二轮复习专题二第2讲三角变换与解三角形学案

第2讲三角变换与解三角形必备知识·精要梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;tan(α±β)=tanα2.二倍角公式sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan2α=2tanα3.降幂公式cos2α=1+cos2αsin2α=1-sinαcosα=sin2α名师点析由降幂公式开方并作角的代换得半角公式:cosα2=±1+cosα2,sinα2=±1-cos4.正弦、余弦定理(1)正弦定理:asinA=bsinR为三角形外接圆的半径(2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,cosA=b2关键能力·学案突破突破点一和、差、倍、半角公式的应用[例1](1)(2021山东德州一模,5)已知sinα=sinα+π3+1A.13 B.-13 C.233(2)(2020全国Ⅲ,文5)已知sinθ+sinθ+π3=1,则sinθ+π6=()A.12 B.33 C.23(3)已知α为锐角,且cosα(1+3tan10°)=1,则α=()A.20° B.40° C.50° D.70°(4)(2021山西太原一模,理3)公元前6世纪,古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时,发现了黄金分割数5-12,其近似值为0.618,这是一个伟大的发现,这一数值也表示为a=2sin18°,若a2+b=4,则a2A.12 B.C.5-12规律方法1.三角函数公式的三种用法运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练公式的直接应用,即正用,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tanα+tanβ=tan(α+β)·(1-tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力.2.应用三角函数公式的注意点在应用三角函数和、差、倍、半角公式时,要注意观察角之间的和、差、倍、半、互补、互余等关系.对点练1(1)已知tanα+π6=1,则tanα-A.2-3 B.2+3C.-2-3 D.-2+3(2)(2021安徽安庆二模,理6)已知2sinα+π4=sinαtanα2-1,则tanαA.-2 B.2 C.-12 D.(3)cos40°cos25°1A.1 B.3 C.2 D.2突破点二三角函数与三角变换的综合[例2](1)(2021陕西榆林二模,文7)函数f(x)=sin3xcosx-sinxcos3x的最大值为A.12 B.14 C.22(2)(2021河南郑州二模,理8)关于函数f(x)=sin2x-π3+cos2x-πA.f(x)的值域为[0,2]B.f(x)是以π为最小正周期的周期函数C.f(x)在区间[0,π]上有两个零点D.f(x)在区间π3(3)已知函数f(x)=asinx+bcosx(x∈R),若直线x=x0是函数f(x)图象的一条对称轴,且tanx0=3,则a,b应满足的关系式是()A.a=-3b B.b=-3aC.a=3b D.b=3a规律方法求三角变换与三角函数综合问题的思路通过变换把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.对点练2(1)(2021陕西宝鸡二模,理9)已知函数f(x)=2sinxcosx-3(sin2x-cos2x),判断下列给出的四个结论,其中错误结论的个数为()①对任意的x∈R,都有f2π3-x②将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得到g(x)的图象,则g(x)是偶函数③函数y=f(x)在区间π12,④“函数y=f(x)取得最大值”的一个充分条件是“x=π12”A.0 B.1 C.2 D.3(2)(2020北京,14)若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2,则常数φ的一个取值为.

突破点三应用正、余弦定理解三角形[例3](1)(2021安徽黄山二模,理10)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinBsinC=sinA,△ABC的面积为12,a+b=3,则A.30° B.120°C.30°或150° D.60°或120°(2)(2020全国Ⅰ,理16)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=.

(3)(2021山东潍坊一模,16)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位,制作了一批奖杯,奖杯的剖面如图所示,其中扇形OAB的半径为10,∠PBA=∠QAB=60°,AQ=QP=PB,若按此方案设计,工艺制造厂发现,当OP最长时,该奖杯比较美观,此时∠AOB=.

规律方法解三角形的基本题型与方法(1)已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形,正弦定理的形式多样,其中a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC能够实现边角互化.(2)已知两边和它们的夹角或已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.(3)已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.对点练3(1)(2021河南郑州二模,文6)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果a,b,c成等差数列,B=30°,△ABC的面积为32,则b=(A.1+3 B.2+3C.1+32 D(2)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.

(3)(2021全国乙,理15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.

突破点四正、余弦定理与三角变换的综合[例4](1)(2021江西上饶一模,文11)在△ABC中,∠B=90°,M为△ABC内一点且满足MB·MC=0,∠AMB=120°,若AB=23,BC=2,则△AMB的面积S△A.637 B.337 C.(2)(2021河南郑州二模,文16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=1,A=3π4,若λb+c有最大值,则实数λ的取值范围是规律方法解三角形的基本策略(1)对题目中的已知条件要灵活运用正弦定理、余弦定理以实现边角互化.(2)在三角形中进行三角变换要注意隐含条件:A+B+C=π,这样可以减少未知数的个数.(3)三角形面积公式:S=12absinC=12bcsinA=12acsinB,既有边又有角对点练4(1)(2021江苏苏北四市二模,8)如图,直角三角形PQR的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB,BC,CA上,且PQ=23,QR=2,∠PQR=π2,则AB的最大值为(A.1033 BC.4213 D(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cosB=2a+b,若△ABC的面积为S=32c,则ab的最小值为.第2讲三角变换与解三角形关键能力·学案突破【例1】(1)B(2)B(3)B(4)B解析(1)∵sinα=sinα+π3+13,∴sinα=12sinα+32cosα+∴12sinα-32cosα=13,即-∴cosα+π6=-13(2)根据两角和的正弦公式展开得sinθ+sinθ+π3=sinθ+12sinθ+32cosθ=32sinθ+32cosθ=1,即3sinθ+π6=1,解得sinθ+π6=33.故选(3)由cosα(1+3tan10°)=1,可得cosα·3sin10°即cosα·2sin40°cos10所以cosα=cos10°2sin40°又因为α为锐角,所以α=40°.故选B.(4)∵a=2sin18°,a2+b=4,∴b=4-a2=4-4sin218°=4(1-sin218°)=4cos218°,∴a2b1【对点练1】(1)D(2)A(3)C解析(1)tanα-π6=tanα+π6-π3=1-(2)由2sinα+π4=sinαtanα2-1,得sinα+cosα=2sinα2cosα2tanα2-1=2sin2所以sinα=-2cosα,所以tanα=-2,故选A.(3)原式=cos40°cos25°1【例2】(1)B(2)C(3)C解析(1)f(x)=sin3xcosx-sinxcos3x=sinxcosx(sin2x-cos2x)=12sin2x(-cos2x)=-14sin4故当sin4x=-1即x=kπ2-π8,k∈Z时,f(x)取得最大值,最大值是(2)f(x)=sin2x-π3+cos2x-π2=12sin2x-32cos2x+sin2x=332sin2x-12cos2x=3sin2x-π6,f(x)的值域为[0,3f(x)的最小正周期为π2,故B错因为f(x)的一个周期内只有一个零点,f(0)≠0,所以f(x)在[0,π]上有两个零点,故C正确;因为区间π3,2π3长度为π3>12·π2,所以f(x(3)f(x)=asinx+bcosx=a2+b2aa2令cosα=aa2+b2,sinα=ba2+b2,则tanα=ba,则又直线x=x0是函数f(x)图象的一条对称轴,则x0+α=π2+kπ,k∈Z,x0=π2-α+kπ,k∈tanx0=tanπ2-α+kπ=tanπ2-α=1tanα=ab=3,则a=3b.【对点练2】(1)A(2)π22kπ+π2,k∈Z均可解析(1)函数f(x)=2sinxcosx-3(sin2x-cos2x)=sin2x+3cos2x=2sin2x+π3,f2π3-x=2sin22π3-x+π3=2sin2π-2x+π3将y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得g(x)=2sin2x+π12+π3=2cos2x由x∈π12,7π12得2x+π3∈π2,3π2,因为fπ12=2sin2×π12+π3=2,所以fπ12为最大值,故④正确(2)因为f(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx=cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ),tanθ=sinφ+1cosφ,所以cos2φ+(sinφ+1)2=2,解得【例3】(1)C(2)-14(3)π2解析(1)因为sinBsinC=sinA,由正弦定理得sinC=sinAsinB=ab,因为△ABC的面积S=12absin因为a+b=3,所以b=2,sinC=12,故C=30°或150°.故选C(2)由题意得BD=2AB=6,BC=AC2+∵D,E,F重合于一点P,∴AE=AD=3,BF=BD=6,∴在△ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos∠CAE=12+(3)2-2×1×3cos30°=1,∴CE=CF=1.∴在△BCF中,由余弦定理,得cos∠FCB=BC2+(3)设∠ABO=θ,则AB=20cosθ,又AB=QP+2PBcos60°=2PB,所以PB=10cosθ,故OP2=100+100cos2θ-2×10×10cosθcos(60°+θ)=100+503sin2θ,故当2θ=π2时,OP取最大值,此时∠AOB=π-2θ=π【对点练3】(1)A(2)150(3)22解析(1)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-3ac,①∵S△ABC=12acsinB=14ac=32,∴ac=6∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b,③将②③代入①得b2=4b2-12-63,化简整理得b2=4+23,解得b=1+3.故选A.(2)在△ABC中,∵∠BAC=45°,∠ABC=90°,BC=100m,∴AC=100sin45°=1002在△AMC中,∵∠MAC=75°,∠MCA=60°,∴∠AMC=45°,AMsin∠ACM=AC解得AM=1003(m).在Rt△AMN中,MN=AM·sin∠MAN=1003×sin60°=150(m).(3)由题意可知△ABC的面积S=12acsin60°=3,整理得ac=4.结合已知得a2+c2=3ac=12因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×cos60°=8,所以b=22.【例4】(1)A(2)22,2解析(1)设∠MBA=θ,则∠MBC=90°-θ,∠MAB=60°-θ因为MB·MC=0,所以∠BMC=90°,在Rt△MBC中,BM=BC·cos∠MBC=2sin在△ABM中,ABsin∠AMB=BMsin∠BAM,即23sin120°=2sinθsin(60°-θ),即23sin(60°-θ)=2sinθ·sin120°,