《数学》复习人教A（新高考）-第4节　随机事件的概率

第十章

第4节随机事件的概率知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1．概率与频率(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝

为事件A出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用

来估计概率P(A)．频率fn(A)2．事件的关系与运算包含

B⊇A

A＝B

并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的

(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当

且

，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝

∅P(A∪B)＝1并事件事件A发生事件B发生(1)概率的取值范围：

．(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝

．②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝

．3．概率的几个基本性质0≤P(A)≤1P(A)＋P(B)1－P(B)1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的． (

) (2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值． (

) (3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1. (

) (4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．(

)×

×

√

√

2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]频数234542

则样本数据落在区间[10，40)的频率为 (

)

A．0.35B．0.45C．0.55D．0.65B3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”

(

) A．是互斥事件，不是对立事件

B．是对立事件，不是互斥事件

C．既是互斥事件，也是对立事件

D．既不是互斥事件也不是对立事件 解析

“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生， 故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件．C4．(2018·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 (

) A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7

解析

某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付，它们彼此是互斥事件， 所以不用现金支付的概率为1－(0.15＋0.45)＝0.4.B

5．(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 (

) A．10名B．18名C．24名D．32名 解析

由题意，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95， 即第二天确保完成新订单1600份，减去超市每天能完成的1200份，加上积压的500份，共有1600－1200＋500＝900(份)，至少需要志愿者900÷50＝18(名)．B考点分层突破题型剖析考点聚焦2考点一随机事件的关系///////自主演练A2．口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为________． ①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1.

解析当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，③不正确；显然A与D是对立事件，①正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，④正确．①④

3．(多选题)(2021·烟台模拟)下列命题正确的是 (

) A．对立事件一定是互斥事件

B．若A∩B为不可能事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B) C．若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1 D．事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件AB1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．2．判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．感悟升华【例1】(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：考点二随机事件的频率与概率///////师生共研甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？解由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525－5－75频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为利润70300－70频数281734211.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率．感悟升华【训练1】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．【例2】经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：考点三互斥事件与对立事件的概率///////师生共研排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排队等候的概率；【例2】(2)至少3人排队等候的概率．感悟升华【训练2】(1)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为 (

) A．0.95B．0.97C．0.92D．0.08

解析记“抽检的产品是甲级品”为事件A，是“乙级品”为事件B，是“丙级品”为事件C，这三个事件彼此互斥， 因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.CABD课后巩固作业提升能力分层训练3D

BD解析

∵随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，∴P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，ABC6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 (

) A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B．“至少有一个黑球”与“都是红球”

C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 解析

A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．D

7．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为 (

) A．15%B．20%C．45%D．65%

解析因为某地区居民血型的分布为O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现在能为A型病人输血的有O型和A型， 故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D.D

C二、填空题9．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．6912

10．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，