高等数学教程　下册　第4版 课件 11.1 二重积分的概念与性质_第1页
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第十一章重积分11.1二重积分的概念与性质11.1.1二重积分的概念柱体体积

=底面积×高

平顶柱体问题11.1求曲顶柱体的体积曲顶柱体体积=?D曲顶柱体以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以顶是曲面且在D上连续).x0z

yDSS:z=f(x,y)1.任意分割区域

D,化整为零2.以平代曲

ix0z

yDS:z=f(x,y)3.积零为整2.

以平代曲1.任意分割区域

D,化整为零

ix0z

yDS:z=f(x,y)4.取极限

i2.

以平代曲1.任意分割区域

D,化整为零V=3.积零为整x0z

yS:z=f(x,y)4.取极限V2.以平代曲V=1.任意分割区域

D,化整为零3.积零为整也表示它的面积,定义(1)将闭区域

D任意分成n个小闭区域

(2)作乘积

(3)并作和D设是有界闭区域

D的有界函数,积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素若和式则称函零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值

趋近于的极限存在,记为即(4)数在区域D上可积，在闭区域D上的二重积分,此极限为函数曲顶柱体体积曲顶

即在底D上的二重积分,二重积分的几何意义当被积函数小于零时,柱体体积,又可看成是D的面积.数值上既可看成是以D为底,以1为高的二重积分是柱体的体积的负值．特别地例1

设D为圆域二重积分=解

上述积分等于由二重积分的几何意义可知，是上半球面上半球体的体积:RD2.在直角坐标系下用平行于坐二重积分可写为注定积分中1.重积分与定积分的区别:重积分中可正可负.则面积元素为D标轴的直线网来划分区域D,性质1(二重积分的线性性质)二重积分与定积分有类似的性质11.1.2二重积分的性质性质2(积分对区域的可加性)

oxyD1D2D1与D2除分界线外无公共点.D性质3(保号性)

例的值=().(A)为正(B)为负(C)等于0(D)不能确定为负B进而有性质4(积分估值定理)性质5(积分中值定理)则设

,分别是

在有界闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积.则在D上至少存在一点使得

为D的设函数在有界闭区域D上连续,面积,解区域D的面积例2

不作计算,估计的值,其中D是椭圆闭区域：在D上，由性质5知解故于是

三角形斜边方程例3

比较积分与的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).因此

在D内有

(B)

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