天津市部分区高三质量调查（二）数学（文）试题

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，集合，则集合（）A．B．C．D．2．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．6B．4C．3D．23．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A．15B．37C．83D．1777．已知双曲线的一条渐近线方程是，且它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．5．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知向量与的夹角为，，若，且，则实数的值为（）A．B．C．D．7．将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8．设函数是定义在上的奇函数，且当时，.记，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．已知为虚数单位，复数，则的虚部为.10．已知函数，为的导函数，则.11．已知直线恒过定点，且以为圆心，5为半径的圆与直线相交于两点，则弦的长为.12．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为.13．已知函数的图象过点，则的最小值为.14．已知函数，若函数在区间内有3个零点，则实数的取值范围是.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知的内角所对的边分别为，且.（1）求和的值；（2）求的值.16．某区的区人大代表有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为，乙校教师记为，丙校教师记为，丁校教师记为.现从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名.（1）请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果；（2）求教师被选中的概率；（3）求宣讲团中没有乙校教师代表的概率.17．在等腰梯形中，，直线平面，，点为的中点，且，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.18．已知数列为等比数列，数列为等差数列，且，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.19．已知椭圆：的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于两点，且与轴，轴交于两点.（i）若，求的值；（ii）若点的坐标为，求证：为定值.20．设函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上恰有2个零点，求的取值范围；（3）当时，若对任意的正整数在区间上始终存在个整数使得成立，试问：正整数是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：题号12345678选项DCBCBBDA二、填空题：9．10．11．12．13．914．三、解答题：15．解：（1）由余弦定理，得，又，所以，解得在中，，由正弦定理得，所以，.（2）因为，则为锐角，所以，∴，.所以16．解：（1）从6名教师代表中选出3名教师组成十九大政策宣讲团，组成人员的全部可能结果有：，，，，，，，，，，，共有12种不同可能结果.（2）组成人员的全部可能结果中，被选中的结果有，，，，共有5种，所以所求概率.（3）宣讲团没有乙校代表的结果有：，共2种结果，所以所求概率为.17．（1）证明：取中点，连接，因为，，所以平行且等于，所以四边形是平行四边形，所以平行且等于，连接平行且等于，又平行且等于，所以平行且等于，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）∵平行且等于，∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴，∵，∴为等边三角形，∵，∴，由余弦定理得，所以即，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面.（3）因为，平面，平面，所以平面，由（1）知平面，且，所以平面平面，所以直线与平面所成角也为直线与平面所成角.由（2）知，设为中点，连接,所以.因为平面，所以，因为，所以平面，所以为直线与平面所成角，因为，在直角中，，所以直线与平面所成角的正弦值为.18．（1）设数列的公比为，数列的公差为由题意得，解得，所以（2）证明：因为所以因为，所以又因在单调递增，所以当时，取最小值，所以.19.解：（1）因为满足，由离心率为，所以，即，代入得.又椭圆的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2，即，即，，以上各式联立解得，则椭圆方程为（2）（i）直线与轴交点为，与轴交点为，联立消去得，设，则又，由得解得，由得（ii）由（i）知，所以为定值所以为定值.20.解：（1）函数的定义域为，所以所以且由导数几何意义知在点处的切线方程为，即（2）由，∴令，所