考点23 矩形与正方形（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳

考点23矩形与正方形

在命题趋势

矩形和正方形是特殊平行四边形中比较重要的两个图形，也是几何图

形中难度比较大的几个图形之一。其中，矩形还经常成为综合压轴题的问题

背景来考察，而矩形其他出题类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较

大，需要加以重视。正方形单独考察的较少，但是出现时也基本都是选择题

的压轴题，难度也较大。所以考生在这块知识点的复习上，必须都要特别的

重视，不仅要熟练掌握矩形、正方形的性质与判定，还要重点关注两图形附

带的转化思想的考察和举一反三。

*知识导图

一、矩形的性质

二、矩形的判定

三、正方形的性质和判定

四、各四边形间的常见转化

考向一：矩形的性质

矩形的对边平行且相等

矩形的矩形的四个角都是直角

性质矩形的对角线相等且互相平分

矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形

声一-----由

典恻引裾

1.下列性质中，矩形不一定具有的是（

A.对角线互相垂直B.对角线相等

C.对角线互相平分D.邻边互相垂直

【分析】根据矩形的性质判断即可.

【解答】解：；矩形的对角线互相平分且相等，邻边互相垂直，但矩形的对角线不一定

垂直，

.••矩形不定具有的是对角线互相垂直，

故选：A.

2.如图，E,F,G,4分别是矩形A8C。四条边上的点，已知EF_LGH,若48=2,BC=

A.3：2B.2：3C.4：9D.9：4

【分析】过点“作垂足为M,过点尸作垂足为M设HM,FE交

于点0,再证明△MHGs/XNFE,根据相似三角形的性质即可求解.

【解答】解：过点“作垂足为M,过点尸作FNLAD,垂足为N,设HM,

FE交于点0,则MH=BC,

:.NENF=ZGMH=90°,

'：EF±GH,

：.NGHM+NH0E=NEFN+NFOM=90°,

又,：4H0E=4F0M,

：.NGHM=NEFN,

：./\MHGsANFE,

：.EF：GH=NF：HM=AB：BC=2：3.

故选：B.

3.如图，在等边△ABC中，CDLAB,垂足为Q,以A。，CO为邻边作矩形AOCE,连接

BE交CD边于点F,则cos/CBE的值为（）

A.B.yV?c.-^V21D.-yV21

【分析】过点E作EH_L8C,在等边AABC中设边长为a,利用等边三角形的性质和矩

形的性质表示出EC,8c的长度，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得C”,

EH,3E的长度，再利用直角三角形的边角关系定理即可求得结论.

【解答】解：过点E作交8c的延长线于点”，如图，

在等边aABC中设边长为a,

,：CD1.AB,AC=AB=BC^a,

'.AD=BD=^-a,

2

•••四边形4OCE为矩形，

；.EC=CO=L,ZDCE=90°.

2

,/ZVIBC为等边三角形，

：.ZBAC=60°,ZBCD=AZ£?AC=30°,

2

/.ZECH=60°.

■:EH工BC,

：.CH=EC*cos60Q=工，E//=EC-sin60°=®a

44

8H=BC+CE=a+L=2.

44

•••B£=VBH2+EH2=^Z-

5__

.•.cosNC8E=图=4=r艮

BEV7_14

2a

故选：A.

4.如图，矩形ABC。的对角线AC,BO相交于点。，过点。作OELBO,交8C于点E,

若C0=V3.CE=1,则BE的长为2.

【分析】利用矩形的性质先求得AC=2«，NEBO=NACB,再证明△BOES/XCBA,即

可得解.

【解答】解：•••四边形A8CD是矩形，

：.OA=OC,OB=OD,AC=BD,NABC=90°,

•■•OA=OB=OC=OD=V3.

，AC=2«，ZEBO=ZACB,

\'OE±BD,

；.NBOE=/CBA=90°,

:.丛BOEs^CBA,

•OB_BE耳］_BE

"BC"AC'BE+1"2V3'

解得BE=2或B£=-3（舍去），

故答案为：2.

5.如图，在长方形ABC。中，48=4厘米，BC=6厘米，点E在边BC上且BE=2EC,动

点尸从A点出发，先以每秒1厘米的速度沿A-8运动，然后以每秒2厘米的速度沿8

-C运动，再以每秒1厘米的速度沿C-D运动，最终到达点。.设点P运动的时间是/

秒，那么当f=2或」包或生时，三角形APE的面积等于5平方厘米.

-2-4-2―

【分析】由题意可得8£=4厘米，EC=2厘米，再分四种情况：①当点P在边48上时;

②当点P在边2c上，且在点E右侧时；③当点P在边BC上，且在点E右侧时；④当

点P在边C力上时.根据三角形APE的面积等于5平方厘米分别列出方程，求解即可.

【解答】解：；BC=6厘米，BE=2EC,

厘米，£C=2厘米，

①如图，当点尸在边A8上时，”=7厘米（0＜忘4）,

AP，BE=X4=5,

SAAPE4f

BE

解得:/=§；

2

②如图，当点P在边BC上,且在点E左侧时，PE=4-2(r-4)=(12-2/)厘米(4

VW6),

SAAPE4PE，AB=I^X4=5,

解得：

4

③如图，当点P在边BC上，且在点E右侧时，PE=2(/-4)-4=(2/-12)厘米(6

4W7),

SAAPE4PE'AB=^1X4=5,

解得：，=空＞7,不符合题意，舍去;

4

④如图，当点P在边CQ上时，CP=(z-7)厘米，DP=4-(r-7)=(11-f)厘米

S4ApE=S长万彩ABCD-(SMUE+S^PEC+SMDP)

=AB'BC-(yBE-AB+|cE'CP+yAD'DP)

=4义6-(yX4X4-+^X2-^1^X6)

=2t-10,

则2t-10=5,

解得：♦=生.

2

综上，当f=$或型或生时，三角形APE的面积等于5平方厘米.

242

故答案为：金或」包或生.

242

考向二：矩形的判定

有一个角是直角的平行四边形是矩形

矩形的有三个角是直角的四边形是矩形

判定四个角都相等的四边形是矩形

对角线相等的平行四边形是矩形

对角线相等且互相平分的四边形是矩形

拓展矩形的面积等于两邻边的积

典例引4s

1.如图，已知平行四边形ABC。的对角线AC与8。相交于点。，下列结论中，不正确的

是（）

A.当ABLA。时，四边形ABCQ是矩形

B.当ACJ_BO时，四边形A8CZ）是菱形

C.当04=08时-，四边形ABCO是矩形

D.当AB=AC时，四边形ABCD是菱形

【分析】利用矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正

确的选项.

【解答】解：A.'：ABLAD,

；.NBAD=90°,

平行四边形ABC。是矩形，

故结论正确，但不符合题意；

B.'：ACLBD,

平行四边形A8c。是菱形，

故结论正确，但不符合题意；

C.•..四边形ABCD是平行四边形，

；.AO=-1AC,BO=LBD,

22

又：OA=O2,

：.AC=BD,

.♦.平行四边形A8CO是矩形，

故结论正确，但不符合题意；

D.当A8=AC时，四边形A8CD不一定是菱形，

故结论错误，符合题意.

故选：D.

2.如图，在平行四边形ABC。中，M、N是8。上两点，BM=DN,连接AM、MC、CN、

NA,添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（)

A.MB=MOB.OM=^ACC.BD1ACD.ZAMB=ZCND

2

【分析】由平行四边形的性质可知，OA=OC,OB—OD,再证OM=OM则四边形4WCN

是平行四边形，然后证MN=AC,即可得出结论.

【解答】解：添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OM=AC,理由如下:

四边形ABCD是平行四边形,

：.OA=OC,OB=OD,

•.,对角线上的两点M、N满足BM=DN,

：.0B-BM=OD-DN,

即OM=ON,

：.四边形AMCN是平行四边形，

•：OM=1AC,

2

：.MN^AC,

.••四边形AMCN是矩形.

故选：B.

3.四边形A8GD的对角线相交于点。，且OA=OB=OC=OO,ZAOB=60Q,则A8：AC

=1：2.

【分析】求出AC=8。，根据矩形的判定得出即可，求出△A03是等边三角形，求出A8

=A0,即可得出答案.

【解答】解：

*：OA=OB=OC=OD,

：.AC=BD,

・•・四边形48co是矩形；

VZAOB=60°,OA=OB,

/-Z\AO8是等边三角形，

:.AB=AO=BO=1AC,

2

：.AB：AC=1：2,

故答案为：1：2.

4.如图，平行四边形A8CQ中，AB=6cm,BC=\0cm,NB=60°,点G是CQ的中点,

点E是边上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点片连接CE,DF.

(1)求证：四边形CED尸是平行四边形;

(2)①直接写出：当AE=4cm时,四边形CE£>F是菱形(不需要说明理由);

②当时，四边形CED尸是矩形，请说明理由.

【分析】(1)证△CFG丝△EQG,推出FG=EG,根据平行四边形的判定推出即可;

(2)①证△CDE是等边三角形，推出CE=3E,再根据菱形的判定推出即可.

②求出△MBA丝推出/CEO=NAMB=90°,再根据矩形的判定推出即可.

【解答】(1)证明：•••四边形48C。是平行四边形，

.,.BC//AD,

:"FCG=NEDG,

；G是CO的中点，

：.CG=DG,

在△CFG和△OEG中，

rZFCG=ZEDG

-CG=DG，

ZCGF=ZDGE

，△CFG和△OEG(ASA),

:.FG=EG,

又,：CG=DG,

二四边形CEDF是平行四边形.

(2)解：①当AE=4c/w时，四边形CE。厂是菱形，理由如下：

；四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=]0cm,CD=AB=6cm,NCDE=NB=60°,

AE=4cm,

：.DE=AD-AE=6cm9

:・DE=CD,

•••△8E是等边三角形，

:・CE=DE,

・・•四边形CED尸是平行四边形,

平行四边形CED厂是菱形，

故答案为：4；

②当AE=7时，平行四边形CEDF是矩形，理由如下:

如图，过4作AM_LBC于M,

•.•/8=60°,AB=6cm,

：.BM=lAB=3cm,

2

"：AE=lcm,

：.DE^AD-AE=3cm=BM,

在△MB4和△££>(7中，

<BM=DE

•ZB=ZCDA>

AB=CD

:.丛MBA迫XEDC(SAS),

...NCEO=/4WB=90°,

•••四边形CEDF是平行四边形,

平行四边形CEDF是矩形，

故答案为：7.

考向三：正方形

正方形的性质正方形具有矩形、菱形的一切性质

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形

正方形的判定有一组邻边相等的矩形是正方形

有一个角是直角的菱形是正方形

对角线相等且互相平分的四边形是正方形

拓展正方形的问题通常转化为等腰直角三角形的问题来探究

___y

典例引颔

1.卡列铺法错板的是（）

A.有一个角为直角的菱形是正方形

B.有一组邻边相等的矩形是正方形

C.对角线相等的菱形是正方形

D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

【分析】正方形：四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等，且互相垂直平分的平

行四边形；

菱形：四条边都相等，对角线互相垂直平分的平行四边形：

矩形：四个角都相等，对角线相等的平行四边形.

【解答】解：4、有一个角为直角的菱形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则

该菱形是正方形.故本选项说法正确；

8、有一组邻边相等的矩形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角.则该矩形为正方

形.故本选项说法正确；

C、对角线相等的菱形的特征是：四条边都相等，对角线相等的平行四边形，即该菱形为

正方形.故本选项说法正确；

对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.故本选项说法错误；

故选：D.

2.如图，以正方形A8CC的边AB为一边向外作等边△ABE,则的度数为()

【分析】根据正方形的性质得出/D48=90°,AD=AB,根据等边三角形的性质得出N

AE8=NE48=60°,求出AE=4力，求出180°-ZDAE)

2

=15°,再求出答案即可.

【解答】解：..•四边形4BCO是正方形，

AZDAB=90°,AD=AB,

△4BE是等边三角形，

AZAEfi=ZEAB=60°,AE=AB,

：.AE=AD,

：.ZAED^ZADE^^.(1800-ZDAE)=工X(180°-90°-60°)=15°,

22

AZAEB-ZAED=60°-15°=45°,

故选:B.

3.如图，四边形ABC。、CEFG均为正方形，其中正方形CE/G面积为36a»2,若图中阴

影部分面积为10。层，则正方形ABCO面积为()

EF

A,/D\

BCG

A.6B.16C.26D.46

【分析】根据正方形的性质与三角形的面积公式得出：阴影部分面积=上(CE2-8C5),

2

便可求得结果.

【解答】解：..•阴影部分面积=2OEX(8C+CG),

2

阴影部分面积=2_X(CE-DC)(BC+CG)(C£2-BC2),

22

正方形CEFG面积为36C〃?2，图中阴影部分面积为1Ocm2,

：.10=Ax(36-S正方形ABCD),

2

•,•5正方%A8c0=16，

故选：B.

4.如图，E、F分别是正方形ABC。的边C。、A。上的点，且CE=Z)F,AE、BF相交于点

O,下列结论：①AE=B尸；@AE±BF；③AO=OE；④S^AOB=S四边形DEOF,其中正确

【分析】根据正方形的性质可得N8AF=NO=90°,AB=AD=CD,然后求出A尸=DE,

再利用“边角边”证明aABF和△D4E全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF,

从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得NA8F=NDAE,然后证明/A8"

ZBAO=90°,再得到/AO8=90°,从而得出AELBF,判断②正确；假设AO=OE,

根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=BE,再根据直角三

角形斜边大于直角边可得8E>BC,即8E>A8,从而判断③错误；根据全等三角形的面

积相等可得SAABF=S.DE,然后都减去△AOF的面积，即可得解，从而判断④正确.

【解答】解：•••四边形A8C。是正方形，

；.NBAF=ND=90°,AB^AD^CD,

,:CE=DF,

：.AD-DF=CD-CE,

即AF=DE,

在△A8F和△〃£中，

AB=AD

<ZBAF=ZD«

AF=DE

...△A8/WZXD4E(SAS),

：.AE=BF,故①正确；

ZABF=ZDAE,

'：ZDAE+ZBAO=90°,

：.ZABF+ZBAO=90°,

在△A50中，/AOB=180°-CZABF+ZBAO')=180°-90°=90°,

：.AELBF,故②正确；

假设AO=OE,如图，连接BE,

"：AELBF（己证），

：.AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）,

•在RtZXBCE中，BE>BC,

：.AB>BC,这与正方形的边长A8=8C相矛盾，

所以，假设不成立，AO^OE,故③错误：

•・SAABF=S&DAE,

S^ABF~SmOF=S&DAE~S^AOF>

即SA.AOB=S/边彩DEOF,故④正确；

综上所述，正确的有①②④.

故选：D.

5.如图，正方形438的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连结G4,则线段G4的

D.10-5加

【分析】延长8G交C”于点E,根据正方形的性质证明可得

GE=BE-BG=2、HE=CH-CE=2.ZHEG=90°,由勾股定理可得G”的长.

【解答】解：如图，延长BG交CH于点E,

"：AB=CD=\O,BG=DH=6,AG=CH=S,

：.AG2+BG2^AB2,

：./XABG和△OS是直角三角形，

在△4BG和△C£>”中，

'AB=CD

<AG=CH-

BG=DH

.♦.△ABG丝△CDHCSSS),

.*.ZI=Z5,Z2=Z6,NAG8=NC4D=90°,

.,.Zl+Z2=90°,N5+N6=90°,

；N2+/3=9O°,/4+N5=90°,

.••Z1=Z3=Z5,Z2=Z4=Z6,

在△ABG和△BCE中,

'/1=/3

<AB=BC，

Z2=Z4

:.AABG名ABCE(ASA),

：.BE^AG=i,CE=BG=6,NBEC=/4GB=90°,

:.GE=BE-BG=8-6=2,

同理可得HE=2,

在RtAG/ZE中，6"=五岳2+随2={22+22=2&,

故选：B.

6.如图，锐角△ABC中，ZBAC=45°,A。是BC边上的高，BD=2,8=3,则AO=

【分析】作△ABC的外接圆，过圆心。作OELBC于点E,作OFJ_AC于点F,连接

04、08、0C.利用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求

得OE=。凡在等腰RtZkBOE中，利用勾股定理得到0E=。尸，进而求解.

【解答】解：如图，作△ABC的外接圆，过圆心。作OEJ_BC于点E,作OFLAO于点

F,连接。4、OB、0C,

VZBAC=45°,

：.ZBOC=90°，

在RtZ\30C中，BD=2,CD=3,

，8C=2+3=5,

:.BO=CO=^J^-,

2

'JOELBC,。为圆心，

.•.BE=LC=9,

22

在RtZ\80E中，80=-§亚，BE=S,

22

：.0E=8E=5,

2

:NOED=NEDF=NOFD=90°,

四边形。口)F是矩形，

：.DF=OE=^-,OF=DE=BE-BD=*-2=1,

222

在RtZ\4。尸中，40=殳巨，OF=X,

22

AF=22

-VAO-OF=-j"

：.AD=AF+DF=l-+^.=6.

22

故答案为：6.

7.如图，以△ABC的两边AB,AC为边向形外作正方形A8EF,ACGH,则称这两个正方

形为外展双叶正方形.有以下5个结论：①AABC面积与△A"/面积相等.②过点A作

边BC的垂线交FH于点D,则FD=HD.③0为边BC的中点，0A延长线与HF交于

点P,则AP_LHF且HF=2A0.④连接FC、HB相交于点R,则FC=HB且FCA.HB.⑤

连结EG,S为EG的中点，则SB=SC且SB_LSC.其中正确的结论是①②③④⑤(填

序号).

【分析】①作CM_LA8,作HN1FA,证明△AMCgZVlNH(AAS),推出CM=HN,由

三角形面积公式即可判断；

②作出图2的辅助线，证明△AKB也△尸小CAAS),推出AK=FT,得到fT=”Q,再证

明△7TO/(AAS),即可判断；

③作出图3的辅助线，证明△80LgZ\C04(S4S),再证明△力比丝(&4S),即可

判断；

④作出图4的辅助线，证明△MC四△BA”(SAS),推出FC="B,ZAFC^ZABH,再

证明/8RW=90°,即可判断;

⑤作出图5的辅助线，证明丝AGSC(SAS)和△BE/丝△54C(SAS),推出//BC

=90°,再根据直角三角形的性质即可判断.

【解答】解：①如图1,过点C作C用，A8于点例，过点，作4N，项的延长线于点M

则NAMC=NN=90°,p

•.•四边形ABEF和四边形ACG”都是正方形，

.,.NB4F=NC4H=90°,AB=AF,AC^AH,f/

：.ZBAC+ZFAH=3600-ZBAF-ZCAH=360°-90°-90°=180°,/''

又ZHAN+Z阳//=180°,

:.NBAC=NHAN(同角的补角相等)，

在△AMC和△ANH中，

<ZAMC=ZN=90°

<ZBAC=ZHAN，

AC=AH

.♦.△AMC丝△ANH(A4S),

，CM=HN,

又'&ABC十BCrs△虹H=1AFHN，且3",

.••△ABC面积与△入产，面积相等，故①正确；

②如图2,过点A作BC的垂线交F”于点。，设垂足为K,过点”作"QLA。于点Q,

过点尸作尸TJ-4D的延长线于点T,则NAK8=N4KC=/HQD=/，24=/T=9(r,

；NBAF=90°,ZT=90°,

QQ

：.ZKAB+ZTAF^90,ZTFA+Z7AF=90,FJ)

.../KAB=/77%(同角的余角相等)，

在△AKB和中，\

'/AKB=/T=90。

<ZKAB=ZTFA，B图f

AC=AH

.\/\AKB^/^FTA(AAS),

：.AK=FT,

同理可证HQ=AK,

：.FT=HQ,

在和△Q"力中，

'/T=NHQD=90°

<ZTDF=ZQDA，

FT=HQ

:.△TFD9XQHD(AAS),

：.FD=HD,故②正确；

③如图3,延长A。至3使LO=AO,连接8L,则AL=2A。，

为边3c的中点，

在△BOL和aCOA中，卜/

，OB=OC

-ZBOL=ZCOA>

LO=AO图,

:.△BOU^XCOA(5AS),

：.ZL=ZCAO,BL=AC,

J.BL//AC,

：.ZABL+ZBAC=\SO°,

由②得/8AC+/项H=180°,

ZABL=ZFAH,

•.血=AC,AC^AH,

:,BL=AH,

在△A8L和△欣，中，

，AB=AF

-ZABL=ZFAH-

BL=AC

」.△ABL丝△砌〃(SAS),

：.AL=HF,ZBAL=ZAFH,

VZBAF=90°,

：.ZBAL+ZFAP=90a,

...NFB4=180°-(ZAFH+ZFAP)=180°-90°=90°,

J.APLHF,

\'AL=HF,AL=2AO,

：.HF=2AO,故③正确；

④如图4,连接尸C、48相交于R,设FC交A8于点W,

"：ZBAF=ZCAH=90°,

ZBAF+ZBAC^ZCAH+ZBAC,即N或C=/R4H,

在△欣C和△BA”中，

，AB=AF

-ZFAC=ZBAH«

AC=AH

；./\FAC4/\BAH(SAS),

：.FC=HB,ZAFC=ZABH,

\'ZBAF=90Q,

：.ZAFC+ZAWF=90°,

：.ZABH+ZAWF=90°,

?.ZABH+ZAWR=90°,

.•.NB/?W=180°-(/A8H+/AWR)=180°-90°=90°,

：.FCA.HB,故④正确；

⑤如图5,延长CS至/,使S/=SC,连接8/并延长交AF于J,

；四边形ABEF和四边形ACGH都是正方形，

：.BE//AF,AH//CG,BE=AB,AC=CG,/A8E=90°,

是EG的中点，

.,.SE=SG,

在和aGSC中，

'SE=SG

<ZESI=ZGSC)

SI=SC

：./\ESI^AGSC(SAS),

：.IE=CG,4IES=4CGS,

：.EJ//GB,

乂：AH〃CG,

：.EJ//AH,

：.ZEJA=ZFAH,

又；NR4C+/胡"=180°,

：.ZBAC+ZEJA=ISO°,

'CBE//AF,

：.ZBE1+ZBJA=\SO°,

:./BEI=NBAC,

'：AC=CG,IE=CG,

；./E=AC,

在和△BAC中，

BE=AB

<ZBEI=ZBAC-

IE=AC

:./XBEl学丛BAC(SAS),

：.BI=BC,NIBE=NCBA,

：.ZIBE+N/BA=NCBA+ZIBA,即/A8E=NIBC,

又；N48E=90°,

；.NIBC=90°,

又,：SI=SC,

•••SB*I=S(?

,:BI=BC,且5/=5C,

：.SBA.CI,BPSBISC,故⑤正确；

综上所述，正确的有①②③④⑤，

故答案为：①②③④⑤.

考向四：四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的转化关系

♦三个京知•布

♦四条边靠相等

典例引裾

1.下列说法正确的是（）

A.有一个角是直角的平行四边形是正方形

B.对角线相等的四边形是正方形

C.四边都相等的四边形是菱形

D.对角线互相垂直的四边形是矩形

【分析】分别根据矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定判定各选项进而得出答案.

【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此选项错误，不符合题意；

8、对角线相等的菱形是正方形，此选项错误，不符合题意；

C、四边都相等的四边形是菱形，此选项正确，符合题意；

。、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，此选项错误，不符合题意.

故选：C.

2.如图，菱形ABC。的对角线AC、BO相交于点O,BE//AC,AE//BD,0E与AB交于

点F.若0E=5,AC=8,则菱形A8CQ的高为_2刍_.

【分析】证四边形AEBO为平行四边形，再由菱形的性质得/A0B=9(T,则四边形4EBO

是矩形，然后由勾股定理得。8=3,则20=6,然后由菱形的面积公式解答即可.

【解答】解：〃/IC,AE//BD,

，四边形AEBO是平行四边形，

又•.•菱形48co对角线交于点0,

：.OA=^AC=4,OB=OD,ACrBD,

2

：.ZAOB=90°.

平行四边形AOBE是矩形，

：.AB=0E=5,

OB=VAB2-0A2=V52-42=3,

；.BD=2OB=6,

设菱形ABC。的高为人,

：.S^ABCD=lAC-BD=AB'h,

2

55

即菱形ABC。的高为丝，

5

故答案为：24.

5

3.如图，在菱形A8CD中，对角线AC,交于点。，DE//AC,CE//BD,连接0E,交

CD于点F.

(1)求证：四边形力OCE是矩形；

(2)若EF=2,ZABC=120°,直接写出菱形ABC。的面积.

【分析】(1)先判断出四边形OOCE是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得

ACLBD,然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；

(2)根据两直线平行，同旁内角互补求出N8AD=60°,判断出△A8O是等边三角形，

然后根据等边三角形的性质求出OA,OB,再根据菱形的面积公式列式计算即可得解.

【解答】(1)证明：CE//BD,

四边形DOCE是平行四边形，

•.,在菱形A8C力中，AC1BD,

：.ZDOC=W°,

二四边形OOCE是矩形；

(2)解：；EF=2,四边形。OCE是矩形，

/.OE=CD=2EF=4,

•.Y8C。是菱形，

：.AB^CD=4,

'：ZA«C=120°,AB//CD,

：.ZBAD=\S0°-120°=60°,

'：AB=AD,

.♦.△ABO是等边三角形，

Ofi=Ax4=2,OA=2X亚=«,

22

：.AC=2>/3,80=4,

二四边形ABCD的面积=LU8E)=工X2禽X4=4愿.

22

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1.(2022•日照)如图，矩形48C。为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与C。的交

点为E,当水杯底面2C与水平面的夹角为27°时，/AED的大小为()

D

V

B

A.27°B.53°C.57°D.63°

【分析】根据题意可知AE//BF,NEAB=NABF,NABF+27。=90°.等量代换求出

AEAB,再根据平行线的性质求出/AED.

【解答】解：如图，~弋

,：AE//BF,

；.NEAB=NABF,FB

•.•四边形A8C。是矩形，

J.AB//CD,NABC=90°,

；.NA8F+27°=90°,

；.乙48/=63°,

/.ZEAB=63°,

,JAB//CD,

：.ZAED=ZEAB=63°.

故选：D.

2.（2022•黔东南州）如图，矩形ABC。的对角线AC,相交于点O,DE//AC,CE//BD.若

AC=10,则四边形OC£Q的周长是20.

【分析】先证四边形OCEO是平行四边形，得OC=OE,OD=CE,再由矩形的性质得

OC=OD=5,则。C=OQ=CE=OE,得平行四边形OCEO是菱形，即可得出结论.

【解答】解：,：DE//AC,CE//BD,

四边形OCED是平行四边形，

AOC=DE,OD=CE,

•.•矩形ABC。的对角线AC,8。相交于点。，

.•.OC=AAC=5,OD=LBD,BD=AC,

22

0c=0。=5,

：.OC=OD=CE=DE,

...平行四边形OCED是菱形,

，菱形OCED的周长=4OC=4X5=20,

故答案为：20.

3.（2022•陕西）在下列条件中，能够判定。ABC。为矩形的是（

A.AB=ADB.AC1BDC.AB=ACD.AC=B£>

【分析】由矩形的判定利菱形的判定分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：A.：口48。。中，AB=AD,

：.°ABCD是菱形，故选项A不符合题意；

B."ABC。中，ACVBD,

...□A8C。是菱形，故选项8不符合题意；

C.口A8C。中，AB=AC,不能判定nABCQ是矩形，故选项C不符合题意；

D.AC^BD,

：.^ABCD是矩形，故选项D符合题意；

故选：D.

4.（2022•包头）如图，在矩形ABC。中，AD>AB,点E,尸分别在A。，8c边上，EF//

AB,AE=AB,AF与5E相交于点。，连接0C.若BF=2CF,则0C与之间的数量

关系正确的是（）

A_______E___D

A.2OC=\[SEFB.娓0C=2EFC.20C=MEFD.0C=EF

【分析】过点。作于点从得出四边形A8FE是正方形，再根据线段等量关系

得出CFuEFuZO”,根据勾股定理得出0。=遍0〃，即可得出结论.

【解答】解：过点。作8c于点”，

22BHFC

'：BF^2CF,

：.CH=EF^2OH,

•••°C=MOH2MH2r0H2+（20H）2=«°H，

即2OC=y[^EF,

故选：A.

5.（2022•青海）如图，矩形ABC。的对角线相交于点O,过点。的直线交4。，8C于点E,

F,若45=3,BC=4,则图中阴影部分的面积为6.

ED

RFC

【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE^^COF,得△AOE、△COF的面积相等，从

而将阴影部分的面积转化为48力C的面积.

【解答】解：•••四边形ABCO是矩形，AB=3,

，OA=OC,A8=CO=3,AD//BC,

：.NAEO=NCFO；

XVZAOE=ZCOF,

在aAOE和△CO尸中，

rZAE0=ZCF0

•OA=OC，

ZAOE=ZCOF

，AAOE^ACOF,

:，S&AOE=S&COF,

S用彩=SMOE+S/.BOF+SACOD=SACOF+S,\BOF+S,\COD=S^BCD,

VS^BCD—^BC*CD—^-X4X3=6，

•,•5阴影=6.

故答案为6.

6.（2022•滨州）下列命题，其中是真命题的是（）

A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.对角线互相平分的四边形是菱形

D.对角线互相垂直的矩形是正方形

【分析】根据，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法-一判断即可.

【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，是假命题，本选项不符合题意；

8、有一个角是直角的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意；

C、对角线互相平分的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意；

。、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意.

故选：D.

7.（2022•黄石）如图，正方形0ABe的边长为将正方形0ABe绕原点。顺时针旋转

45°,则点B的对应点Bi的坐标为（)

y八

A.(-&,0)B.(&,0)C.(0,近)D.(0,2)

【分析】连接。8,由正方形的性质和勾股定理得08=2,再由旋转的性质得81在y轴

正半轴上，且0劭=。8=2,即可得出结论.

【解答】解：如图，连接。5,

•.,正方形OABC的边长为五,

：.OC=BC=&,N8CO=90。，NBOC=45。，

•*-OB=VOC2+BC2=V(V2)2+(V2)2=2,

；将正方形OABC绕原点。顺时针旋转45°后点B旋转到Bi的位置,

8在)，轴正半轴上，且0以=。8=2,

.•.点七的坐标为(0,2),

故选：D.

8.(2022•重庆)如图，在正方形ABC。中，AE平分NBAC交3c于点E,点尸是边AB上

一点，连接。凡若BE=AF,则/CDF的度数为()

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°

【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到NA。下的度数，从而

可以求得/C£»F的度数.

【解答】解：•••四边形A8CO是正方形,

：.AD=BA,/D4F=NABE=90°,

在△DA尸和△ABE中，

'AD=BA

<ZDAF=ZABE«

AF=BE

△DAFQXABE(SAS),

ZADF=NBAE,

：AE平分N8AC,四边形ABC。是正方形,

AZBAE=AzBAC=22.5°,ZADC=90°,

2

ZADF=22.5°,

：.ZCDF^ZADC-ZADF^9QQ-22.5°=67.5°,

故选：C.

9.（2022•广州）如图，正方形ABC£＞的面积为3,点E在边CD上，且CE=1,NA8E的

平分线交AO于点凡点M,N分别是BE,BF的中点，则MN的长为（）

0

A.迎B.近C.2-V3D.娓%

222

【分析】连接E兄由正方形ABC。的面积为3,CE=],,可得DE=&-1,tan/EBC

CE=1=V3,；即得NEBC=30°，又4尸平分/ABE,可得/ABF="l/A8E=30°,

BCV332

故A尸=-^-=1,DF=AD-AF=43-1,可知EF=&DE=&X（5/3-1）=76-

V3

&,而M,N分别是BE,8尸的中点，即得MN=1FF=V6-V2

2'2

【解答】解：连接EE如图：

A0

,/正方形ABCD的面积为3,

：.AB=BC=CD=AD=43'

'：CE=1,

-1,tanNE8C=丝=」=返，B

BCV33

AZEBC=30°,

NABE=ZABC-NEBC=60",

•.,AF平分NABE,

AZABF=^ZABE=30°,

2

在RtZ\A8F中，4/=胆=1,

近

：.DF=AD-AF^y/3-1,

：.DE=DF,是等腰直角三角形，

.,衣=&OE=6X（V3-1）=娓-M，

'：M,N分别是BE,8F的中点,

是△BEF的中位线，

MN=AfF=返''五一.

22

故选：D.

10.(2022•恩施州)如图，在四边形48CC中，乙4=/8=90°,AD^lOcm,BC=Scm,

点P从点。出发，以la〃/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向

点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为

A.当f=4s时，四边形ABMP为矩形

B.当f=5s时，四边形CDP