山东省济南市商河县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年山东省济南市商河县八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各式：①x+3≠0；②-3<0，③3m=5，④a2+2ab+b2，A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.下列生活现象中，属于平移的是(

)A.钟摆的摆动 B.拉开抽屉

C.足球在草地上滚动 D.投影片的文字经投影转换到屏幕上3.下列命题与它的逆命题均为真命题的是(

)A.内错角相等 B.对顶角相等

C.如果ab=0，那么a=0 D.互为相反数的两个数和为04.下列由左到右的变形，属于因式分解的是(

)A.(x+2)(x-2)=x2-4 B.x2-4=(x+2)(x-2)

5.某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元.店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可打折．(

)A.六 B.七 C.八 D.九6.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD.若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是

(

)

A.50° B.60° C.40° D.30°7.若关于x的不等式组a-2<xx+12≤1无解，则a的取值范围是A.a≥3 B.a≤3 C.a>3 D.a<38.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D.若BD=6，则AC的长为(

)A.3

B.4

C.5

D.69.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离都相等，则满足条件的油库位置有个．(

)

A.1 B.2 C.3 D.410.如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1(1,1)；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2(-1,3)；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3(-4,0)；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A.(-2024,0) B.(-2022,0) C.(0,-2024) D.(0,-2022)二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.命题“若a>0，b>0，则a+b>0”这个命题是______命题(填“真”或“假”)．12.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△CDE，点D恰好落在AB边上，且∠B=70°，则∠ECA=______．

13.如图，一艘船从A处向北偏西30°的方向行驶5海里到B处，再从B处向正东方向行驶8海里到C处，此时这艘船与出发点A处相距______海里．

14.直线y=k2x和y=k1x+b如图所示，则关于x

15.用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A>∠B，则a>b.”第一步应假设______．16.对m、n定义一种新运算“*”规定：m*n=am-bn+5(a、b均为非零常数)，等式右边的运算是通常的四则运算，例如3*4=3a-4b+5.已知2*3=1，3*(-1)=10.则关于x的不等式x*(2x-3)<9的最小整数解为______．三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

分解因式：

(1)16-b2；

(2)3ax18.(本小题6分)

解不等式组：x-3(x-2)>42x-13≤19.(本小题6分)

如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，且BD=BE，∠A=100°，试求∠DEC的度数．20.(本小题8分)

如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于P点．

(1)若∠A=35°，求∠BPC的度数

(2)若AB=5cm，BC=3cm，求△PBC的周长．21.(本小题8分)

如图所示的正方形网格中(每个小正方形的边长是1，小正方形顶点叫作格点)，△ABC的顶点均在格点上，且A(1,0)，B(2,-2)，C(4,-1)，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：

(1)△ABC的面积为______．

(2)作△A1B1C1，使它与△ABC关于坐标原点O成中心对称．

(3)在x轴上作一点22.(本小题8分)

认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(1+x)+x(1+x)2

=(1+x)[1+x+x(1+x)]

=(1+x)[(1+x)(1+x)]

=(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是______；

(2)分解因式：23.(本小题10分)

小白同学想利用中考后的暑假时间，体验一下社会实践活动.他发现路边卖的腌制青芒果生意特别火爆，于是他开始做准备工作.先上网查阅资料，了解腌制青芒果的制作工序，需要的原材料有青芒果、盐、白糖.他去市场打听到了青芒果一斤4元，白糖一斤6元.小白妈妈说盐家里有好多，盐就由她赞助给小白.在制作过程中，他发现一斤青芒果削皮去核后，青芒果肉只剩下半斤.用少许盐腌制后，清洗干净再用白糖腌制.一斤白糖可以腌制三斤青芒果肉.小白觉得在制作过程中挺费劲的，而且在实际售卖过程中，只能捞出芒果肉售卖.他想利润率不低于50%，请你帮他计算一下，售价至少定为多少元？24.(本小题10分)

如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形.线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE，DE．

(1)求证：∠CBD=∠CAE；

(2)若∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求DE的长．25.(本小题12分)

观察下列等式：

第一个等式：22-21=4-2=2=21；

第二个等式：23-22=8-4=4=22；

第三个等式：24-23=16-8=8=26.(本小题12分)

【问题提出】如图1，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．

【尝试解决】

旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转来解决问题．

(1)如图2，连接BD，由于AD=CD，可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB'的形状是______；

(2)在(1)的基础上，求四边形ABCD的面积．

[类比应用](3)如图3，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=2，求四边形ABCD的面积．

答案和解析1.C

解析：解：不等式有x+3≠0，-3<0，3a+2b<0，共3个，

故选：C．

根据不等式的定义逐个判断即可．

本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，用不等号表示大小关系的式子，叫不等式，不等号有：<，>，≤，≥，≠．2.B

解析：解：A.钟摆的摆动是旋转运动，不属于平移，故本选项错误；

B.拉开抽屉符合平移的定义，属于平移，故本选项正确；

C.足球在草地上滚动方向变化，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误；

D.投影片的文字经投影转换到屏幕上，属于缩放，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误．

故选：B．

根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．

本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而选择错误．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．3.D

解析：解：A、内错角相等，是假命题，故本选项不符合题意；

B、对顶角相等，是真命题，

它的逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，故本选项不符合题意；

C、如果ab=0，那么a=0，是假命题，故本选项不符合题意；

D、互为相反数的两个数和为0，是真命题，

它的逆命题是：和为0的两个数化为相反数，是真命题，故本选项符合题意．

故选：D．

首先判断原命题的真假，写出原命题是真命题的逆命题，再进行判断即可．

本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4.B

解析：解：A、是整式的乘法，故A错误；

B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；

C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；

D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；

故选：B．

根据因式分解的定义，可得答案．

本题考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．5.B

解析：解：设该自行车能打x折，

由题意得1200×x10-800≥800×5%，

解得：x≥7，即最多可打7折．

故选：B．

设该自行车能打x折，则根据利润率不低于6.A

解析：【分析】

本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．

根据旋转的性质得知∠A=∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．

【解答】

解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°，

∴∠A=∠C，∠AOC=80°，

∴∠DOC=80°-α，

∵∠A=2∠D=100°，

∴∠D=50°，

∵∠C+∠D+∠DOC=180°，

∴100°+50°+80°-α=180°，解得α=50°，

故选：A．7.A

解析：解：解关于x的不等式组a-2<x①x+12≤1②，

由①得：x>a-2，

由②得：x≤1，

∵不等式无解，

∴a-2≥1，

∴a≥3．

故选：A8.A

解析：解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，

∴DA=DB=6，

∴∠DAB=∠B=15°，

∴∠ADC=∠B+∠DAB=30°，

∵∠C=90°，

∴AC=12DA=3．

∴故选：A．

由线段垂直平分线的性质推出DA=DB=6，由等腰三角形的性质得到∠DAB=∠B=15°，由三角形外角的性质得到∠ADC=∠B+∠DAB=30°，由含30度角的直角三角形的性质推出AC=12DA=3．

本题考查线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出9.D

解析：解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，

∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．

故选D．

根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论．

本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．10.A

解析：解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1(1,1)；

把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2(-1,3)；

把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3(-4,0)；

把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4(0,-4)，

∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，

∵O到A1是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，A1到A2是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，A2到A3是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，A3到A4是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，A4到A5是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，

∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，

∴点A4n的坐标为(0,-4n)，

∵2023=4×505+3，

∴点A2024的坐标为11.真

解析：【分析】

本题考查命题，根据两个正数的和依然为正数可判断命题为真命题．

【解答】

解：若a>0，b>0，则a+b>0”，这个命题是真命题．12.40°

解析：解：由旋转得：∠DCB=∠ECA，CD=CB，

∴∠B=∠CDB=70°，

∴∠DCB=180°-∠B-∠CDB=40°，

∴∠DCB=∠ECA=40°，

故答案为：40°．

根据旋转的性质可得：∠DCB=∠ACE，CD=CB，然后利用等腰三角形的性质可得∠B=∠CDB=70°，从而利用三角形内角和定理可得∠DCB=40°，即可解答．

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质解题的关键．13.7

解析：解：如图：

∵BC⊥AE，

∴∠AEB=90°，

∵∠EAB=30°，AB=5海里，

∴BE=52海里，AE=532海里，

∴CE=BC-BE=8-52=112(海里)，

∴AC=CE2+AE2=14.x<1

解析：解：直线y=k2x和y=k1x+b的交点坐标为(-1,-2)，

根据图像，k2x<k1x+b的解集为x<-1，

∵直线y=k2(x-2)和y=k1(x-2)+b是直线y=k2x和y=k115.a≤b

解析：解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A>∠B，则a>b.”

第一步应假设a≤b，

故答案为：a≤b．

反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．

本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．16.1

解析：解：∵2*3=1，3*(-1)=10，

∴2a-3b=-43a+b=5，

解得a=1b=2，

∵x*(2x-3)<9，

∴ax-b(2x-3)+5=-3x+11<9，

解得x>23，

∴关于x的不等式x*(2x-3)<9的最小整数解为1．

故答案为：1．

已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出a与b的值，即可由x*(2x-3)<9，得出ax-b(2x-3)+5=-3x+11<9，解得x>23，从而得出关于17.解：(1)原式=(4+b)(4-b)；

(2)原式=3a(x2解析：(1)直接利用平方差进行分解即可；

(2)首先提公因式3a，再利用完全平方公式分解即可．

本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．18.解：x-3(x-2)>4①2x-13≤x+12②，

解不等式①得：x<1，

解不等式②得：x≤5，解析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．

本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．19.解：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=12(180°-∠A)=12(180°-100°)=40°．

∵BD是∠ABC的角平分线，

∴∠DBE=12∠ABC=20°．

解析：根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠ABC，根据角平分线的定义可求出∠DBE，再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠DEB，根据平角的定义就可求出∠DEC的度数．

本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角的定义等知识，属于基础题，应熟练掌握．20.解：(1)∵AB的垂直平分线交AC于P点，

∴AP=BP，

∴∠A=∠ABP=35°，

∴∠BPC=∠A+∠ABP=35°+35°=70°；

(2)△PBC的周长=BP+PC+BC，

=AP+PC+BC，

=AC+BC，

=AB+BC，

∵AB=5cm，BC=3cm，

∴△PBC的周长=5+3=8cm．

解析：(1)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AP=BP，根据等边对等角可得∠A=∠ABP，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；

(2)求出△PBC的周长=AB+BC，代入数据计算即可得解．

本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．21.2.5

解析：解：(1)S△ABC=3×2-12×1×2-12×1×2-12×1×3=2.5，

故答案为：2.5；

(2)如图，△A1B1C1即为所求；

(3)如图2，点P即为所求；

．

(1)用割补法求三角形的面积即可；

(2)先作出△ABC各顶点关于原点成中心对称的对应点，再描点即可；22.(1)提公因式法；

∼(2)方法一：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3

=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)2]

=(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x)]

=(1+x)(1+x)(1+x)[1+x]

=(1+x)4；

方法二：1+x+x(1+x)+x(1+x解析：解：(1)上述分解因式的方法是：提公因式法；

故答案为：提公因式法；

(2)见答案；

(3)1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)n分解因式的结果是：(1+x)n+1．

故答案为：(1+x)n+1．

(1)直接利用已知解题方法分析得出答案；23.解：设售价应定为x元/斤，

根据题意得：x-4×2-6×13≥(4×2+6×13)×50%，

解得：x≥15，

∴x的最小值为15．解析：设售价应定为x元/斤，利用利润=售价-成本，结合利润率不低于50%，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．

本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．24.(1)证明：由旋转可知∠DCE=60°，CD=CE，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，AC=BC，

∴∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE，

∴△BCD≌△ACE(SAS)，

∴∠CBD=∠CAE；

(2)∵△BCD≌△ACE，

∴AE=BD=5，

∵∠DCE=60°，CD=CE，

∴△CDE是等边三角形，

∴∠CDE=60°，

又∵∠ADC=30°，

∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，

在Rt△ADE中，DE=解析：(1)结合旋转的性质和等边三角形的性质可知∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，由“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得结论；

(2)由全等三角形的性质可得AE=BD=5，再结合等边三角形的性质可推导∠ADE=90°，在Rt△ADE中由勾股定理即可获得答案．

本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．25.解：(1)第四个等式：25-24=32-16=16=24；