，即可得到方程组的解.

X-2丫-2=0①

【详解】解：方程组：〈

%2+2xy+V=1②

由方程②得：(x+y)2=l,

.1x+y=1,或x+y=-1,

x-2y=2x-2y=2

即组成方程组《,或，

Ix+y=\x+y=-1

4

x=—

3-x=0

解这两个方程组得：1或《

〔y=T

y=一一

3

4

x--

x=03

即原方程组的解为：＜,或，

y=-l1

y=一一

3

【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，关键在于通过因式分解把二次方程组化为二

元一次方程组.

21.如图，四边形ABCQ是平行四边形，P是AO上一点，且BP和。尸分别平分NABC和

/BCD,AB=5cm.

(1)求平行四边形ABC。的周长.

(2)如果BP=6cm,求PC的长.

【答案】(1)30cm

(2)8cm

【分析】(1)根据角平分线可得NA8P=NCBP,ZBCP=ZDCP,由平行线的性质及

等量代换得出NABP=NAPB，/DCP=4CPD,依据等角对等边可得AB=AP=5

cm,DP=CD^5cm,即可求出平行四边形的周长；

(2)由(1)可得NABP=NCBP,ZBCP=ZDCP,利用平行线的性质得出

ZABC+ZBCD=180°,结合各角之间的数量关系可得ZBPC=90°,在直角三角形中利

用勾股定理即可得出结果.

【小问1详解】

解：・；BP、CP平分NA8C,ZBCD,

ZABP=NCBP,NBCP=/DCP,

AD//BC,

ZAPB=ZCBP,ZBCP=NCPD,

ZABP=ZAPB，4DCP=NCPD,

AB=AP=5cm,DP=CD=5(cm)

/.BC=AD=AP4-DP=10(cm),

.•.平行四边形的周长为：2(AB+AO)=2xl5=30(cm)：

【小问2详解】

解：由(1)可得Z43P=NCBP，ZBCP=ZDCP，

•：AB//CD,

：.ZABC+ZBCD=]SO°,

：.NCBP+NBCP=g(NABC+NBCD)=90°,

，ZBPC=90°,

；.在RtABPC中,BP=6cm,

•*-PC=y/BC2+BP2=7102-62=8(cm)•

【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，等角对等边及勾股定理解三角形，三角形内角

和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.

22.如图，已知点E在四边形ABC。的边AB上，设AE=a，AD=b<DC=c.

c

(2)在图中求作：DE+EC+AD-(不要求写出作法，只需写出结论即可)

【答案】(1)a-b>c—a+b

(2)见解析

【分析】(1)由AE=a，AD=b，DC=c，直接利用三角形法则求解，即可求得答

案；

(2)由三角形法则可得：DE+EC+ADDC-DA^AC'继而可求得答案.

【小问1详解】

解：VAE=a>AD=b，DC=c，

•••DE=AE-AD^a-h^

EC=DC-DE=c-{a-b^=c-a-\-b.

故答案为：a-b；c-a+b；

【小问2详解】

解：DE+EC+AD=DE+EC-DA=DC-DA=AC-

如图：AC即为所求.

【点睛】此题考查了平面向量的知识.注意掌握三角形法则的应用.

23.某单位举行“健康人生”徒步走活动，某人从起点体育村沿建设路到市生态园，再沿

原路返回，设此人离开起点的路程s(千米)与徒步时间f(小时)之间的函数关系如图所

示，其中从起点到市生态园的平均速度是4千米/小时，用2小时，根据图象提供信息，解

答下列问题.

(1)求图中的〃值.

(2)若在距离起点5千米处有一个地点C,此人从第一次经过点C到第二次经过点C,所

用时间为1.75小时.

①求AB所在直线的函数解析式；

②请你直接回答，此人走完全程所用的时间.

【答案】(1)a=8；(2)①s=-3f+14；②/=—.

3

【分析】(1)根据路程=速度x时间即可求出a值；

(2)①根据速度=路程+时间求出此人返回时的速度，再根据路程=8-返回时的速度x时间

即可得出AB所在直线的函数解析式；

②令①中的函数关系式中s=0,求出t值即可.

【详解】(1)a=4x2=8.

8-5

(2)①此人返回的速度为(8-5)+(1.75-----)=3(千米/小时)，

4

4B所在直线的函数解析式为s=8-3(r-2)=3f+14.

14

②当s=-3/+14=0时，t=—.

3

答：此人走完全程所用的时间为7小时.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据路程=速度X时间求出a

值；（2）①根据路程=8-返回时的速度x时间列出s与t之间的函数解析式；②令s=0求出t

值.

四、解答题（本大题共3小题）

24.如图，菱形ABCD的对角线AC,BQ相交于点O,E是的中点，点F,G在AB

上，0G//EF.

（1）判断四边形0EFG的形状，并证明.

（2）若AC=8,BD=6,求四边形0EFG的面积.

【答案】（1）矩形，证明见解析

（2）6

【分析】（1）由三角形中位线定理可得4E=L>E,OE//AB,由矩形的判定可求解；

（2）由勾股定理可求AB的长，得到A。、A£的长，再由中位线定理求得。爪FG的长，

在RdAEF和放△08G中，由勾股定理£7尸=4后2-4尸2,OG?=OB?-BG?,利用

EF=OG得到8G方程，求得BG,进一步得到0G的长，利用矩形面积公式，即得答案.

【小问1详解】

解：四边形OEFG是矩形.

证明如下：

；四边形ABC。是菱形，

：.DO=BO,

是AD的中点，

：.AE=DE,0E是AAB力的中位线

C.OE//AB,

：.OE//FG,

又：OG//EF,

四边形OEFG是平行四边形.

'：EFrAB,

AZEFG=90°,

，四边形OEFG是矩形.

【小问2详解】

解：•.•四边形4BCD是菱形

ACA.BD,

OB=OD=-BD=3,

2

QA=OC=1AC=4,

2

AB=AD，

：./AOB=90°

△AOB是直角三角形

由勾股定理得

AB=y]oA1+OB2=A/42+32=5'

**-AD=AB=5，

YE是AO中点，

:.AE=-AD=-，

22

,：OD=OB,E是A。中点，

；.OE是△ABO的中位线

：.OE=-AB^-,

22

,四边形OE/G是矩形，

AFG=OE=~,ZEFG=ZOGF=90°,EF=OG,

2

ZEFA=ZOGB=90°,

/?/△AEF和OBG中,

由勾股定理得

EF-=AE2-A尸2,OG2=OB2-BG?，

•••AE2-AF2=OB2-BG2>

<5A2(5f

即一-5——BG=32-BG2,

⑶I2

9

解得BG=M

•,^mK.oEFG=OEOG=—x—=6.

【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定和

性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

25.如图，在平面直角坐标系中，函数y=-2x+8的图象分别交x轴，y轴于A、8两点过

点A的直线交y轴正半轴于点M,且点M为线段0B的中点.

（1）求直线AM的解析式.

（2）试在直线AM上找一点P,使得，请求出点P的坐标.

（3）若点”为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H,使以4、B、

例、，为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请直接写出点”的坐标；若不存在，请说明

理由.

【答案】（1）y=-x+4

（2）片（48）,5（12,-8）

⑶存在，”（6,2）,（4,8）,（£,-胃，仁片）

【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A,8的坐标，由点M为线段02

的中点可得出点M的坐标，根据点A,M的坐标，利用待定系数法即可求出直线AM的函

数解析式；

（2）利用平行线间的距离处处相等，过0作直线4〃A3,耳为人与AM交点，由点P

到直线AB的距离等于点0到直线A8的距离，求出4的表达式，与直线AM的表达式联立

求出交点即，再利用平移求出另一个点的坐标；

（3）分情况讨论，作出不同的辅助线，求出对应点，的坐标即可.

【小问1详解】

解：：y=-2x+8交x轴于4,

—2.x+8=0»解得x=4,

A（4,0）,

•；y=-2x+8交y轴于3,

.•.当x=0时，y=—2x+8=8

.•.8（0,8）,

为OB中点，

AM（0,4）,

设力”=区+人过A（4,0）,M（0,4）,

U=4K+〃

得到｛』’解得

b=4

/.直线AM的解析式是y=-x+4.

【小问2详解】

解：过O作直线4〃AB,［为4与AM交点，如图1,

•••点P\到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离

・・此时S&AOB=528产，

设直线4：y=&］X,

・・・l,//AB,

・*.k、=—2

，/［：＞=-2x,

V直线AM的解析式是y=r+4

，-2x=-x+4,解得x=-4,

此时y=-2x=8

.•・[(Y,8),

由4:y=-2x是直线AB：y=—2x+8向下平移8个单位得到的,

把直线AB:y=-2x+8向上平移8个单位得到4:y=-2x+16

交直线AM于尸2，此时SZMOB=S4ABP'

.,•由—2x+16=—x+4,得x=12,

^(12,-8).

综上所述，点P的坐标为6(T,8),鸟(12,-8)

【小问3详解】

解：①过点8作过点A作于点H,如图2,

如图，则NM4H=N"=90°，

设直线表达式为：y=k2x+m

■:BH//AM

&=­1

•.•直线经过点3(0,8)

/­m-8

直线BH的表达式为y=-x+8,

设直线AH的表达式为y=k3x+n,

AH±AM，

匕x(-l)=(-l),得到%=1，

又。.•直线4H过点A(4,0)

/.0=4勺+n,解得n=~4

，直线AH的表达式为y=x-4,

y=-x+8x=6

由「y=x.4解得）=2

，此时点〃的坐标为（6,2）；

②过点A作A/7〃6M，作垂足为点”，则NMBH=N"=90°,如图3,

VA（4,0）,3（0,8）,

此时点”的坐标为（4,8）,

③过点M作AB的平行线，分别过点A、B向AB的平行线作垂线，垂足分别为如、H，,

如图4,此时NH|==90。，

设直线的表达式为y=k4x+p

•/MHtAB

/.匕=-2

•.•直线MM经过点“（0,4）

p=4

直线MH\的表达式为y——2