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文档简介

习题11.2(A)组1.画出下列积分的区域，并按两种不同的次序,将二重积分化为二次积分,其中积分区域是:(1)由抛物线与直线所围成。解：交点为与先对积分，表示为—区域：于是先对，表示为—区域：于是。(2)由轴和左半圆所围成。解：先对积分，表示为—区域：于是先对积分，表示为—区域：于是(3)由直线及曲线所围成。解：分别联立得交点为先对积分，表示为—区域：于是先对积分，表示为—区域：于是2.交换下列二次积分次序:(1)解：积分区域—区域化为—区域，于是。(2)解：积分区域—区域化为—区域，于是。(3)解：积分区域—区域化为—区域，于是。(4)解：积分区域—区域化为—区域，于是。(5)解：积分区域—区域解方程得交点坐标得化为型积分区域，于是。(6)解：积分区域—区域化为—区域，于是3.利用被积函数的奇偶性及区域的对称性考察下列积分之间的关系：(1)与，其中，解：关于轴对称，为偶函数，则。(2)与，其中，解：(3)与，其中是以为顶点的三角形区域，是在第一象限的部分。解：记在直线上方和下方部分分别为和。注意到关于轴对称，而被积分函数是的奇函数，有又，关于轴对称，而被积分函数是的偶函数，有4.计算下列二重积分(1),其中是由和所围成。解：由对称性得则。(2),其中为。解：(3),其中为。解：(4)，其中是以为顶点的三角形区域。解：(5),其中是由和所围成。解：。(6),其中是由和轴所围成的右半闭区域。解：。(7),其中是以为顶点的矩形区域。解：。(8),其中。解：(9),其中是由和所围成。解：(10),其中是由直线及所围成。解：(11),其中是由直线及所围成。解：。(12),其中是由。解：由对称性得其中为在第一象限的区域。5.画出下列二次积分区域的图形,并化为极坐标形式的二次积分(1)解：令，积分区域则。(2)解：积分区域则。(3)解：积分区域则。(4)解：积分区域则。(5)解：积分区域则。(6)解：积分区域则。6.利用极坐标计算下列二重积分(1)解：积分区域则=3π(2),其中为。解：积分区域则。(3),其中为。解：积分区域则。(4),其中为及所围。解：积分区域则。7.计算下列二重积分(1),其中是圆所围成的区域。解：积分区域则=π4(2),其中为。解：积分区域则。(3),其中是由直线,及曲线所围成的区域。解：积分区域则。(4),其中是由直线,,及所围成的区域。解：D1是直线y=x,y=-x,及y=1围成的区域，D2是直线y=x,所以。(5),其中为圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。解：。(6),其中是由直线和直线所围成的区域。解：8.求由下列曲线所围成的图形的面积(1)曲线与所围区域。解：由对称性得(2)位于圆周的内部及心脏线的外部所围区域。解：，由对称性得9.设函数f1(x),f2(y)连续,证明：,其中为。证明：10．设函数f(x)连续证明：解：将积分区域换成Y型。(B)组1.设在上连续,利用二重积分证明。证明

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