【福建省莆田市】2017年高考一模数学(文科)试卷-答案

2/12福建省莆田市2017年高考一模数学（文科）试卷答案一、选择题1~5．CBABB6~10．BBCDD11~12．DA二、填空题13．14．15．16．三、解答题17．解：（1）∵，时，．∴时，，解得．∴时，．当时，，上式也成立．∴．（2），数列的前项和．18．解：（1）从10段中任取一段的基本事件有10个，分别为：，，，，，，，，，，这些基本事件是等可能的，用表示“在同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，则包含的基本事件为：，，，，共个，∴．（2）根据表中数据，完成下列茎叶图：（3）南岸10段的分值数据的中位数为：，南岸10段分值数据的平均数为：，北岸10段分值数据的中位数为：，北岸10段分值数据的平均数：，由，，可以看出北岸保护更好．19．（1）证明：连接，设，∵四边形为矩形，则为的中点，在中，为的中点，∴，又，，∴；（2）解：过，垂足为，∵，且，，∴，∵，∴，∴，在中，取中点，连接，则，∴．∵，．∴．∴．∴三棱锥的体积为．20．解：（1）由题意是等腰直角三角形，，，设，由，则，代入椭圆方程，解得，∴椭圆方程为；（2）由题意可知，直线的斜率存在，方程为，，，则，整理得：，由直线与有两个不同的交点，则，即，解得：，由韦达定理可知：，，由坐标原点位于为直径的圆外，则，即，则，解得：，综上可知：，解得：或，直线斜率的取值范围．21．解：（1），，∴是的零点；∵，，，在上单调递减，的最大值为．，，在上无零点；，，在上有个零点；，，，在上有个零点；综上所述，时，有个零点；时，有两个零点；（2）设切点，，∴切线斜率，∴切线方程为，∵切线过，∴，∴①由题意，方程①有个不同的解．令，则．．时，，在定义域内单调递增，不可能有两个零点，方程①不可能有两个解，不满足题意；时，在上，，函数单调递增，在上，，函数单调递减，的极大值为，极小值为；时，在，上，，函数单调递增，在上，，函数单调递减，的极大值为，极小值为；要使方程①有三个不同解，则，即，∴．[选修4—4坐标系与参数方程]22．解：（1）∵圆的方程为，∴圆的参数方程为（为参数），∵直线的极坐标方程为，∴，即，∴直线的普通方程是；（2）由题意设，∴点到直线距离，，，∵，∴，即，∴点到直线距离的取值范围是．[选修4—5不等式选讲]23．解：（1）．∴当时，，，解得；当时，得，无解；当时，得，解得．所以不等式的解集为．（2））∵，∴，∵的解集包含，∴，，∴．故的取值范围为：．

福建省莆田市2017年高考一模数学（文科）试卷解析一、选择题1．【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得：1≤x≤2，即A=[1，2]，由B中不等式解得：x＞，即B=（，+∞），则A∩B=（，2]，故选：C．2．【考点】二倍角的余弦．【分析】由已知利用诱导公式可求cosα得值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵，∴cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故选：B．3．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线平行的性质及判定分别进行判断即可．【解答】解：l1∥l2”得到：a2﹣1=0，解得：a=﹣1或a=1，所以应是充分不必要条件．故选：A．4．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】依题意首先把x＜0时，函数的解析式求出．再把x=﹣2代入函数式得出答案．【解答】解：设x＜0，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f[﹣（﹣x）]=﹣2﹣（﹣x）∴当x＜0时，函数的解析式为f（x）=﹣2﹣x∴f（﹣2）=﹣2﹣（﹣2）=﹣4故选B．5．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=40时，不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，S=0，n=1满足条件a≤32，执行循环体，S=1，n=2，a=8满足条件a≤32，执行循环体，S=9，n=3，a=16满足条件a≤32，执行循环体，S=25，n=4，a=24满足条件a≤32，执行循环体，S=49，n=5，a=32满足条件a≤32，执行循环体，S=81，n=6，a=40不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81．故选：B．6．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：设两个直角边长为a，b，则由条件可知，则斜边长不大于1的事件为，a2+b2≤1，则由几何概型的概率可知所求的概率P==，故选B．7．【考点】球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：5，4，3的长方体的外接球．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：5，4，3的长方体的外接球，故球O的半径R满足：4R2=32+42+52=50，故球O的表面积S=50π，故选：B．8．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】先设出A的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y．然后求解直线的斜率，得到直线FA的倾斜角．【解答】解：设该A坐标为（x，y），抛物线C：y2=3x的焦点为F（，0），根据抛物线定义可知x+=3，解得x=，代入抛物线方程求得y=±，故A坐标为：（，），AF的斜率为：=，则直线FA的倾斜角为：或．故选：C．9．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由题意可得+=42，求得ω的值，再根据对称中心求得φ的值，可得函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，∴+=42，即12+=16，求得ω=．再根据•+φ=kπ，k∈Z，可得φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣）．令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得4kπ﹣π≤x≤4kπ+π，故f（x）的单调递增区间为（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z，故选：D10．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，双曲线的一条渐近线方程，运用直线和圆相交的弦长公式，可得圆心到渐近线的距离为1，再由点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9可得圆心（1，3），半径为3，双曲线E，的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，渐近线被圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9所截得的弦长等于4，圆心到直线的距离为：由弦长公式可得2=，可得，解得，即c=a或c=a，即e==或e=，故选：D．11．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，BD1⊥平面AB1C，平面α过直线BD，α⊥平面AB1C，可得平面α即为平面DBB1D1．设AC∩BD=O．可得α∩平面AB1C=m为OB1．同理可得：平面A1C1D即为平面β．又A1D∥B1C，可得m，n所成角为∠OB1C，根据△AB1C为正三角形，即可得出．【解答】解：如图所示，∵BD1⊥平面AB1C，平面α过直线BD，α⊥平面AB1C，∴平面α即为平面DBB1D1．设AC∩BD=O．∴α∩平面AB1C=m为OB1．∵平面A1C1D过直线A1C1，与平面AB1C平行，而平面β过直线A1C1，β∥平面AB1C，∴平面A1C1D即为平面β．β∩平面ADD1A1=A1D=n，又A1D∥B1C，∴m，n所成角为∠OB1C，由△AB1C为正三角形，则cos∠OB1C=cos=．故选：D．12．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的对称轴，令g（x）=f（x）cosx，根据函数的单调性判断函数值的大小即可．【解答】解：由f（x）=f（2π﹣x），得函数f（x）的图象关于直线x=π对称，当0＜x＜π时，若f（x）sinx﹣f′（x）cosx＜0，令g（x）=f（x）cosx，则g′（x）=f′（x）cosx﹣f（x）sinx＞0，当0＜x＜π时，g（x）在（0，π）递增，在（π，2π）递减，故g（）＜g（）＜g（）=g（），即a＜b＜c，故选：A．二、填空题13．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z•i=2+3i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由z•i=2+3i，得=．故答案为：3﹣2i．14．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，）．的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，则的最大值为．故答案为：3．15．【考点】余弦定理．【分析】由已知化简可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A=，由余弦定理，基本不等式可求bc≤4，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴A=，∵a=2，∴由余弦定理可得：4=b2+c2﹣bc，∴4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，即：bc≤4，当且仅当b=c等号成立，∴S△ABC=bcsinA≤=，当且仅当b=c等号成立，则△ABC面积的最大值为．故答案为：．16．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，设出D，求解相关的坐标，利用向量的数量积求解D的坐标，然后求解即可．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，设D（0，a），△ABD面积为1，可得B（，0），则C（，2a），=，则E（.），BE⊥CD，可得：（，a）（，）=0，解得a2=，=（0，﹣a），=（，a），•=﹣a2=﹣．给答案为：﹣．三、解答题17．【考点】数列的求和．【分析】（1），n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．n=6时，a6=13，解得k．进而得出．（2）===，利用“裂项求和”方法即可得出．18．【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【分析】（1）利用列举法求出从10段中任取一段的基本事件有10个，用A表示“在同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，利用列法求出A包含的基本事件个数，由此能求出在同一段中两岸环保评分均为优良的概率．（2）根据表中数据，能完成茎叶图．（3）分别求出南岸10段的分值数据的中位数、平均数和北岸10段分值数据的中位数、平均数，由此看出北岸保护更好．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，设AC∩BD=O，由题意可得O为AC的中点，又E为AS的中点，由三角形中位线定理可得SC∥OE，再由线面平行的判定可得SC∥平面BDE；（2）过E作EH⊥AB，垂足为H，由线面垂直的判定可得BC⊥平面SAB，则EH⊥BC，又EF⊥AB，得到EH⊥平面ABCD，在△SAB中，取AB中点M，连接SM，则SM⊥AB，求得SM=1．进一步可得EH=．再求出三角形BCD的面积利用等体积法求得三棱锥C﹣BDE的体积．20．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由向量共线定理求得Q点坐标，由a=2，将Q代入椭圆方程，即可求得b，求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及△＞0，向量数量积的坐标运算•＞0，即可求得k的取值范围．21．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）分类讨论，求导数，切点函数的单调性，即可讨论h（x）零点的个数；（2）设出切点，由切线方程，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，即可求a的取值范